2022-2023学年 华东师大版八年级数学上册 13.2.6 斜边直角边 课时练习 (含答案)

13.2.6 斜边直角边（附解析）
一、单选题(共10个小题)
1．如图，已知，，．则的理由是（ ）
A．HL B．SAS C．AAS D．ASA
2．如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．HL
3．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，DB＝DC，，，垂足分别为E，F，DE＝DF．
求证：．以下是排乱的证明过程：
①∴∠BED＝∠CFD＝90°，
②∴．
③∵DE⊥AB，DF⊥AC，
④∵在和中，，
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③→②→①→④ B．③→①→④→②
C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
4．下列关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D．两个面积相等的直角三角形全等
5．如图，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，那么可以直接判定△ADC≌△ABC的定理是（ ）
A．AAS B．SAS C．SSS D．HL
6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF
7．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　 ）
A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF
8．如图，在△ABC中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．如图所示，已知在△ABC中，，，交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（ ）
A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD
二、填空题(共10个小题)
11．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是________
12．如图，在Rt△ABC与中，，，，，则______．
13．如图，，是△ABC的高，且，判定的依据是______．
14．如图，在Rt△中，，，，一条线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使△和△全等，则_____．
15．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝_____．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠CAE＝29°，则∠ACF的度数为________°．
17．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
18．如图，在四边形中，，，，的延长线与、相邻的两个角的平分线交于点E，若，则的度数为___________．
19．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=_______．
20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝_____．
三、解答题(共3个小题)
21．如图，点在△内部，，于点，于点，，连接OA．求证：．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
(1)若B、C在DE的同侧（如图1所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
(2)若B、C在DE的两侧（如图2所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
23．将两个全等的直角三角形△ABC和△DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：AF+EF＝DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其它条件不变，如图②．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其它条件不变，请在图③中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立．
13.2.6 斜边直角边解析
1．
【答案】A
【详解】证明：∵AD⊥BD，BC⊥AC，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CAB和Rt△DBA中，
，
∴Rt△CAB≌Rt△DBA（HL）．
故选：A．
2．
【答案】D
【详解】解：由题意可知，和都是直角三角形，
在和中，
，
满足斜边相等和一组直角边相等，
因此，
故选D．
3．
【答案】B
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
即选项B正确；选项A、选项C、选项D都错误；
故选：B．
4．
【答案】D
【详解】解：A、利用AAS来判定全等，不符合题意；
B、利用SAS来判定全等，不符合题意；
C、利用HL来判定全等，不符合题意；
D、面积相等不一定能推出两直角三角形全等，没有相关判定方法对应，符合题意．
故选：D．
5．
【答案】D
【详解】解：∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，
∴∠CDA=∠CBA=90°
在直角△CDA与直角△CBA中，
∴（HL）
故选：D．
6．
【答案】D
【详解】解：A、添加，需用定理判定，则此项不符题意；
B、添加，需用定理判定，则此项不符题意；
C、添加，需用定理判定，则此项不符题意；
D、添加，能用定理判定，则此项符合题意；
故选：D．
7．
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确．
故选：D．
8．
【答案】C
【详解】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC，
∵BC=8，
∴BD+DE=BC=8．
故选：C．
9．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C
10．
【答案】B
【详解】解：如图，连接AE，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
∵AE=AE，AC=AD，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴DE=CE．
故选：B
11．
【答案】AD=CF或AC=DF
【详解】解∶当AC=DF时，
∵Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴（HL）；
当AD=CF时，
∵AD=CF，
∴AD+CD=CF+CD即AC=DF，由得（HL）；
∴当添加AD=CF或AC= DF时，根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF ．
故答案为∶ AD=CF (或AC=DF ) ．
12．
【答案】40°
【详解】解：在Rt△ABC中，
，
∴Rt△ABC
∴，
∵，
∴，
故答案为：40°
13．
【答案】HL
【详解】解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠BDC=∠BEC=90°
在Rt△BDC和Rt△BEC中：
BD=EC，BC=CB
∴△BCD≌△CBE（HL）.
故答案为：HL．
14．
【答案】12cm或6cm
【详解】解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝6cm＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∵，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝12cm＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：12cm或6cm．
15．
【答案】55°
【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF+∠BDE=∠EDF+∠CFD=90°，
∴∠EDF=55°．
故答案是：55°．
16．
【答案】61
【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝29°，
∴∠BAE＝16°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴∠BAE＝∠BCF＝16°，
∴∠ACF＝∠BCA＋∠BCF＝61°，
故答案为：61．
17．
【答案】2
【详解】解： AB⊥AD，CE⊥BD，
，
在与中，
，
，
AD＝5，CD＝7，
，BD=CD＝7，
故答案为：2
18．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴∠CDA=∠CBA=90°，
在Rt△CDA和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CDA≌Rt△CBA（HL），
∴，
∵DE平分与∠ADC相邻的角，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
∴∠CED=180°-∠DAE-∠ADC-∠EDC=15°，
故答案为：15°．
19．
【答案】65°
【详解】解：如图，，
，
在和中，
；
过点作于，于，
，
，
在和中，
，
，
在与中
，
，
平分；
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
20．
【答案】
【详解】解：如图，在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，
∵AD⊥BC于点D，
∴AG=AB，∠H=∠ADG=90°
∴∠AGD=∠B，
∵AE//BC，
∴∠EAH=∠B，
∴∠EAH=∠AGD，
∵AE=AB，
∴AE=AG，
在△AEH和△GAD中，
，
∴△AEH≌△GAD（AAS），
∴EH=AD，AH=GD，
在Rt△EHF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL），
∴FH=CD，
∴FH-AH=CD-GD，
∴AF=GC，
∴，
∴S△AEF=S△GAC，
设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，
∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，
∴，
∴，
故答案为：．
21．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵，，
∴，
在Rt△AEO和中，
，
∴Rt△AEO≌Rt△AFO (HL)，
∴，
在Rt△BEO和Rt△CFO中，
，
∴Rt△BEO≌Rt△CFO (HL)，
∴，
∴，
∴．
22．
【答案】(1)见解析;(2)AB⊥AC，见解析
【详解】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．
∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°．
∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC．
23．
【答案】（1）证明见详解；（2）AF=DE+EF，理由见详解；（3）成立，理由见详解．
【详解】解：（1）证明：连接BF，如图，
∵△ABC≌△DBE（已知），
∴BC=BE，AC=DE．
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴∠BCF=∠BEF=90°．
在Rt△BFC和Rt△BFE中，
∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．
∴CF=EF．
又∵AF+CF=AC，
∴AF+EF=DE．
（2）证明：连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴△BCF和△BEF是直角三角形，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，
，
∴△BCF≌△BEF（HL），
∴CF=EF；
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，
∴AF=AC+FC=DE+EF．
（3）画出正确图形如图：
同（1）得CF=EF，
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，
∴AF+FC=AF+EF=AC=DE．
∴（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；