函数的单调性及其应用
学习目标
1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义；
2. 掌握定义法证明函数的单调性，掌握求单调区间的基本方法，能够利用函数单调性比大小、解不等式
进而求函数值域和最值．
【备注】1. 本节重点：函数单调性判断，求单调区间，单调性的应用；
2. 本节难点：定义法证明、探索函数单调性，求函数的值域和最值；
3. 前置知识：函数的概念和性质；
4. 后置知识：导数．
一、 单调性的相关概念
1. 单调性的定义和图象表示
一般地，设 的定义域为 :
（1）如果对于定义域 内某个子区间 上的任意两个自变量 ，当 时均有 ，那
么就说函数 在区间 上是 单调增函数 ，如下图，增函数 的图象在其对应区间内呈上升趋势．
（2）如果对于定义域 内某个子区间 上的任意两个自变量 ，当 时均有 ，那
么就说函数 在区间 上是 单调减函数 ，如下图，减函数 的图象在其对应区间内呈下降趋势．
1
（3）讨论函数单调性的注意点
① 的取值具有任意性．不能因为某函数在区间 上有 ，就说函数单调增；也不能
因为对任意 有 ，就说函数单调增．必须强调 都是任意的．
②单调性相对区间而言．叙述单调性永远不能脱离区间．
③若某函数 在某区间 上为增函数，则 与 可正反互推，即
．若为减函数，同理．(以上是题型“利用单调性解不等式”的理论依据．)
④若函数在某区间 上为常数，该函数在该区间上不单调．
(4)单调性除了用定义表达外，还可以用以下方式表达：(下面都以单调增为例)
① ；
② ；
③ ．
经典例题
1. 已知函数 在 ， 上是增函数，对于任意的 ， ， （ ），则下列结论中正确
的序号是 ．
① ；② ；
③ ；④ ．
【备注】 虽然习惯上默认 ，但如遇到 的大小关系未作规定时仍需谨慎．
【答案】①②④
【解析】 时， ，①②③④均正确； 时， ，①②④均正
确，所以正确的有①②④．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
2
巩固练习
2. “函数 在区间 上不是增函数”的一个充要条件是 （ ）．
A. 存在 满足
B. 存在 满足
C. 存在 且 满足
D. 存在 且 满足
【答案】D
【解析】若函数 在区间 上是增函数，
则 ， 且 ，有 ，
所以若 在区间 不是增函数，
则有 ， 且 时，有 ，
故选： ．
【标注】【知识点】充要条件与函数结合
2. 单调区间
如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有（严
格的）单调性，区间 叫做 的单调区间．
经典例题
3. 若函数 是区间 上的单调函数，则实数 的取值范围是 ．
【备注】 简单具体函数的单调区间问题，现阶段须掌握一次函数、二次函数、反比例函数、绝
对值函数等函数的图象和单调性．对于含绝对值的函数，分段去绝对值符号，画出函数图
象，是研究其单调性的常规方法．透过本题，还可以向学生讲解一些关于函数图象变换，
尤其是翻折变换的知识．
【答案】
【解析】
由函数 ，
得函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ，解得 ．
3
【标注】【知识点】求单调区间
【素养】数学运算
4. ①定义在 上函数 满足 ，则 是 上的增函数；
②定义在 上函数 满足 ，则 在 上不是减函数；
③定义在 上函数 在 是增函数，在 上也是增函数，则 在 上单调递增；
④定义在 上函数 在 是增函数，在 上也是增函数，则 在 上单调递增；以
上说法正确的（ ）．
A. ②③ B. ①③ C. ②④ D. ①④
【备注】 做题时一定要看清楚单调区间的开闭，有时候会相差甚远；
建议学生自己书写单调区间永远写开区间，并且若出现多个单调区间，用“和”或者
“，”连接．
【答案】A
【解析】略
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性；抽象函数
5. 已知函数 （ ），若 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围
是 ．
【备注】 透过本题可以引导学生学习分类讨论的思想，本题乍看上去头绪不少，既需要讨论不
同位置的参数对单调性的影响，又需要考虑减区间是定义域的子集，但当我们进行了分类
讨论之后，每种情形下的探索自然变得简单．
【答案】
【解析】当 ，即 时，要使 在 上是减函数，
则需 ，此时 ．
当 ，即 时，要使 在 上是减函数，
则需 ，此时
所以，实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知函数单调性求参数范围
6. 函数 在 上单调递增，则 的取值范围为 ．
4
【备注】 处理此类的"分式"一般可用分离常数法，将其转化为类似反比例函数的形式，对函数
单调性的分类讨论，一般先讨论 的正负，然后讨论渐近线 的位
置，须注意的是，由于函数定义域不是连续的 ，任意的一个单调区间不可能跨渐
近线；同时判断参数的取值边界能否取等也很重要．
【答案】
【解析】 在 上单递增．
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
巩固练习
7. 函数 的单调递减区间是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数 的图象如下图所示：
由图可得：函数的单调减区间是 ，
故选 ．
【标注】【知识点】求单调区间；分段函数
8. 下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）．
5
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A 选项： ，即在 上单调递减，在 上单
调递增；
B 选项： ，在 上单调递增；
C 选项： ，在 上单调递减；
D 选项： ， 上单调递减．
故选 B .
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
9. 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】 时，满足； 时，需要 ； 时，需要 ，
∴ ，
综上所述： ．
【标注】【知识点】已知函数单调性求参数范围
10. 设函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】 ，由函数在 上是增函数，可得 ，即 ，则
的取值范围为 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
二、 单调性证明与判断
6
1. 单调性证明
依据函数单调性的定义判断函数的单调性的步骤如下：
第一步：取值，在指定的区间任取 ，且令 ；
第二步：作差，构造差式 ，带入函数解析式进行化简变形，通常的手段为因式
分解，通分，配方，有理化等等，目的是将差式分解为连乘积的形式，方便判断符号；
第三步：定号，第二步完成顺利的情况下，利用已知的 以及定义域再结合其他条件判断差式
的符号，如果能够判定符号，直接进行第四步，如果不能判定，可能还需要将区间细分或
者分类讨论，直到可以确定差的符号为止；
第四步：判断，判断函数究竟符合增函数还是减函数的定义．
【备注】（1）第一步中的 的大小规定对最后的结论并无影响．
（2）在第二步中的变形中一般尽量化成几个最简因式的积或者若干完全平方式的形式．
经典例题
11. 已知
（ 1 ）若 ，试证明 在 上单调递增．
（ 2 ）若 且 在 上单调递减，求 的取值范围．
【备注】 刚学习单调性时，在解答题中，无论是判断或证明单调性，还是根据单调性求算参数
范围，都只能用定义法．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）当 时， ．
设任意 ， ，且 ，
则 ．
∵ ， ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增．
（ 2 ）任取 ，则 ，
因为 ， ，
所以要使 ，
7
只需 在 上恒成立，所以 ，
综上所述， 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知函数单调性求参数范围
12. 定义在 上的函数 同时满足下列条件：
①对任意 ， 恒有 ；
②当 时， ．
（ 1 ）求 的值；
（ 2 ）求证： 在 上为减函数．
【备注】 抽象函数单调性的证明：可如解析中意义，通过改写参数，从抽象关系式中构建差式
或比式 ，也通过抽象关系式代换差式中的项，
如
结合预设的自变量关系，即可求解单调性．
【答案】（ 1 ）见解析．
（ 2 ）见解析．
【解析】（ 1 ）令 得： ；
（ 2 ）任取 ， ， ，
令 ， 得： ，
于是 ，
∵当 时， ，∴由 可知， ，
∴当 时，有 ，
所以函数 在 上为减函数．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性；抽象函数
13. 判断函数 的单调性．
【备注】 本题涉及用定义法探索”对勾函数“的单调性，由于需要再对区间进行细分并讨论，相比
于直接应用对勾函数的性质，定义法的探索可谓是吃力不讨好．
建议结合基本不等式的知识向学生介绍 的最小值在 处
取（可以朴素地理解，对勾函数在 只有一个最小值点，因此最小值点左侧单调减
8
右侧单调增），分别探索 和 两段区间的单调性， 时同
理．
也可以介绍经验性的区间细分方法，当发现差式的正负决定项为 时，区间
分界就为方程 的实根；如正负决定项为 ，区间分界就为
的实根．
【答案】 在 和 上是增函数，在 和 上是
减函数．
【解析】任取 ， ，且 ，
则
，
当 ， 时， ， ，
所以 式大于 ，即 ，所以 ，
即 在 上是减函数，
当 ， 时， ， ，
所以 式小于 ，即 ，所以 ，
即 在 上是增函数，
同理可得，当 时， 是减函数，
当 时， 是增函数，
综上所述， 在 和 上是增函数，在 和
上是减函数．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
巩固练习
14. 设 是定义在 上的函数，对 ， ，恒有 ，
且当 时， ．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）求证： 时，恒有 ．
（ 3 ）求证： 在 上是减函数．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）证明见解析．
9
【解析】（ 1 ）根据题意，令 ，可得 ．
∵ ，
∴ ．
（ 2 ）由题意知 时， ．
当 时， ．
当 时， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴当 时， ．故 时，恒有 ．
（ 3 ）任取 ， ，且 ，则 ，
∴
．
由（ ）知 ，又 ，∴ ，
故 ，故 在 上是减函数．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性；用赋值消元法求解析式；解析法；抽象函数
15. 设函数 ，证明：当 时, 函数 在区间 上是减函数．
【答案】证明见解析．
【解析】设 ， ，且 ，
，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
10
∴ ，
∴ ，
即 ．
∴函数 在区间 上是减函数，
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
16. 利用单调性的定义讨论函数 在区间 上的单调性．
【答案】当 时， 在 上递减；当 时， 在 上递增．
【解析】设 ， ，
∴
，
∵ ，
∴ ， ， ，
故当 时， ，
即 ，此时函数 在 上递减；
当 时， ，
即 ，此时函数 在 上递增．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
2. 单调性的运算性质
1、数乘：函数 乘以正数，单调性 不变 ；乘以负数，单调性 相反 ．
2、倒数：若函数 恒正或恒负，则 单调性与 相反 ．(学习了后面复合函数的单调性，可
解释此性质，还可推导 与 等情形及其条件．)
3、四则运算：增函数加增函数是 增函数 ，减函数加减函数是 减函数 ，即“增 增 增”，“减
减 减”．如若两个函数恒正，则“增 增 增 ”，“减 减 减 ”．如若两个函数恒负，则“增
增 减 ”，“减 减 增 ”
【备注】 ，函数图象上下平移，单调性不变； ，函数图象左右平
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移，单调区间相应移动．(函数的平移变换以后会学到．)
判断单调性的方法：直接判断、定义、性质、导数(以后会学到)．
经典例题
17. 判断下列函数的单调性：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
【备注】 应用单调性的性质时须留意定义域的制约功能．
【答案】（ 1 ）见解析．
（ 2 ）见解析．
（ 3 ）见解析．
（ 4 ）见解析．
（ 5 ）见解析．
（ 6 ）见解析．
【解析】（ 1 ）在 ， 上单调递减；在 ， 上单调递增．
（ 2 ） 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ 3 ） 在 与 上单调递减．
（ 4 ） 在 上单调递减．
（ 5 ） 在定义域 上是增函数；因为 ， ，且都单调增．
（ 6 ） 在定义域 上是增函数；因为 ， ，且都单调增．
【标注】【思想】函数思想
【知识点】判断复合函数单调性
【知识点】求单调区间
【素养】数学运算
巩固练习
12
18. 有以下命题：
①若函数 、 在 上是增函数，则 在 上也是增函数；
②若 在 上是增函数， 在 上是减函数，则 在 上是减函数；
③若函数 在区间 上递增，则 在 上递增；
④ 若函数 、 在 上是增函数，则 在 上也是增函数．
其中正确命题的个数为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 应用单调性性质时，涉及到乘除的一般都须考虑正负．
【答案】B
【解析】正确命题为①②，
故选 ．
【标注】【知识点】利用四则运算判断函数单调性
19. 判断下列函数的单调性
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
【答案】（ 1 ）单调增区间： ．
（ 2 ）单调增区间： 和 ．
（ 3 ）单调增区间： ．
（ 4 ）单调增区间： ．
【解析】（ 1 ）函数定义域为 ，在定义域上 和 均为增函数，所以原函数在定
义域上单调递增．
（ 2 ）函数定义域为 ，在 和 上 单调递增，
单调递减，所以原函数单调增区间为 和 ．
（ 3 ）函数定义域为 ，原函数可化为 在 上 单调
递增， 单调递减，所以原函数单调增区间为 ．
（ 4 ）
13
函数的定义域为 ，在定义域上 与 均单调递增且均大
于零，所以原函数在定义域上单调递增．
【标注】【知识点】利用四则运算判断函数单调性
3. 分段函数单调性
遇到分段函数，先画出函数图象，再判断其单调性．
分段函数在定义域内单调等价于：函数在每一段区间上单调；函数在区间与区间之间交界处保持单
调趋势．
经典例题
20. 已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 除了研究各段上的单调性外，还要留意区间交界处保持单调趋势，一般来说，两段函
数在区间交界上取值相等是不影响单调性的延续的，但对取等条件的验证仍旧不建议省
略．
【答案】C
【解析】当 时， ，
由题意， 在 上单调递减，
则 ，解得 ，
当 时， ，
由题意， 在 上单调递减，
则 ，解得 ，
又 在 上单调递减，
则当 时， ，
即 ，解得 ，
故 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】分段函数单调性
14
巩固练习
21. 已知函数 若存在 ， ，使得 成立，则实数 的取值
范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 留意到两段函数在分界点 处函数值相等，即函数图像连续，因此不会出现不单调
而没有 成立的情况．也就是说，本题等价于函数在定义域上不单调．
【答案】A
【解析】依题意，在定义域内， 不是单调的．
分情况讨论：
1）当 时，若 不是单调的函数，
则对称轴 ，所以 ．
2）当 时，若 是单调递增的，此时 ，
此时当 时 为单调递增函数，
并且函数在 上单调递增的，
所以不满足条件．
综上， ．
故选 ．
【标注】【知识点】求单调区间
22. 已知 是 上的增函数，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
若 在 上单调递增，则 即 则 ，即 的取值范
围是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】分段函数单调性；已知函数单调性求参数范围
15
4. 复合函数单调性
复合函数的定义
如果函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，值域为 ，若满足
，那么使 的任意一个 ，都有唯一确定的一个 与之对应，则变量 与 之间通过变量 形成
的一种函数关系，这种函数称为复合函数．记为： ，其中 叫做中间变量， 叫做内
函数， 叫做外函数．
例如 就可以视为复合函数，其中 叫做内函数， 叫做外函
数．
（一）判断复合函数单调性的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解为若干基本初等函数；
（3）分别确定各个基本初等函数的单调性；
（4）若 ，函数 在区间 上的单调性与 在区间 的单调性一致，
则复合函数在区间 上单调递增；若单调性相反，则复合函数在区间 上单调递减，即“同增异减”．
(二) 求复合函数 单调区间
（1）确定定义域 ；
（2）分别求出外层函数 的增减区间 和 ，内层函数 的增减区间 和 ；
（3）根据“同增异减”的法则，
复合函数增区间为不等式组 与不等式组 解集的并集；
复合函数减区间为不等式组 与不等式组 解集的并集．
需要强调的是，复合函数的单调区间一定是自变量 的区间．
【备注】 需要指出的是，常见的涉及复合函数单调性的题目中，外函数和内函数其中的一个一
般在定义域上单调，因此处理起来会简单不少．而如遇到 ，求
的单调区间，这样的题目内外函数都不单调，则会相对复杂一些，可结合图
象，或利用不等式组求解．
经典例题
23. 函数 的单调递增区间为（ ）．
A. B. ，
C. ， D. ，
16
【备注】 可借由本题向学生展示数形结合思想的优越性．如用不等式组求解，则有如下：
【答案】C
【解析】方法一：函数 ，
当 即 或 ，
可得 ，
即有 在 递增；
当 即 ，
可得 ，
即有 在 递增；
则 的增区间为 ， ．
故选 ．
方法二：作 出函数 的图像如图所示，
由图像得， 的单调递增区间为 和 ．
故选 ．
【标注】【思想】数形结合思想
【素养】直观想象
【知识点】求单调区间；绝对值函数
巩固练习
24. 用复合函数的单调性知识解决下列函数的单调性问题．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
17
【答案】（ 1 ） ，单调递减， ，单调递增， ，单调递减，
，单调递增．
（ 2 ） ，单调递减， ，单调递增， 单调递减，
单调递增．
【解析】（ 1 ） ， ，单调递减， ，单调递增，
，单调递减， ，单调递增．
（ 2 ） ，单调递减， ，单调递增， 单调递减，
单调递增．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】判断复合函数单调性
25. 分析下列函数的单调性：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【答案】（ 1 ）在 单调增．
（ 2 ） 单调增， 单调减．
（ 3 ） 单调增， 单调增．
【标注】【知识点】判断复合函数单调性
三、 单调性的应用
1. 比大小/解不等式
根据单调性的定义，若函数在某区间 上单调增，则对于区间内任意 ，必有
．则知道自变量的大小关系，可以比较因变量的大小关系．比如已知函数 在 上单调增，则
必有 ，因为 ．
反过来，已知 也可推出 ，可应用于解不等式．例如已知函数 在 上单调
减，且 ，则可得 或 ．
18
经典例题
26. 已知函数 ，若在区间 上，满足 ，则实数 的取值范
围为 ．
【备注】 先判断函数在指定区间上的单调性，自变量在满足相对大小关系前，须满足在定义域
内这一条件，还须留意参数能否在边界取等．
【答案】
【解析】由题意知， 在 上是增函数，
因此 ．
【标注】【素养】数学运算
【素养】逻辑推理
【知识点】利用函数单调性解不等式
27. 函数 对任意的实数 ， ，都有 ，并且当 时， ．
（ 1 ）求证： 是 上的增函数．
（ 2 ）若 ，解不等式 ．
【备注】 作为单调增的抽象函数，不难想到第二问是要利用单调性解不等式，因此寻找
就成了"题中应有之义"．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）任取 ，则 ，
∴ ，
∴
，
∴ 在 上单调递增．
（ 2 ）∵ ，
∴ ，
∴ 等价于 ，
19
即 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性；利用函数单调性解不等式
巩固练习
28. 已知函数 在定义域 上是减函数，且 ，则实数 的取值范围是（
）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数 在定义域 上是减函数，
则有： ，
解得： ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
29. 已知函数 ．当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】因为 为偶函数， 为奇函数，
所以 是奇函数，
当 时， 为增函数，
由奇函数在对称区间上单调性相同可得，函数 在 上增函数，
又因为不等式 可以转化为 解得 ，
即 ，所以 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
20
30. 定义在 上的函数 ，满足 ，当 时， ，且对任意的 ， ，有
．
（ 1 ）证明： ．
（ 2 ）证明：对任意的 ，恒有 ．
（ 3 ）证明： 是 上的增函数．
（ 4 ）若 ，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）证明见解析
（ 2 ）证明见解析
（ 3 ）证明见解析
（ 4 ）
【解析】（ 1 ）令 ，则 ，又 ，故 ．
（ 2 ）由题设知 时， ．
当 时， ．
由 ，得 ．
由 即有 ，故 ，
即 ，也有 ．
综上，对任意的 恒有 ．
（ 3 ）设 ，不妨令 ，
则 ．
由于 ， ，
故 ，
即 是 上的增函数．
（ 4 ）由 ， ，
得 ，
又 是 上的增函数，
故 ，
解得 ．
【标注】【知识点】抽象函数；利用函数单调性解不等式；用定义法证明函数的单调性
2. 求解函数的值域和最值
21
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
① ，都有 ;
② ，使得 ．
那么我们称 是函数 的 最大值 ；
如果存在实数 满足：
① ，都有 ;
② ，使得 ．
那么我们称 是函数 的 最小值 ；
单调性几乎是函数最基本的性质，要得到函数的图象，就必须清楚地知道其单调性．而若得到了函
数图象，函数的值域和最值等等自然迎刃而解．
例如求解函数 在 的最大值，由于其为“增 增 增”，所以最大值为
．又如函数 ，其在定义域 内单调增，最大值为 ，所以函数值
域为 ．
经典例题
31. 函数 ， 的值域是 ．
【备注】 "增"加"增"还是增．
【答案】
【解析】由题意可知， 在 上单调递增，所以 ， ，所以
在 上的值域是 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
32. 设 ，若 无最小值，则 的取值范围 ．
【备注】 本题体现了核验边界取等的重要性，可如解析中分类讨论，也可利用数形结合思想，
移动分段函数交界，直观上说就是要让"最小值"位于一次函数右端的空心端点上，此时分段
函数就没有最小值．
【答案】
【解析】 ，
当 时， 为减函数， ，
22
当 时， ，
①当 ， ，
∵ 无最小值，
∴ ，解得 ，
②当 时， ，
∵ 无最小值，
∴ ，显然不成立，
综上所述 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】已知函数的最值求参数
巩固练习
33. 求函数 的值域．
【答案】 ．
【解析】 ， ，值域为 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
34. 对于任意实数 ， ，定义： ，若函数 ， ，则函数
的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由题意 ，
可得： 或 ，
作出图象如下：
从图象不难看出：函数 的最小值为 ．
故选：B．
23
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值
35. 已知函数 ．
（ 1 ）若对任意的 ， 恒成立．试求实数 的取值范围．
（ 2 ）若 时，求函数 在 上的最小值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）根据题意可得 在 恒成立，
等价于 在 恒成立，
因为 在 上单调递增，
在 上单调递减，所以 ，
∴ ．
（ 2 ） ，设 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∴ 在 单调递减，同理可证 在 单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
24
，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，
，
∴ ．
【标注】【知识点】求复合函数的最值；利用单调性求函数最值；不等式中的恒成立与能成立问题
导图总结
你学会了吗？快来用知识导图来总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
36. 函数 在 上是减函数，且 ，则满足 的实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ ，
∴由 得， ，且 在 上是减函数，
∴ ，解得 ，
∴满足 的实数 的取值范围是 ．
故选： ．
25
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
37. 若 ，则函数 的值域是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 为增函数， 为减函数．
，
根据单调性的四则运算可知，增函数减去减函数为增函数．
， ．
故选 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域；利用四则运算判断函数单调性
38. 若函数 在区间 上为单调增函数，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∵函数 在区间 上为单调增函数，
∴ 在区间 恒成立．
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求单调区间
39. 已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】 ．
∵ 在 上单调递减，
∴ ，即 ．
26
【标注】【知识点】求单调区间
27函数的单调性及其应用
一、 单调性的相关概念
1. 单调性的定义和图象表示
一般地，设 的定义域为 :
（1）如果对于定义域 内某个子区间 上的任意两个自变量 ，当 时均有 ，那
么就说函数 在区间 上是 ，如下图，增函数 的图象在其对应区间内呈上升趋势．
（2）如果对于定义域 内某个子区间 上的任意两个自变量 ，当 时均有 ，那
么就说函数 在区间 上是 ，如下图，减函数 的图象在其对应区间内呈下降趋势．
（3）讨论函数单调性的注意点
① 的取值具有任意性．不能因为某函数在区间 上有 ，就说函数单调增；也不能
因为对任意 有 ，就说函数单调增．必须强调 都是任意的．
1
②单调性相对区间而言．叙述单调性永远不能脱离区间．
③若某函数 在某区间 上为增函数，则 与 可正反互推，即
．若为减函数，同理．(以上是题型“利用单调性解不等式”的理论依据．)
④若函数在某区间 上为常数，该函数在该区间上不单调．
(4)单调性除了用定义表达外，还可以用以下方式表达：(下面都以单调增为例)
① ；
② ；
③ ．
经典例题
1. 已知函数 在 ， 上是增函数，对于任意的 ， ， （ ），则下列结论中正确
的序号是 ．
① ；② ；
③ ；④ ．
巩固练习
2. “函数 在区间 上不是增函数”的一个充要条件是 （ ）．
A. 存在 满足
B. 存在 满足
C. 存在 且 满足
D. 存在 且 满足
2. 单调区间
如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有（严
格的）单调性，区间 叫做 的单调区间．
经典例题
3. 若函数 是区间 上的单调函数，则实数 的取值范围是 ．
4. ①定义在 上函数 满足 ，则 是 上的增函数；
②定义在 上函数 满足 ，则 在 上不是减函数；
③定义在 上函数 在 是增函数，在 上也是增函数，则 在 上单调递增；
2
④定义在 上函数 在 是增函数，在 上也是增函数，则 在 上单调递增；以
上说法正确的（ ）．
A. ②③ B. ①③ C. ②④ D. ①④
5. 已知函数 （ ），若 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围
是 ．
6. 函数 在 上单调递增，则 的取值范围为 ．
巩固练习
7. 函数 的单调递减区间是（ ）．
A. B. C. D.
8. 下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
9. 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围为 ．
10. 设函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围为 ．
二、 单调性证明与判断
1. 单调性证明
依据函数单调性的定义判断函数的单调性的步骤如下：
第一步：取值，在指定的区间任取 ，且令 ；
第二步：作差，构造差式 ，带入函数解析式进行化简变形，通常的手段为因式
分解，通分，配方，有理化等等，目的是将差式分解为连乘积的形式，方便判断符号；
第三步：定号，第二步完成顺利的情况下，利用已知的 以及定义域再结合其他条件判断差式
的符号，如果能够判定符号，直接进行第四步，如果不能判定，可能还需要将区间细分或
者分类讨论，直到可以确定差的符号为止；
第四步：判断，判断函数究竟符合增函数还是减函数的定义．
经典例题
11. 已知
3
（ 1 ）若 ，试证明 在 上单调递增．
（ 2 ）若 且 在 上单调递减，求 的取值范围．
12. 定义在 上的函数 同时满足下列条件：
①对任意 ， 恒有 ；
②当 时， ．
（ 1 ）求 的值；
（ 2 ）求证： 在 上为减函数．
13. 判断函数 的单调性．
巩固练习
14. 设 是定义在 上的函数，对 ， ，恒有 ，
且当 时， ．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）求证： 时，恒有 ．
（ 3 ）求证： 在 上是减函数．
15. 设函数 ，证明：当 时, 函数 在区间 上是减函数．
16. 利用单调性的定义讨论函数 在区间 上的单调性．
2. 单调性的运算性质
1、数乘：函数 乘以正数，单调性 ；乘以负数，单调性 ．
2、倒数：若函数 恒正或恒负，则 单调性与 ．(学习了后面复合函数的单调性，可
解释此性质，还可推导 与 等情形及其条件．)
3、四则运算：增函数加增函数是 ，减函数加减函数是 ，即“增 增 增”，“减
减 减”．如若两个函数恒正，则“增 增 ”，“减 减 ”．如若两个函数恒负，则“增
增 ”，“减 减 ”
经典例题
17. 判断下列函数的单调性：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
4
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
巩固练习
18. 有以下命题：
①若函数 、 在 上是增函数，则 在 上也是增函数；
②若 在 上是增函数， 在 上是减函数，则 在 上是减函数；
③若函数 在区间 上递增，则 在 上递增；
④ 若函数 、 在 上是增函数，则 在 上也是增函数．
其中正确命题的个数为（ ）．
A. B. C. D.
19. 判断下列函数的单调性
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
3. 分段函数单调性
遇到分段函数，先画出函数图象，再判断其单调性．
分段函数在定义域内单调等价于：函数在每一段区间上单调；函数在区间与区间之间交界处保持单
调趋势．
经典例题
20. 已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
21. 已知函数 若存在 ， ，使得 成立，则实数 的取值
范围是（ ）．
A. B.
5
C. D.
22. 已知 是 上的增函数，则 的取值范围是 ．
4. 复合函数单调性
复合函数的定义
如果函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，值域为 ，若满足
，那么使 的任意一个 ，都有唯一确定的一个 与之对应，则变量 与 之间通过变量 形成
的一种函数关系，这种函数称为复合函数．记为： ，其中 叫做中间变量， 叫做内
函数， 叫做外函数．
例如 就可以视为复合函数，其中 叫做内函数， 叫做外函
数．
（一）判断复合函数单调性的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解为若干基本初等函数；
（3）分别确定各个基本初等函数的单调性；
（4）若 ，函数 在区间 上的单调性与 在区间 的单调性一致，
则复合函数在区间 上单调递增；若单调性相反，则复合函数在区间 上单调递减，即“同增异减”．
(二) 求复合函数 单调区间
（1）确定定义域 ；
（2）分别求出外层函数 的增减区间 和 ，内层函数 的增减区间 和 ；
（3）根据“同增异减”的法则，
复合函数增区间为不等式组 与不等式组 解集的并集；
复合函数减区间为不等式组 与不等式组 解集的并集．
需要强调的是，复合函数的单调区间一定是自变量 的区间．
经典例题
23. 函数 的单调递增区间为（ ）．
A. B. ，
C. ， D. ，
6
巩固练习
24. 用复合函数的单调性知识解决下列函数的单调性问题．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
25. 分析下列函数的单调性：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
三、 单调性的应用
1. 比大小/解不等式
根据单调性的定义，若函数在某区间 上单调增，则对于区间内任意 ，必有
．则知道自变量的大小关系，可以比较因变量的大小关系．比如已知函数 在 上单调增，则
必有 ，因为 ．
反过来，已知 也可推出 ，可应用于解不等式．例如已知函数 在 上单调
减，且 ，则可得 或 ．
经典例题
26. 已知函数 ，若在区间 上，满足 ，则实数 的取值范
围为 ．
27. 函数 对任意的实数 ， ，都有 ，并且当 时， ．
（ 1 ）求证： 是 上的增函数．
（ 2 ）若 ，解不等式 ．
巩固练习
28. 已知函数 在定义域 上是减函数，且 ，则实数 的取值范围是（
）．
A. B.
C. D.
7
29. 已知函数 ．当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
是 ．
30. 定义在 上的函数 ，满足 ，当 时， ，且对任意的 ， ，有
．
（ 1 ）证明： ．
（ 2 ）证明：对任意的 ，恒有 ．
（ 3 ）证明： 是 上的增函数．
（ 4 ）若 ，求 的取值范围．
2. 求解函数的值域和最值
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
① ，都有 ;
② ，使得 ．
那么我们称 是函数 的 ；
如果存在实数 满足：
① ，都有 ;
② ，使得 ．
那么我们称 是函数 的 ；
单调性几乎是函数最基本的性质，要得到函数的图象，就必须清楚地知道其单调性．而若得到了函
数图象，函数的值域和最值等等自然迎刃而解．
例如求解函数 在 的最大值，由于其为“增 增 增”，所以最大值为
．又如函数 ，其在定义域 内单调增，最大值为 ，所以函数值
域为 ．
经典例题
31. 函数 ， 的值域是 ．
32. 设 ，若 无最小值，则 的取值范围 ．
巩固练习
33. 求函数 的值域．
34.
8
对于任意实数 ， ，定义： ，若函数 ， ，则函数
的最小值为( )
A. B. C. D.
35. 已知函数 ．
（ 1 ）若对任意的 ， 恒成立．试求实数 的取值范围．
（ 2 ）若 时，求函数 在 上的最小值．
导图总结
你学会了吗？快来用知识导图来总结本节课所学吧！
出门测
36. 函数 在 上是减函数，且 ，则满足 的实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
37. 若 ，则函数 的值域是（ ）．
A. B.
C. D.
38. 若函数 在区间 上为单调增函数，则实数 的取值范围是 ．
39. 已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围为 ．
9
