(共20张PPT)
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1.能说出根与系数的关系;会利用根与系数的关系解有关的问题.
2.在经历观察、归纳、猜想、验证的探索发现过程,通过尝试与交流,开拓思路,体会应用知识探索成果的喜悦.
3.通过观察、实践、讨论等活动,经历发现问题、发现关系的过程,养成独立思考的习惯;通过交流互动,逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.
教学重难点
教学重点
一元二次方程两根之和及两根之积与原方程的系数之间的关系.
教学难点
对根与系数这一关系进行应用.
同学们先来完成上面的表格,再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系,并加以证明.
可以得到x1+x2=-ba,x1x2=ca.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac>0时有两个根,x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.于是,两根之和为x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba;两根之积为x1x2=-b+b2-4ac2a·-b-b2-4ac2a=(-b)2-(b2-4ac)24a2=b2-b2+4ac4a2=ca.
通过上边的猜测与证明,我们得到:
一元二次方程的根与系数的关系:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=-ba,x1x2=ca.
(1)x2-7x+12=0
(2)x2+3x-4=0
(4) 2x2+3x-2=0
解下列方程并完成填空:
方程 两根 两根和
X1+x2 两根积
x1x2
x1 x2
x2-7x+12=0
x2+3x-4=0
3x2-4x+1=0
2x2+3x-2=0
3
4
12
7
1
-3
- 4
- 4
-1
-
-2
(3)3x2-4x+1=0
1
方程 两根 两根和
X1+x2 两根积
x1x2
x1 x2
x2-7x+12=0
x2+3x-4=0
3x2-4x+1=0
2x2+3x-2=0
-
3
4
12
7
1
-3
- 4
- 4
-1
-2
1
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
的两根为x1、x2, 则
.
.
X1+x2=
+
=
=
-
X1x2=
●
=
=
=
证明:设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则
一元二次方程的根与系数的关系:
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2= , x1x2 =
-
注:能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
在使用根与系数的关系时,应注意:
⑴不是一般式的要先化成一般式;
⑵在使用X1+X2=- 时, 注意“- ”不要漏写。
如果方程x2+px+q=0的两根是X1,X2,
那么 X1+X2= , X1X2= .
-P
q
一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.
说出下列各方程的两根之和与两根之积:
(1)x2-2x-1=0
(3) 2x2 - 6x =0
(4) 3x2 = 4
(2) 2x2 - 3x + =0
x1+x2=2
x1x2=-1
x1+x2=
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=
x1x2=0
x1x2= -
例1:方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2
不解方程,求下列代数式的值:
(1)
(2)
(3)
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值.
解法一:
设方程的另一个根为x1
由根与系数的关系,得
2 + x2 = k+1
2 x2 = 3k
解得
x2 =-3
k =-2
答:方程的另一个根是-3,k的值是-2.
解法二:
把 x=2 代入方程,
得 4-2(k+1)+3k=0
解得 k= -2
则此方程为x2+x-6=0
(x+3)(x-2)=0
∴ x1=-3, x2=2
答:方程的另一个根是-3,k的值是-2.
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值.
4
1
14
12
则:
=
=
设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,求(x1+1)(x2+1)的值.
解:
x1+x2 = - 2 , x1x2 =
∴ (x1+1)(x2+1)
= x1 x2 + (x1+x2)+1
= -2+( )+1
=
∵
3、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值。
下列方程的两根的和与两根的积各是多少?
⑴.X2-3X+1=0 ⑵.3X2-2X=2
⑶.2X2+3X=0 ⑷.3X2=1
基本知识
3.掌握三种题型的解题方法.
(1)直接利用根与系数的关系求两根之和与两根之积
(2)求代数式的值
(3)已知方程的一根,求另一根及待定系数的值
1.一元二次方程根与系数的关系
(1)推导方法:根据一元二次方程的求根公式推导
(2)条件:△≥0
(3)结论:
课堂小结:
2.在使用根与系数的关系时,应注意:
⑴不是一般式的要先化成一般式;
⑵在使用X1+X2=- 时,注意“- ”不要漏写.