函数的性质综合
一、 选择
1. 设函数 的图象关于直线 对称，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知函数 的图像如图所示，那么，函数 的图像是图中的（ ）．
A. B.
C. D.
3. 已知图 中图像对应函数 ，则图 对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是（ ）．
图 图
A. B.
C. D.
1
4. 如果函数 对任意的实数 ，都有 ，那么（ ）．
A. B.
C. D.
5. 定义在 的函数 满足 ，当 时， ；当
时， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
6. 已知 是定义在 上的奇函数，且 ．当 时， ，则
的值是（ ）．
A. B. C. D.
7. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
8. 设偶函数 对任意 ，都有 ，且当 时， ，则
（ ）．
A. B. C. D.
9. 在 上定义的函数 是偶函数，且 ．若 在区间 上是减函数，则
（ ）．
A. 在区间 上是减函数，在区间 上是减函数．
B. 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数．
C. 在区间 上是增函数，在区间 上是增函数．
D. 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数．
二、 填空
10. 设函数 的定义域为 ，且满足 ，则 的图像关于 对
称． 的图像关于 对称．
11. 已知函数 是周期为 的函数，当 时， ，当 时， 的解
析式是 ．
12. 设定义在 上的函数 满足 ，若 ，则 ．
13. 设函数 是定义域为 ，且 ， ， ，则
．
2
14. 函数 在 上是增函数， 是偶函数，则 ， ， 的大小关系
是 ．
15. 定义域为 上的函数 满足 ，且当 时，
，若 ，则 的取值范围是 ．
16. 定义在 上的函数 ，其图象关于点 对称，且 ， ，
，则 ．
17. 设 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，则
= ．
三、 解答
18. 对于函数 ，任意 ，均有 ，当 时， ．
（ 1 ）当 时，求 的解析式．
（ 2 ）若 ，求 的值．
（ 3 ）求和： ．
3函数的性质综合
一、 选择
1. 设函数 的图象关于直线 对称，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方法一：当 在 与 之间时， ，
当 不在 与 之间时， 都是一次函数，
故 ．
方法二：函数 的图象关于直线
对称，
所以 ，即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用对称性求参数
2. 已知函数 的图像如图所示，那么，函数 的图像是图中的（ ）．
A. B.
C. D.
1
【答案】A
【解析】将原图象向左平移一个单位，然后将 轴以下部分向上翻折即为 的图象．
故选 ．
【标注】【知识点】翻折变换问题；图象法
3. 已知图 中图像对应函数 ，则图 对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是（ ）．
图 图
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】方法一： 为 原图排除，故 错误；
为 的 轴下面部分翻折上去排除，故 错误；
，∴ ，
是保留 部分，
再把 翻折过去，故 正确；
当 ， 把 轴上方翻下来，故 错误；
方法二：由图 知，图象对应的函数是偶函数，且 轴左侧图象与 中的图象对应的函数
相同，故选 ．
【标注】【知识点】翻折变换问题；图象法
2
4. 如果函数 对任意的实数 ，都有 ，那么（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵ 对任意的实数 ，
都有 ，
∴函数 的对称轴方程为 ．
∵抛物线开口向上，称轴方程为 ．
距离 最近， 距离 最远，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数对称性与单调性综合问题；用单调性比较大小
【素养】逻辑推理；数学运算
5. 定义在 的函数 满足 ，当 时， ；当
时， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 可知，函数 的周期为 ，
所以 ， ， ，
， ， ，
所以在一个周期内有 ，
所以 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】函数周期性判断
6. 已知 是定义在 上的奇函数，且 ．当 时， ，则
的值是（ ）．
A. B. C. D.
3
【答案】C
【解析】 有对称中心 和对称轴 ，
因此周期为 ，
．
【标注】【知识点】利用函数周期性求函数值；函数周期性与奇偶性综合问题
7. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意 为定义在 上的奇函数， ，即 ．
又 ， ，
即 ， ，
当 时， ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
【知识点】函数的定义域
【素养】数学运算
8. 设偶函数 对任意 ，都有 ，且当 时， ，则
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：由 知该函数为周期函数，周期为 ，
所以 ），
又 为偶函数，则 ．
方法二：因为 ,故有 ．函
数 是以 为周期的函数．
4
．
故选： ．
【标注】【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题
【素养】数学运算
9. 在 上定义的函数 是偶函数，且 ．若 在区间 上是减函数，则
（ ）．
A. 在区间 上是减函数，在区间 上是减函数．
B. 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数．
C. 在区间 上是增函数，在区间 上是增函数．
D. 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数．
【答案】B
【解析】由 可知 图象关于 对称，
又因为 为偶函数图象关于 对称，
可得到 为周期函数且最小正周期为 ，
结合 在区间 上是减函数．故选B．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
二、 填空
10. 设函数 的定义域为 ，且满足 ，则 的图像关于 对
称． 的图像关于 对称．
【答案】 轴 ;
【标注】【知识点】一个函数的自对称问题
11. 已知函数 是周期为 的函数，当 时， ，当 时， 的解
析式是 ．
5
【答案】
【解析】
当 时， ，
所以 ．
【标注】【素养】数学抽象；数学运算
【知识点】利用函数周期性求函数值
12. 设定义在 上的函数 满足 ，若 ，则 ．
【答案】
【解析】略．
【标注】【知识点】函数周期性判断
13. 设函数 是定义域为 ，且 ， ， ，则
．
【答案】
【解析】令 ，得 ，
解得 ，
∵ ①，
∴ ②，
① ②得 ，
∴ ，
∴ 为周期为 的函数，
∴ ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】解析法
14. 函数 在 上是增函数， 是偶函数，则 ， ， 的大小关系
是 ．
6
【答案】
【解析】函数 是偶函数，则 ，即函数关于直线 对称，
则函数在 上单调递减， ，
则 ．
【标注】【知识点】用单调性比较大小；抽象函数
15. 定义域为 上的函数 满足 ，且当 时，
，若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据 ，可得 的函数图象关于直线 对称，当
时， ，可设 ，
根据 ，即可求解．
∵ ，
∴ 的函数图象关于直线 对称，
∴函数 关于 轴对称，
当 时， ，
那么 时， ，
可得 ，
由 ，
得 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式；一个函数的自对称问题
16. 定义在 上的函数 ，其图象关于点 对称，且 ， ，
，则 ．
【答案】
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【解析】由 得 ，∴周期为 ．
又∵图象关于 成中心对称．
．
．
∴ 是偶函数．
．
则 ．
又∵ ．
．
∴ ．
【标注】【知识点】函数对称性与周期性综合问题
17. 设 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，则
= ．
【答案】
【解析】 是定义在 上的奇函数 ， ．又y= 的图像关于直线
对称，
，且 , ．
， 是 的一个周期．故 + + + + =0．
【标注】【知识点】函数对称性与奇偶性综合问题
三、 解答
18. 对于函数 ，任意 ，均有 ，当 时， ．
（ 1 ）当 时，求 的解析式．
（ 2 ）若 ，求 的值．
（ 3 ）求和： ．
【答案】（ 1 ） ．
8
（ 2 ） ， ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）任意 ，均有 ，
∴ ，
∴ 是周期为 的周期函数，
设 时，则 ，
∵当 时， ，
∴
∴ ，
∴ ．
（ 2 ）∵ ，当 时
∴ ，或 ，
即 或 ，
因为 周期为 ，
所以 或 ， ，
即 ， ．
（ 3 ）∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】利用函数周期性求函数值；用利用函数性质法求解析式
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