2022-2023学年数学人教版九年级上册 22.3.1 实际问题与一元二次函数（1） 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
22.3.1 实际问题与一元二次函数（1）
教学目标
1.会建立“二次函数”的模型解决实际问题。
2.会根据二次函数的最值求实际问题的最大值或最小值。
教学重难点
求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．
将实际问题转化成二次函数问题．
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
（1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法)
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；
顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；
（2）开口方向：向下；对称轴：x= ；
顶点坐标：（ ， ）；最大值： .
复习回顾
探究归纳
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
思考1 矩形面积公式是什么？
思考2 如何用l表示另一边？
思考3 面积S的函数关系式是什么？
S=l(30-l)
30-l
矩形面积=长×宽
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
探究归纳
S=l(30-l)
即 S=-l2+30l (0解:矩形场地的周长是60 m，一边长为 m，所以另一边长
为( )m. 场地的面积为
因此，当 时，
S有最大值
例1:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t - 5t 2
可以出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
例题讲解
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t - 5t 2
解：由题意得：
例题讲解
例2： 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长34m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设菜园平行于墙的一边长为xm,面积为S，
则由题意得：
S=x(60-2x)= -2x2+60x=-2(x-15)2+450
因为0＜60－2x≤34，即13≤x＜30.
所以最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
例3： 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
例题讲解
解：设菜园平行于墙的一边长为xm,面积为S，
则由题意得：
而 0＜x≤18.
由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378m2.
归纳总结
实际问题中求解二次函数最值问题时，函数的最值要考虑自变量的取值范围：
（1）当自变量的取值包含顶点时，函数的最值在函数的顶点处取得；
（2）当自变量的取值不包含顶点时，函数的最值一般在取值范围端点处取得，此时要考虑函数的增减性.
例4：用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
x
解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m.这里应有x＞0，
故0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：
例题讲解
即
配方得
所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.
x=1满足0＜x＜2，这时
因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2.
例题讲解
归纳总结
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
巩固训练
1.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________.
A. 6厘米 B. 12厘米 C. 24厘米 D. 36厘米
2.某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为厘米，当x=3时，y=18那么当成本为78元时，边长为（ ）
A
3.如图1，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.
3
A
B
C
P
Q
图1
巩固训练
4. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为(6-x),
∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
巩固训练
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;
∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
巩固训练
解：设一直角边长为x，则另一直角边长为 ，
依题意得：
5.已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形的面积最大？最大值是多少？
巩固训练
则8-x=4
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
课堂小结