2022-2023学年 华东师大版八年级数学上册 13.1.2定理与证明 课时练习 (含答案)

13.1.2定理与证明（附解析）
一、单选题(共12个小题)
1．下列说法正确的是（ ）
A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明
C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行
2．下列推理正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
3．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．边边边公理
C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短
4．下列问题你不能肯定的是（ ）
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系
C．三角形的内角和 D．边形的外角和
5．数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（ ）
A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯
6．假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（ ）
A．a＝1 B．a≠0 C．a≥0 D．a＞0
7．下列语句中，是定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等
8．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（ ）．
A．， B．，
C． D．，
9．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
10．下列命题是定理的是（ ）
A．内错角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．一个角的余角不等于它本身
D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
11．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．若a的倒数为，则a是整数
B．若三个数满足，则a，b，c一定是三角形的三条边
C．若△ABC与△A′B′C′关于某直线对称，则△ABC与△A′B′C′一定全等
D．两直线平行，同位角相等
12．下列定理中，逆定理不存在的是（ ）
A．等边三角形的三个内角都等于
B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．全等三角形的面积相等
二、填空题(共8个小题)
13．根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：
已知：_______________________________
求证：_______________ ．
14．如图所示，，那么________，依据是__________．
15．（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______．
（2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______．
16．如图所示，已知，，．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是________．（填序号）
17．用一个实数的值说明命题“”是假命题，这个的值可以是__________．
18．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b//a，c//a，那么b//c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c．
其中真命题的是__________．（填写所有真命题的序号）
19．命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是__________________，它是_________（填“真命题”或“假命题”）．
20．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题．
三、解答题(共3个小题)
21．如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：．
解：∵，（已知）
∴∠AMN＝∠DNM（ ）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝ ∠AMN，
∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴（ ）
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ．
（2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来．
22．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系．
(1)如图1，，，∠1与∠2的关系是______；
证明：
(2)如图2，，，则∠1与∠2的关系是______；
证明：
(3)经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是______．
23．如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)．
13.1.2定理与证明解析
1．
【答案】B
【解析】略
2．
【答案】D
【详解】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误；
B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误；
C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误；
D、∵，则或，本项正确；
故选择：D.
3．
【答案】A
【详解】解：如图，
根据两点之间线段最短，即可判断：，
∴三角形的任意两边之和大于第三边；
故选A.
4．
【答案】B
【详解】A. 二者大小关系一目了然，能肯定；
B. 二者面积大小关系不确定，不能肯定；
C. 能用三角形的内角和定理判断，能肯定；
D. 能用多边形的外角和判断，能肯定；
故选B.
5．
【答案】B
【详解】解：《几何原本》的作者是：欧几里得，
故选：B．
6．
【答案】D
【详解】解：假设命题“a≤0”不成立，则a＞0．
故选：D．
7．
【答案】B
【详解】A. 两点确定一条直线是画图语句不是定义，
B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，平行线是被定义项，不相交的两条直线是定义项，叫做是定义联项，
C. 三角形的角平分线是一条线段说明角平分线的形状不是定义，
D. 同角的余角相等是定理不是定义．
故选择：B．
8．
【答案】C
【详解】解：A、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项不符合；
B、不满足条件，故B选项不符合；
C、满足条件，不满足结论，故C选项符合；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项不符合．
故选：C．
9．
【答案】B
【详解】①是题目条件或者要求,不是定理;
②是三角形中位线定义,不是定理;
③是定理;
④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行.
故选B.
10．
【答案】B
【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意；
C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意．
故选B．
11．
【答案】D
【详解】解：A．原命题的逆命题是：若a是整数，则a的倒数为．
此命题错误，没有排除0，0没有倒数，A不符合题意．
B．原命题的逆命题是：若a，b，c是三角形的三条边，则这三个数满足．
此命题错误，满足是三角形的三条边不一定是直角三角形，自然也不一定满足，B不符合题意．
C．原命题的逆命题是：若△ABC与△A′B′C′全等，则△ABC与△A′B′C′关于某直线对称．
此命题错误，全等关系与位置无关，不能推导对称关系，C不符合题意．
D．原命题的逆命题是：同位角相等，两直线平行．教材定理，显然正确，D符合题意．
故选D．
12．
【答案】D
【详解】A. 等边三角形的三个内角都等于，逆定理为：三个内角都等于的三角形是等边三角形，此定理存在，不符合题意，
B. 在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等，逆定理为：在一个三角形中，如果两角相等，那么它们所对的边相等，此定理存在，不符合题意，
C. 同位角相等，两直线平行，逆定理为：两直线平行，同位角相等，此定理存在，不符合题意，
D. 全等三角形的面积相等，逆定理为：面积相等的三角形是全等三角形，此定理不存在，符合题意，
故选D
13．
【答案】 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线 求证：AD平分∠BAC.
【详解】已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；
求证：AD平分∠BAC．
故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC．
14．
【答案】 ， 同角的余角相等
【详解】解：∵，
∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
根据同角的余角相等，
∴∠AOC=∠BOD；
故答案为，同角的余角相等.
15．
【答案】（1）垂线段最短；（2） ， ， ， .
【详解】解：（1）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点A作于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短．
故答案为垂线段最短．
（2）根据题意，当时，
有：（SSS），
所依据的数学公理是SSS；
故答案为 ， ， ， .
16．
【答案】①②③
【详解】解：∵，
∴，
∴BD=EC，
∵，，
∴△ABD△FEC（SSS），
∴∠A=∠F，∠B=∠E，∠ADB=∠FCE，
∴，，
所以①②③都正确，
故答案为①②③.
17．
【答案】-1（答案不唯一，即可．）
【详解】时，满足是实数，但不满足，
所以可作为说明命题“如果是任意实数，那么“”是假命题的一个反例．
故答案为：-1（答案不唯一，即可．）
18．
【答案】①②④
【详解】①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，
②如果b//a，c//a，那么b//c是真命题，
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，
④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c是真命题，
∴真命题有①②④，
故答案为：①②④
19．
【答案】 如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等； 假命题
【详解】“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的条件是两个实数相等，结论是它们的绝对值相等，因此该命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等”；
比如，但，所以是假命题
故答案为：如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等；假命题
20．
【答案】互逆
【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题，
故答案为：互逆
21．
【答案】两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行；（1）内错；平行；（2）有；内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等
（2）两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题．
【详解】解：∵，（已知）
∴∠AMN=∠DNM，（两直线平行内错角相等），
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知），
∴∠EMN=∠AMN，
∠FNM=∠DNM，（角平分线的定义），
∴∠EMN=∠FNM（等量代换）
∴，（内错角相等两直线平行）．
故答案为：两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行．
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行；
故答案为：内错；平行．
（2）解题过程中应用了互逆命题，内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等．
22．
【答案】(1)∠1＝∠2，证明见解析
(2)∠1＋∠2＝180°，证明见解析
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
【详解】（1）∠1=∠2，
证明：如图1：
∵，
∴∠1=∠3，
∵，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠2；
故答案为：∠1=∠2；
（2）∠2+∠1=180°，
证明：如图2：
∵，
∴∠1=∠4，
∵，
∴∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠1=180°；
故答案为：∠2+∠1=180°；
（3）由（1）（2）可得：
一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．
故答案为：一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．
23．
【答案】（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析．
【详解】解：（1）有：如果那么；
如果那么；
如果，那么；
（2）如图：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
∴如果那么为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
∴如果那么为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
∴如果，那么为真命题．