第五章 三角形
第1节 认识三角形
成都石室联合中学数学组 邱迁学
课时安排： 3课时
教学目标：
1、知识与技能目标：（1）结合具体事例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三条边、三个角之间的关系，会根据角的大小将三角形分类；（2）了解三角形中线、内角平分线、高线，并达到在具体的三角形中做出它们。
2、过程与方法目标：（1）通过观察、操作、想像、推理和交流活动，发展学生的空间观念、推理能力和有条理、清晰地表达自己观点的能力；（2）在与同学的合作和交流过程中培养学生勇于探索、勇于实践、合作交流的学习氛围。
3、情感与态度目标：（1）体现三角形与生活的紧密联系，鼓励学生努力学好文化知识，为社会做贡献。（2）通过对问题的发现和解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心。
教学重点：三角形的基本性质即三个角的关系和三条边的关系。
教学难点：对钝角三角形高线的理解和准确地画出高线。
教学建议：
1、几何学习离不开图形，在学习时要鼓励学生多动手作图、操作、观察和实验，注意体会、思考和交流，在本节教学中一方面要充分利用学生已有的知识和经验，另一方面通过多角度思考、分析、说理、操作和计算加深对三角形基本性质的理解，从而突出和解决本节重点；同时还应注意在直观操作的基础上进行简单的推理，学会用一定的方式有条理地表达推理过程，为以后的几何证明打下基础。
2、三角形中任意两边之和大于第三边是由“两点之间的所有线段中，线段最短”这个结论得到的，要注意知识之间的前后联系。理解三角形内角和为180°时，要结合学习过的有关平行线特征和识别的知识。
3、在按角对三角形分类时，要明确分类的标准，注意分类时要做到“不重不漏”，同时注意到三角形三条边、三个角之间的关系与三角形的具体形状无本质关系，特殊三角形的特殊性质与其具体形状有关，如“直角三角形的两个锐角互余”。
4、三角形中的高、角平分线、中线是三角形的几条重要线段。三角形中的三条高、三条角平分线、三条中线必交于一点，其中角平分线和中线的交点都在三角形内，而三条高的交点则要分类讨论。三角形的高线的画法实质的对直线外一点作已知直线的垂线，这是画出高线的关键，也是高线的本质，从易到难是分散难点和突破难点的具体措施和方法。
5、本节概念多、性质多且适合动手操作的特点，可采用讲授法与动手探究相结合的教学方式。
教学流程：
教学内容
教 师 活 动
学 生 活 动
创设情景
在我们的生活中几乎随处可见三角形。它简单、有趣，也十分有用。请看下面一个例子：1976年7月28日，我国河北省唐山市发生了里氏7.8级地震，房屋大部分倒塌，24万人蒙难。事后发现，房屋破坏最轻的是那些有三角形房顶的木结构房子，如图所示，为什么会这样呢?这是“三角形的稳定性”的作用，在机械制造和建筑工程中处处用到这个性质。这类实际问题有很多，你学好了“三角形”，可以利用新知识来解决这些问题。
观察多媒体课件演示，让学生体会到数学知识来源于生活，激化学生的学习兴趣。
引入课题
今天我们先来认识三角形。请观察房屋破坏最轻的是那些有三角形房顶的木结构房子的示意图：
提出问题，巡视。
学生根据教师展示的图形进行观察并相互交流：1、你能从图中找到4个不同的三角形吗？
2、与同伴交流各自找到的三角形，并讨论怎样表示这些三角形。
3、这些三角形有什么共同的特点？
三角形的概念及其基本要素
引导学生归纳三角形的概念及其基本要素（边、角、顶点）及其表示方法。
根据同学们的回答及教师的讲解思考和归纳。
教学 引 入 （1）
提出“议一议”，巡视针对个别学生进行辅导，引导学生回忆七年级上学期学习过的“两点之间的所有连线中，线段最短”，鼓励学生利用这个结论说明自己的发现。
展示：元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有蓝色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。
教学 引 入 （2）
让学生动手实践
学生课前准备好长短不一的竹条，任意选三根，先猜一猜手中的竹条能否组成三角形，然后试一试验证自己的猜想，出现的结果能说明什么问题？与同伴进行交流和讨论。
三角形三边的关系（1）
“三角形任意两边之和大于第三边”。引导学生注意结论中“任意”二字的含义。
学生思考并正确理解。
教学引入
提出“做一做”，教师巡视针对个别学生进行辅导并提出问题。
学生两人一组，测量并相互交流，然后讨论：三角形任意两边之差与第三边有什么结论？
a= b= c= ；
a= b= c= ；
a= b= c= 。
三角形三边的关系（2）
“三角形任意两边之差小于第三边”。引导学生注意结论中“任意”二字的含义。
学生思考并正确理解。
应用举例
展示：例1、有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什么？长度为13cm的木棒呢？
鼓励学生先充分展开讨论，鼓励学生用自己的语言有条理、清晰地表达自己的观点。
课堂练习
教师巡视和个别辅导，具普遍性的问题统一分析和讲解。
指出图中有几个三角形，并用符号表示出来。
2、下列每组数分别是三根
小木棒的长度，用它们
能摆成三角形吗？实际摆一摆，
验证你的结论：
3cm、4cm、5cm；
8cm、7cm、15cm；
20cm、12cm、13cm；
6cm、6cm、13cm。
3、如果三角形的两边长分别为2和4，且第三边长是奇数，那么第三边长为 ；第三边长是奇数，那么此三角形的周长为 。
4、一个木工师傅现有两根木条，它们分别为30cm、50cm，他要选择第三根木条将它们钉成一个三角形木架，设第三根木条长为xcm，则x的取值范围为 。
5、如果一个等腰三角形的两已知边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长为 。
知识拓展
(思考题)
草原上的四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点，现要建立一个维修站H，使它到四口油井的距离之和最小，那么这个维修站H应建在何处呢?为什么?
教学内容
教师活动
学生活动
教学引入
引导学生在操作中思考：能否利用平行线的有关事实说明这个结论？为以后证明此性质积累经验。
每个同学准备一个三角形纸片，请利用这个三角形纸片采用不同的方法去探求三角形的内角和，与同伴进行交流。
参考：
三角形内角和
三角形三个内角和等于180°
如下图所示，思考并讨论如何利用这些图形说明三角形内角和等于180°。
教学引入
注重学生在活动过程中的思考，鼓励学生有条理地表述。
图中被遮住的三角形的两个角是什么角，试着说明理由。讨论并与同伴交流。
三角形按角的大小分类
引导分析
1、回忆小于平角的角分成几类
2、锐角三角形 三个内角都是锐角
直角三角形 有一个内角为直角
钝角三角形 有一个内角为钝角
直角三角形及性质
引导分析
认识直角三角形：
1、表示：Rt△ABC
2、斜边与直角边
3、直角三角形的两个锐角互余
应用举例
要求学生口头说明理由
已知：如图
BD⊥AC
∠ABD=50°
∠DBC=20°
求∠A和∠C的度数
教学内容
教师活动
学生活动
课堂练习
老师巡视，个别辅导，其普遍性问题统一说明
1、观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应图内：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
2、在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，
则∠C= 。
3、如果△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
此三角形按角分类应为 。
4、根据图示求∠α的度数
5、直角三角形的一个锐角为70°，另一个锐角为 度。
6、如图，在△ABC中，
∠A=∠1，∠2=∠B，
∠ABC=∠ACB，
求∠ACB的度数
知识拓展：
1、三角形的外角与内角的关系：三角形的一个外角等于与它不相邻的的个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2、利用三角形的内角和求凸多边形的内角和：求一个凸多边形的内角和，一般可将其转化为三角形。如图所示：
三角形 四边形 五边形 六边形 ……
内角和：180° 360° 540° 720°
凸n边形内角和：180°（n-2）
3、如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
教学内容
教师活动
学生活动
教学引入
引导学生观察分分析折痕AD的特点，师生共同概括指出三角形的角平分线的概念。
每个同学准备一张薄纸任意画一个三角形，并把三个顶点标上字母，按要求操作：
（1）把你的三角形对折，使AB所在直线与AC所在直线重合。
（2）然后展开，得折痕为AD。
思考AD与∠BAC的关系
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
讨论角的平分线与三角形的角平分线的区别与联系。
利用刚才的方法再折出三角形的另两条角平分线，观察并用自己的语言把自己的发现说出来。
在纸上画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个，分别画出这三个三角形的角平分线。观察并讨论自己的发现。
（三角形的三条角平分线相交于一点）
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
在纸上画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个，分别画出（或折出）这三个三角形的三条中线，观察并讨论自己的发现。
（三角形的三条中线交于一点）。
教学引入
前面讨论了三角形三线中的两线（角平分线和中线）现在用同样的折线方法探索三角形的高线。
回忆过一点如何作一条直线的垂线，从而引出三角形高的定义。
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
注意对直角三角形和钝角三角形的三条高的认识和理解。
每人准备锐角三角形纸片、直角三角形纸片、钝角三角形纸片各一个或在纸上画出锐角三角形直角三角形、钝角三角形各一个。分别折出（或画出）这三个三角形的三条高，并观察它们有怎样的位置关系。
（三角形的三条高所在的直线交于一点）
课堂练习
教师巡视，个别辅导。
1．如图：
（1）AD、BE、CF是
△ABC的三条角平分线，
则∠1= ，∠3= ，
∠6= 。
（2）AD、BE、CF是
△ABC的三条中线，则
AB=2 ，BD= ，
AE= 。
2．下列各图中的AD是△ABC的高吗？若不是，画出正确图形。
3．在△ABC，AD是角平分线，∠B=50°，
∠C=70°，则∠ADC= 。
4．说出图中的阴影线的各三角形的面积（每一小正方形的边长为一个长度单位）。
5．在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线相交于O，则∠BOC的度数为 。
6．在△ABC中，已知∠ABC=60°，
∠ACB=50°，BE是AC上的高，
CF是AB上的高，H是BE和CF
的交点。求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数。
知识拓展：
1．三角形的重心、内心和垂心；
三角形中的三条高的交点称为垂心；三条角平分线的交点称为内心；三条中线的交点称为重心。
2．O为△ABC的角平分线的交点，
求证：∠BOC=90°+∠A
教学反思：
由于本节课是以实验动手操作为主要探究方式的活动，所以教师一定要深入到学生中间去发现那些有特殊表现的同学要及时给予肯定，并鼓励他们到讲台前将自己的成果展示给同学们看，这样不但使他们展示了自己的才华，还锻炼了他们的语言表达能力和自我表现意识，并推动了课堂教学。为了鼓励他们，对在课上表现突出的学生，应在其成长纪录中给予评价。
课件24张PPT。 1、你能从图中找到4个不同的三角形吗？
2、与同伴交流各自找到的三角形，
并讨论怎样表示这些三角形。
3、这些三角形有什么共同的特点？ “三角形任意两边之和大于第三边”。 a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a“三角形任意两边之差小于第三边”。 a-b＜c，b-c＜a，c-a＜bb-a＜c，c-b＜a，a-c＜b例1、有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什么？长度为13cm的木棒呢？ 三角形三个内角和定理：
三角形三个内角和等于180° 锐角三角形 三个内角都是锐角
直角三角形 有一个内角为直角
钝角三角形 有一个内角为钝角 直角三角形的两个锐角互余 已知：如图
BD⊥AC
∠ABD=50°
∠DBC=20°
求∠A和∠C的度数
课堂练习：
1、观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应图内：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形2、在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，
则∠C= 。
3、如果△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
此三角形按角分类应为 。
4、根据图示求∠α的度数5、直角三角形的一个锐角为70°，
另一个锐角为 度。
6、如图，在△ABC中，
∠A=∠1，∠2=∠B，
∠ABC=∠ACB，求∠ACB的度数 知识拓展：
1、三角形的外角与内角的关系：三角形的一个外角等于
与它不相邻的的个内角之和；三角形的一个外角大于任何
一个与它不相邻的内角。
2、利用三角形的内角和求凸多边形的内角和：求一个凸
多边形的内角和，
一般可将其转化为三角形。如图所示：
三角形 四边形 五边形 六边形
内角和：180° 360° 540° 720°
凸n边形内角和：180°（n-2）3、如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= （O） 1．如图：
（1）AD、BE、CF是
△ABC的三条角平分线，
则∠1= ，∠3= 1/2 ，
∠6= 。（2）AD、BE、CF是
△ABC的三条中线，则
AB=2 ，BD= ， AE=1/2 。2．下列各图中的AD是△ABC的高吗？
若不是，画出正确图形。
3．在△ABC，AD是角平分线，∠B=50°，
∠C=70°，则∠ADC= 。
4．说出图中的阴影线的各三角形的面积
（每一小正方形的边长为一个长度单位）。5．在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的
平分线相交于O，则∠BOC的度数为 。
6．在△ABC中，已知∠ABC=60°，
∠ACB=50°，BE是AC上的高，
CF是AB上的高，H是BE和CF
的交点。求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数。 知识拓展：
1．三角形的重心、内心和垂心：
三角形中的三条高的交点称为垂心；
三条角平分线的交点称为内心；
三条中线的交点称为重心。
2．O为△ABC的角平分线的交点，
求证：∠BOC=90°+1/2 ∠A
