湘教版九年级上册：第4章 锐角三角函数单元测试卷（含解析）

第4章 锐角三角函数单元训练卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
2．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（　　）米．
A．75 sin55° B．75 cos55° C．75 tan55° D．
3．如图，这是某市政道路的交通指示牌．BD的距离为3m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（　　）
A．3 B．3 C．3﹣3 D．3﹣3
4．小亮为测量如图所示的水湖湖面的宽度BC，他在与水湖处在同一水平面上取一点A，测得湖的一端C在A处的正北方向，另一端B在A处的北偏东60°的方向，并测得A、C间的距离AC＝10m，则湖的宽度BC为（　　）
A．m B．10m C．20m D．20m
5．如图，已知公路l上A、B两点之间的距离为50m，小明要测量点C与河对岸边公路l的距离，测得∠ACB＝∠CAB＝30°．点C到公路l的距离为（　　）
A．25m B．m C．25m D．（25+25）m
6．如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在墙上，已知梯子底端B到墙角C的距离为1.5米，设梯子与地面所夹的锐角为α，则cosα的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（　　）
A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m
8．如图，某建筑物AC直立于水平地面，BC＝9m，∠B＝30°，要建造楼梯，使每级台阶高度不超过20cm，那么此楼梯至少要建（　　）级（最后一级不足20cm时，按一级计算，≈1.732）
A．27 B．26 C．25 D．24
9．如图，在坡角为30°的山坡FB上有一座信号塔AB，其右侧有一堵防护墙CD，测得BD的长度是30米，当光线AC与水平地面的夹角为53°时，测得信号塔落在防护墙上的影子DE的长为19米，则信号塔AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
A．35.5米 B．37.6米 C．38.6米 D．40.3米
10．如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（　　）
A．5 B． C．3 D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是　 　m．
12．如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内滑梯的倾斜角由45°降为30°，已知点D，B，C在同一水平地面上，且BD的长为2米，则改造后滑梯的长度是　 　米．（保留根号）
13．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一栋小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝40m，DE＝10m，则障碍物B，C两点间的距离为　 　m．（结果保留根号）
14．如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝15°，∠B＝30°，则△ABC的面积为 　 　．
15．如图所示，AB＝4，BC＝8，AB⊥BC于点B，点D是线段BC上一个动点，且AD⊥DE于点D，，连接CE，则CE长的最小值是 　 　．
三．解答题（共7小题）
16．阳春三月，春暖花开，莲花山风景区游人如织，某摄影爱好者正在用无人机进行航拍．如图，在无人机镜头C处，观测风景区A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，已知A，B两点之间的距离为200米，则无人机镜头C处的高度CD为多少？（点A，B，D在同一条直线上，结果保留根号）
17．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知AC＝20千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
18．如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着仰角为30°的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，求山的高度？
19．如图所示，A，B两地之间有一座山，原来从A地到B地需要经过C地，现在政府出资打通了一条山岭隧道，使从A地到B地可沿直线AB直接到达．已知BC＝8km，∠A＝45°，∠B＝53°．
（1）求点C到直线AB的距离；
（2）求现在从A地到B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：≈1.41，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）
20．为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD＝32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为60°，（如图）．已知C、D、B三点在同一水平直线上，且CD＝400米，DB＝200米．
（1）求大厦DE的高度；
（2）求平安金融中心AB的高度；
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.41，≈1.73）
21．如图，小明为测量马路的宽度CD，他从楼AB的楼顶A处分别观测马路的两侧C处和D处，测得C、D两处的俯角∠EAC＝70°，∠EAD＝52°，已知从楼底B处到C处的距离为BC＝40m，且B、C、D三点在同一水平直线上．
（1）求楼的高度AB；
（2）求马路的宽度CD．（结果精确到0.1m）
（参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28，sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）
22．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，在地面D处测得旗杆顶端B的仰角为30°，在D，C之间选择一点E（D，E，C三点在同一直线上），又测得旗杆顶端B的仰角为60°，且D，E之间的距离为20m，已知建筑物的高度AC＝12m，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.73，≈1.41．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∴PM＝ON，PN＝OM，
∵P（4，3），
∴ON＝PM＝4，PN＝3，
在Rt△PON中，由勾股定理得
OP＝，
∴，
故选：B．
2．【解答】解：根据题意，在Rt△ABC，有AC＝75，∠ACB＝55°，且tanα＝，
则AB＝AC×tan55°＝75 tan55°，
故选：C．
3．【解答】解：由题意可得：∠CDB＝∠DCB＝45°，
故BD＝BC＝3m，
设AC＝x，
则tan60°＝＝，
解得：x＝3﹣3，
故选：D．
4．【解答】解：根据题意知∠ACB＝90°、∠A＝60°、AC＝10m，
∵tanA＝，
∴BC＝ACtanA＝10tan60°＝10（m），
故选：B．
5．【解答】解：如图，过点C作CD⊥直线l于点D，
∵∠ACB＝∠CAB＝30°，AB＝50m，
∴AB＝BC＝50m，∠CBD＝60°，
在Rt△BCD中，∵sin∠CBD＝，
∴CD＝BCsin∠CBD＝50×＝25（m），
故选：C．
6．【解答】解：∵在Rt△BAC中，∠ACB＝90°，AB＝2.5m，BC＝1.5m，
∴cosα＝cosB＝＝＝．
故选：A．
7．【解答】解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．
则AB＝MN，AM＝BN．
在直角△ACM，∵∠ACM＝45°，AM＝50m，
∴CM＝AM＝50m．
∵在直角△BCN中，∠BCN＝∠ACB+∠ACD＝60°，BN＝50m，
∴CN＝（m），
∴MN＝CM﹣CN＝50﹣（m）．
则AB＝MN＝（50﹣）m．
故选：C．
8．【解答】解：所有台阶高度和为AC的长．
设此楼梯至少要建x阶，可得tan30°＝＝，
所以 x＝15≈26（阶）．
故选：B．
9．【解答】解：如图，作EG′⊥AB于点G′，BP⊥DE于点P，
则∠DBP＝∠BFG′＝30°，
∵BD＝30，
∴DP＝BD＝15，BP＝BDcos∠DBP＝30×＝15，
∵DE＝19，
∴PE＝BG′＝DE﹣DP＝4，
∵∠AEG′＝∠H＝53°，
∴∠EAG′＝37°
∴AG′＝＝，
则AB＝AG′+BG′＝+4≈38.6，
故选：C．
10．【解答】解：如图，延长BD交AC于点E．
∵DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，∠DCE＝∠DCB．
在△DCE和△DCB中，
，
∴△DCE≌△DCB（SAS）．
∴BD＝ED＝1．
∵∠ABD＝∠A，
∴AE＝BE＝2．
∵AC＝7，
∴CE＝AC﹣AE＝5．
∴CD＝＝＝2．
∴tan∠CBD＝＝＝2．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：∵坡度为1：2，＝，且株距为6米，
∴株距：坡面距离＝2：，
∴坡面距离＝株距×＝3（米）．
另解：∵CB：AB＝1：2，
设CB＝x，AB＝2x，
∴AC＝＝x，
∴＝，
∵AB＝6m，
∴AC＝×6＝3m．
故答案为：3．
12．【解答】解：设AC＝x米，
∵∠ABC＝45°，
∴BC＝AC＝x，
∴AB＝x，
在Rt△ACD中，tanD＝，
∴CD＝＝x，
由题意得，x﹣x＝2，
解得，x＝+1，
∴AD＝2x＝（2+2）米，
故答案为：2+2．
13．【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE＝BF＝CH＝10m，
在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝30m，∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝30m．
在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，
∴CE＝＝＝10（m），
∴BC＝BE﹣CE＝（30﹣10）m．
答：障碍物B，C两点间的距离为（30﹣10）m．
14．【解答】解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝15°，∠B＝30°，
∴∠DAC＝∠DCA＝30°+15°＝45°，AB＝2AD，
∴AD＝CD，
在Rt△ADC中，
AC＝2，
∴AD＝CD＝，
在Rt△ABD中，
BD＝，
∴S△ABC＝S△ABD﹣S△ADC＝＝＝﹣1，
故答案为：（﹣1）．
15．【解答】解：在BC上截取BQ＝3，则CQ＝5，Rt△ABQ中，BQ：AB：AQ＝3：4：5
∵，
∴在Rt△ADE中，DE：AD：AE＝3：4：5，
∴△EAD∽△QAB，
∴，∠QAB＝∠EAD，
∴∠BAD＝∠QAE，
∴△BAD∽△QAE，
∴∠AQE＝90°，
∴∠EQC的角度固定不变，
∴CH为CE的最小值．
过C点作CH⊥EQ交EQ于点H，
∴∠CHQ＝∠ABQ＝90°，
∵∠AQE＝90°，
∴∠CQH＝∠QAB，
∴△ABQ∽△QHC，
∵CQ＝5，
∴CH＝3，
故答案为：3．
三．解答题（共7小题）
16．【解答】解：设CD为x米．
在Rt△ACD中，∠A＝30°．
∵，
∴．
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x．
∵AD﹣BD＝AB，
∴．
解得x＝．
∴高度CD为（100+100）米．
17．【解答】解：（1）作CD⊥AB于D点，
由题意可知：AC＝20，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴CD＝AC＝10，
∵∠B＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝10，
∴BC＝CD＝10，
∴AC+BC＝20+10，
即开通隧道前，汽车从A地到B地要走（20+10）千米；
（2）由（1）知CD＝10，
∵CD⊥AB，∠B＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝10，
∵AD＝AC＝10，
∴AB＝10+10≈17.3+10＝27.3，
∵AC+BC＝20+10≈20+14.1＝34.1
∴34.1﹣27.3＝6.8≈7，
答：开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走7千米．
18．【解答】解：∵∠BAC＝45°，∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝15°，
∵∠BDE＝60°，∠BED＝90°，
∴∠DBE＝30°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝15°，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴AD＝BD＝1000，
过点D作DF⊥AC，
∵AC⊥BC，DE⊥AC，DE⊥BC，
∴∠DFC＝∠ACB＝∠DEC＝90°
∴四边形DFCE是矩形
∴DF＝CE
在直角三角ADF中，∵∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝500，
∴EC＝500，BE＝1000×sin60°＝500．
∴BC＝500+500米．
19．【解答】解：（1）如图所示，作CD⊥AB于点D，
由题意知，∠B＝53°、∠A＝45°、BC＝8，
则CD＝BCsinB＝8sin53°≈6.4；
（2）∵BD＝BCcos53°≈4.8，AD＝CD＝6.4，
∴AB＝AD+BD＝11.2，
又∵AC＝CD≈9.0，
∴AC+BC＝9.0+8＝17.0，
则17.0﹣11.2＝5.8（km），
答：现在从A地到B地可比原来少走5.8km路程．
20．【解答】解：（1）∵在Rt△DCE中，∠CDE＝90°，∠ECD＝32°，CD＝400米，
∴DE＝CD tan∠ECD≈400×0.62＝248（米）．
故大厦DE的高度约为248米；
（2）如图，作EF⊥AB于F．
由题意，得EF＝DB＝200米，BF＝DE＝248米，∠AEF＝60°．
∵在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，
∴AF＝EF tan∠AEF≈200×1.73＝346（米），
∴AB＝BF+AF＝248+346＝594（米）．
故平安金融中心AB的高度约为594米．
21．【解答】解：
（1）由已知得，∠ACB＝∠EAC＝70°，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BCtan∠ACB＝40tan70°＝40×2.75＝110.0m，
答：楼的高度AB为110.0m．
（2）由已知得，∠ADB＝∠EAD＝52°，
在Rt△ABD中，∵tan∠ADB＝，
∴BD＝＝85.94m，
∴CD＝BD﹣BC＝85.94﹣40≈45.9m，
答：马路的宽CD约为45.9m．
22．【解答】解：∵∠BEC＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠DBE＝60°﹣30°＝30°，
∴BE＝DE＝20m，
在Rt△BEC中，
BC＝BE sin60°＝20×＝10≈17.3（m），
∴AB＝BC﹣AC＝17.3﹣12＝5.3（m），
答：旗杆AB的高度为5.3m．