2022--2023学年人教版九年级数学上册22.1 二次函数图象与性质 综合运用题 （含答案）

《二次函数图象与性质》综合运用题
1．抛物线y＝ax2+bx+c过（0，4），（1，3），（﹣1，4）三点．
（1）求抛物线的解析式；（2）当﹣1＜x＜4时，求y的取值范围．
2．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．（1）该抛物线的对称轴为　 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B（4，0）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；
（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？
4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0）B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求此抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积．
二次函数y＝ax2+bx+6的图象经过点（﹣2，0），（6，0）．（1）求二次函数的表达式和对称轴．
如图，该二次函数图象交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线
于B，C（点B在点C的左侧），若PC＝5PB，求点P的纵坐标．
6．如图，抛物线与直线交于点A（﹣4，﹣1）和点B（﹣2，3），抛物线顶点为A，直线与y轴交于点C．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若y轴上存在点P使△PAB的面积为9，求点P的坐标．
7．如图，已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣2x+b都经过点A（﹣2，6），点O为坐标原点，
直线y＝﹣2x+b与x轴交于点B．（1）求m、b的值；
（2）连接AO，点C是抛物线上一点（异于点A），且S△AOB＝S△COB，求点C的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过点A（0，﹣3）和点B（3，0），该抛物线的顶点为C．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）连接AC，BC，求△CAB的面积．
9．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．
（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．
10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过x轴上A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，点D是其顶点，连接BD．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）请直接写出点H的坐标；（3）在y轴上确定一点P，使PD+PH的值最小，求点P的坐标，并求PD+PH的最小值．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC．（1）求这个二次函数的表达式及点A坐标；
（2）点P是AC上方抛物线上的动点，当四边形ABCP的面积最大时，求点P的坐标．
《二次函数图象与性质》综合运用题（参考答案）
1．抛物线y＝ax2+bx+c过（0，4），（1，3），（﹣1，4）三点．
（1）求抛物线的解析式；（2）当﹣1＜x＜4时，求y的取值范围．
【解答】解：（1）将（0，4），（1，3），（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，∴y＝﹣x2﹣x+4．
（2）∵y＝﹣（x+）2+，∴x＞﹣时，y随x增大而减小，
x＝﹣时y取最大值，x＝4时y取最小值，
把x＝4代入y＝﹣x2﹣x+4得y＝﹣×42﹣×4+4＝﹣6．
∴﹣6＜y≤．
2．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为　直线x＝﹣1　；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．∴对称轴为直线x＝﹣1，
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴顶点坐标为（﹣1，0），解得a＝﹣1或a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x﹣1或y＝x2+x+；
（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），
①当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B（4，0）．
（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；
（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得
，解得，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）由图象知，当﹣2＜x＜4时，y＞0；
（3）∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（1，9），
∴把抛物线y＝﹣x2+2x+8向下平移9个单位，抛物线与x轴只有一个交点．
4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0）B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求此抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0）B（5，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣4得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）当x＝0时，y＝x2﹣x﹣4＝﹣4，∴C点坐标为（0，﹣4），∵B（5，﹣4），∴BC∥x轴，BC＝5，∴△ABC的面积＝×5×4＝10．
5．二次函数y＝ax2+bx+6的图象经过点（﹣2，0），（6，0）．（1）求二次函数的表达式和对称轴．（2）如图，该二次函数图象交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C（点B在点C的左侧），若PC＝5PB，求点P的纵坐标．
【解答】（1）解：将（﹣2，0），（6，0）两点的坐标代入y＝ax2+bx+6，得：
，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，
对称轴为：x＝2．
（2）设BC与对称轴交于点D，则PD＝2，
由抛物线的对称性可知BD＝CD，
令BP＝m，则BD＝CD＝m+2．
∵PC＝5PB，
∴m+2+2＝5m，
∴m＝1即点C的横坐标为5，∴点P的纵坐标＝点C的纵坐标＝﹣×52+2×5+6＝3.5．
6．如图，抛物线与直线交于点A（﹣4，﹣1）和点B（﹣2，3），抛物线顶点为A，直线与y轴交于点C．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若y轴上存在点P使△PAB的面积为9，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由抛物线的顶点A（﹣4，﹣1）
设二次函数为y＝a（x+4）2﹣1，
将B（﹣2，3）代入得，3＝a（﹣2+4）2﹣1，
解得a＝1，
∴二次函数为y＝（x+4）2﹣1（或y＝x2+8x+15），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣4，﹣1）和B（﹣2，3）代入得，
解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+7；
（2）由直线y＝2x+7可知C（0，7），设P（0，n），∴PC＝|n﹣7|，
∴S△PAB＝S△PAC﹣S△BPC＝（4﹣2） |n﹣7|＝9，∴|n﹣7|＝9，∴n＝﹣2或16，
∴P（0，﹣2）或P（0，16）．
7．如图，已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣2x+b都经过点A（﹣2，6），点O为坐标原点，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点B．（1）求m、b的值；
（2）连接AO，点C是抛物线上一点（异于点A），且S△AOB＝S△COB，求点C的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2和直线y＝﹣2x+b都经过点A（﹣2，6），
∴6＝（﹣2）2m，6＝﹣2×（﹣2）+b，
∴m＝，b＝2；
（2）令y＝0，即﹣2x+2＝0，解得x＝1，
点B的坐标为（1，0），∴OB＝1，
∴S△COB＝S△AOB＝×1×6＝3，∵S△COB＝×1×yc，
∴点C的纵坐标为6，当y＝6时，6＝x2，∴x＝±2，∵C是抛物线上一点（异于点A），
∴C点的坐标为（2，6）．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过点A（0，﹣3）和点B（3，0），该抛物线的顶点为C．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）连接AC，BC，求△CAB的面积．
【解答】解：（1）把A（0，﹣3）和B（3，0）代入y＝ax2﹣2x+c得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
把A（0，﹣3）和B（3，0）代入y＝kx+b得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
（2）过C点作CD∥y轴交AB于D，如图，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴C（1，﹣4），
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则D（1，﹣2），
∴△CAB的面积＝S△ACD+S△BCD＝×3×2＝3．
9．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在CD的垂直平分线上的点，
∴点P的纵坐标为2，
当y＝2时，可得2＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x1＝1+，x2＝1﹣，
∴点P的坐标（1+，2）或（1﹣，2）．
10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过x轴上A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，点D是其顶点，连接BD．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，理由如下：
如图，连接BC，CD，
∵C（0，3），B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），
∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，
当∠QBC＝90°时，∠ABQ＝45°，
∴EB＝EQ＝2，
∴Q（1，﹣2）；
当∠QCB＝90°时，此时点Q与点D重合，Q（1，4）；
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，﹣2）或（1，4）．
11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）请直接写出点H的坐标；
（3）在y轴上确定一点P，使PD+PH的值最小，求点P的坐标，并求PD+PH的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴所求函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
（2）H坐标为（2，2），
∵B（3，0），D（1，4），
∴中点H的坐标为（2，2），
（3）∵H的坐标为（2，2），
∴其关于y轴的对称点H′坐标为（﹣2，2），
连接H′D与y轴交于点P，
设直线H′D的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线H′D的解析式为：y＝x+，
当x＝0时，y＝，
∴P（0，），
此时，PD+PH＝DH′＝．
∴点P的坐标为（0，），最小值为．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC．
（1）求这个二次函数的表达式及点A坐标；
（2）点P是AC上方抛物线上的动点，当四边形ABCP的面积最大时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于B（1，0），与y轴交于点C（0，2），
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x+2，
当y＝0时，x＝1或﹣4，
∴A（﹣4，0）；
（2）∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，2），
∴△ABC的面积是×（1+4）×2＝5，
∵四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACP的面积，
∴当四边形ABCP的面积最大时，即△ACP的面积最大即可，
过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，
设点P的坐标为（p，﹣p2﹣p+2），
设过点A（﹣4，0），点C（0，2）的直线解析式为y＝dx+e，
，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
当x＝p时，y＝p+2，∴Q（p，），
∴△ACP的面积是×PQ×OA＝×（﹣p﹣2）×4＝﹣（p+2）2+4，
∴当p＝﹣2时，△ACP的面积最大，
∴点P（﹣2，3）．