22.3 实际问题与二次函数
— 能力提升 —
一、选择题
1、［中］某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①AB＝24m；
②池底所在抛物线的解析式为y＝﹣5；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
2、［中］如图，水从山坡下水管的小孔喷出，喷洒到山坡上，已知山坡AB：OB＝1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y＝﹣x2+4x来刻画，下列结论错误的是（ ）
A．山坡可以用正比例函数y＝x来刻画
B．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米
C．水柱落到斜面时距O点的水平距离为7米
D．水柱距O点水平距离超过4米呈下降趋势
3、［中］在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q
4、［中］抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
5、［中］已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6、［中］如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：∠EOF始终是90°；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对
7、［中］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④﹣1≤a≤﹣，其中正确结论的个数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
8、下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．这个函数的最小值小于﹣6
二、填空题
9、［中］在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+mx+2m（m为常数，m＜0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12，则m＝ ．
10、［中］已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
11、［中］飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
12、［中］如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝60°，∠D＝120°，点E为四边形ABCD边上一点，当四边形ABCD面积最大时，过点A且平分该四边形ABCD面积的分割线段AE的长为 ．
13、［中］如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连结AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是 ．
14、［中］如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
15、［中］如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续 小时水位才能到拱桥顶．
16、［中］如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为 ．
三、解答题
17、［中］2022年广西雨水增多，种植荔枝的果农损失严重，为了增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售，已知荔枝的种植成本为8元/kg，经市场调查发现，今年端午节期间荔枝的销售量y（单位：kg）与销售单价x（单位：元/kg）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为30元/kg时，销售荔枝获得的利润是多少元？
（3）求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．
18、［中］2022年2月4日，冬奥会在北京举行，某公司抓住商机开发研制了两款冬奥会开幕式吉祥物纪念章，深受人们喜爱，投入市场后发现其日销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示（要求每套销售价格不能低于每套成本，每套成本100元）．
（1）试求y关于x的函数关系式；
（2）如果物价管理部门规定每套销售利润不能高于每套成本的45%，则此时每套定价是多少元时，所获得的日利润最大，最大利润为多少元？
19、［中］某加工厂收到一批热销产品订单，要求在10天内完成，若该产品的出厂价为每件160元，第x天（x为正整数）的每件生产成本为y元，y与x的对应关系如表（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）：
x（天） 1 2 3 …
y（元） 96 100 104 …
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）统计发现该厂每天生产的件数m＝50x+100，设该厂每天的利润为W元；
①该厂第几天的利润为15600元？
②若该厂每生产一件产品就捐n元给“红十字基金组织”（n＞0），工厂若想在第6天获得最大利润．求n的取值范围．
20、［中］某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点P所表示的实际意义是 ，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？
21、［中］某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件的生产成本为20元，销售价格在30元/件至80元/件之间（含30元/件和80元/件），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出该种产品从生产到销售完，获得的利润w（万元）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
（3）当销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？
22、［中］如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面m，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
（2）场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？
23、［中］小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．
注：销售利润＝售价﹣成本．
24、［中］2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？22.3 实际问题与二次函数
— 能力提升 —
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一、选择题
1、［中］某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①AB＝24m；
②池底所在抛物线的解析式为y＝﹣5；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
［思路分析］根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，再把（15，0）代入解析式求出a即可判断②；把x＝12代入解析式求出y＝﹣1.8，再用5﹣1.8即可判断③；把x＝6代入解析式即可判断④．
［答案详解］解：①观察图形可知，AB＝30m，
故①错误；
②设池底所在抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，
将（15，0）代入，可得a＝，
故抛物线的解析式为y＝x2﹣5；
故②正确；
③∵y＝x2﹣5，
∴当x＝12时，y＝﹣1.8，
故池塘最深处到水面CD的距离为5﹣1.8＝3.2（m），
故③错误；
④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12 m时，
将x＝6代入y＝﹣x2﹣5，得y＝﹣4.2，
可知此时最深处到水面的距离为5﹣4.2＝0.8（m），
即为原来的，
故④正确．
故选：B．
［经验总结］本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养．
2、［中］如图，水从山坡下水管的小孔喷出，喷洒到山坡上，已知山坡AB：OB＝1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y＝﹣x2+4x来刻画，下列结论错误的是（ ）
A．山坡可以用正比例函数y＝x来刻画
B．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米
C．水柱落到斜面时距O点的水平距离为7米
D．水柱距O点水平距离超过4米呈下降趋势
［思路分析］根据AB：OB＝1：2，得到＝，于是得到山坡可以用正比例函数y＝x来刻画；故A选项正确；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B错误；求出抛物线与直线的交点，判断C正确，根据抛物线的性质D正确．
［答案详解］解：A、∵∠ABO＝90°，AB：OB＝1：2，
∴＝，
∴山坡可以用正比例函数y＝x来刻画；故A选项正确；
B、当y＝1.875时，1.875＝﹣x2+4x，
解得，x1＝7.5，x2＝，
∴水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米，故B选项错误；
解方程组，
得：或，
则水柱落到斜面时距O点的水平距离为7米，故C选项正确；
∵y＝4x﹣x2
＝﹣（x﹣4）2+8，
则抛物线的对称轴为x＝4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，故D正确．
故选：B．
［经验总结］本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3、［中］在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q
［思路分析］分类讨论投篮线路经过A，B，C，D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解．
［答案详解］解：B，D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；
A，B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；
同理可知C点路线优于A点路线，
综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．
4、［中］抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
［思路分析］根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项中的说法是否正确．
［答案详解］解：由表格可得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），
∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线x＝，故选项B正确，不符合题意，
∵当x＝﹣2时，y＝0，
∴当x＝×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；
函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
5、［中］已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
［答案详解］解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故选：D．
［经验总结］本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．
6、［中］如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：∠EOF始终是90°；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对
［思路分析］由题意可证明△BOE≌△COF，从而可证明∠EOF＝90°，且OE＝OF，所以四边形OECF的面积始终等于△BOC的面积4，当OE⊥BC（OE＝2）时，△OEF面积取最小值2．
［答案详解］解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠OBE＝∠OCF＝45°，
∵BE＝CF，
∴△BOE≌△COF，
∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，
∴∠BOE+∠COE＝∠COF+∠COE，
即∠EOF＝∠BOC＝90°，
且S△COE+S△COF＝S△COE+S△BOE，
即S四边形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，
由垂线段最短可得，
当OE⊥BC时，OE＝BC＝×4＝2，
△OEF面积取最小值为×2×2＝2，
∴结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错，
故选：A．
［经验总结］此题考查了正方形综合问题的解决能力，关键是能证得△BOE≌△COF，再辨别各结论的对错．
7、［中］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④﹣1≤a≤﹣，其中正确结论的个数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
［思路分析］根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
∴①正确．
∵抛物线过点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．
∵抛物线与y轴交于C（0，c），2≤c≤3，
∴a＜0，
∴当x≥3时，y≤0，
∴②错误．
∵抛物线过点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴a＝﹣c．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y有最大值＝a+b+c＝﹣c+c+c＝c．
∵2≤c≤3，
∴≤≤4．
∴这个二次函数的最大值的最小值为，
∴③正确．
∵a＝﹣c，2≤c≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，
∴④正确．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
8、下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．这个函数的最小值小于﹣6
［思路分析］根据抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4）可得抛物线对称轴为直线x＝，由抛物线经过点（﹣2，6）可得抛物线开口向上，进而求解．
［答案详解］解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵抛物线经过点（﹣2，6），
∴当x＜时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
∴x＞时，y随x增大而增大，故C错误，不符合题意；
由对称性可知，在x＝处取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正确，符合题意．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题
9、［中］在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+mx+2m（m为常数，m＜0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12，则m＝ ．
［思路分析］将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线x＝m+2与抛物线交点为最低点，进而求解．
［答案详解］解：∵y＝x2+mx+2m＝（x+）2﹣+2m，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣，﹣+2m），
当m＜﹣＜m+2时，﹣＜m＜0，
﹣+2m＝12，方程无解．
当m≤﹣时，将x＝m+2代入y＝x2+mx+2m得y＝（m+2）2+m（m+2）+2m＝2m2+8m+4，
令2m2+8m+4＝12，
解得m＝（舍）或m＝﹣2﹣2，
故答案为：﹣2﹣2．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
10、［中］已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
［思路分析］函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，
当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，
∴x＝﹣1±，
∵﹣1+＞，
∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，
∴a＝﹣1﹣．
故答案为：﹣1﹣．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．
11、［中］飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
［思路分析］飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
［答案详解］解：由题意，
s＝﹣1.5t2+60t，
＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案是：20．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值．
12、［中］如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝60°，∠D＝120°，点E为四边形ABCD边上一点，当四边形ABCD面积最大时，过点A且平分该四边形ABCD面积的分割线段AE的长为 ．
［思路分析］连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，由AB＝BC＝2，∠B＝60°，得出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质求出AC＝2，BF＝，当AD＝CD时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，过点D作DG⊥AC于点G，则AG＝，进而求出S△ADC＝，S△ABE＝BE，S△AEF＝（BE﹣），由AE平分四边形ABCD的面积，得出BE＝（BE﹣）+，求出BE＝，再由勾股定理求出AE＝，得出答案．
［答案详解］解：如图，连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝BC＝2，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝2，BF＝BC＝，
当AD＝CD时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，
过点D作DG⊥AC于点G，则AG＝AC＝，
∵∠D＝120°，
∴∠DAG＝30°，
∴DG＝＝1，
∴S△ADC＝ AC DG＝×2×1＝，
∵sinB＝，
∴AF＝AB sin60°＝2×＝3，
∴S△ABE＝ BE AF＝×BE×3＝BE，
S△AEF＝ EF AF＝×（BE﹣BF）×3＝（BE﹣），
∵AE平分四边形ABCD的面积，
∴S△ABE＝S△AEF+S△ADC，
∴BE＝（BE﹣）+，
解得：BE＝，
∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝，
∴AE＝＝＝，
故答案为：．
［经验总结］本题考查了勾股定理，掌握等边三角形判定的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形等知识是解决问题的关键．
13、［中］如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连结AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是 ．
［思路分析］证明Rt△EFH≌Rt△CED，设AE＝a，用含a代数式表示△AEF的面积，进而求解．
［答案详解］解：∠FEH+∠CED＝90°，∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠CED＝∠EFH，
在Rt△EFH和Rt△CED中，
，
∴Rt△EFH≌Rt△CED（AAS），
∴ED＝FH，
设AE＝a，则ED＝FH＝3﹣a，
∴S△AEF＝AE FH＝a（3﹣a）＝﹣（a﹣）2+，
∴当AE＝时，△AEF面积的最大值为．
故答案为：．
［经验总结］本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质．
14、［中］如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
［思路分析］设DE＝x，则CE＝，由S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF可得S△DFG＝（x﹣1）2+，进而求解．
［答案详解］解：设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+4）﹣×2x＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，△DFG面积的最小值为．
故答案为：．
［经验总结］本题考查与正方形有关的计算，解题关键是掌握正方形的性质，二次函数求最值的方法．
15、［中］如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续 小时水位才能到拱桥顶．
［思路分析］先设抛物线的解析式为y＝ax2，设出点D坐标（5，b），继而得出B（10，b﹣3），代入解析式后可求解得出抛物线的解析式，由b的值可得水面CD到拱顶的距离，进而求出时间
［答案详解］解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得，
∴y＝﹣x2；
∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，
1÷0.2＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
故答案为：5．
［经验总结］本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
16、［中］如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为 ．
［思路分析］由已知可证明△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），再证明四边形EFGH是正方形，设AE＝x，则AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，在Rt△EAH中，由勾股定理得EH2＝x2+（4﹣x）2，所以S四边形EFGH＝EH2＝2（x﹣2）2+8，可知当x＝2时，S四边形EFGH有最小值8，
［答案详解］解：设AE＝x，则AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∵正方形ABCD，边长为4，
∴AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），
∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠EFB+∠GFC＝90°，∠FGC+∠HGD＝90°，
∴∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°，
∵EF＝EH＝HG＝FG，
∴四边形EFGH是正方形，
在Rt△EAH中，EH2＝AE2+AH2，即EH2＝x2+（4﹣x）2，
∴S四边形EFGH＝EH2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，S四边形EFGH有最小值8，
故答案为8．
［经验总结］本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的判定和性质、二次函数求最值的方法是解题的关键．
三、解答题
17、［中］2022年广西雨水增多，种植荔枝的果农损失严重，为了增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售，已知荔枝的种植成本为8元/kg，经市场调查发现，今年端午节期间荔枝的销售量y（单位：kg）与销售单价x（单位：元/kg）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为30元/kg时，销售荔枝获得的利润是多少元？
（3）求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．
［思路分析］（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）把x＝30代入y＝﹣3x+216中即可求解销售量，利用利润＝销售量×（销售单价﹣成本）得出结论；
（3）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润．
［答案详解］解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx+b（k≠0），
则，解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝﹣3x+216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴y＝．
（2）当x＝30时，y＝﹣3×30+216＝126，
∴当荔枝的销售单价定为30元/千克时，荔枝的销售量为126千克，
∴当x＝30时，利润为：126×（30﹣8）＝2772（元）；
（3）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣3x+216）＝﹣3（x﹣40）2+3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x﹣8）y＝120（x﹣8）＝120x﹣960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
［经验总结］本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
18、［中］2022年2月4日，冬奥会在北京举行，某公司抓住商机开发研制了两款冬奥会开幕式吉祥物纪念章，深受人们喜爱，投入市场后发现其日销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示（要求每套销售价格不能低于每套成本，每套成本100元）．
（1）试求y关于x的函数关系式；
（2）如果物价管理部门规定每套销售利润不能高于每套成本的45%，则此时每套定价是多少元时，所获得的日利润最大，最大利润为多少元？
［思路分析］（1）根据函数图象中的数据，可以计算出日销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到日销售利润w与销售单价x的函数关系式，化为顶点式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，可以求得答案．
［答案详解］解：（1）设日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式是y＝kx+b，
∵点（150，304），点（156，280）在该函数图象上，
∴，
解得，
即日销售量y与销售单价x函数关系式是y＝﹣4x+904；
（2）由题意可得，设日销售利润为w元，
w＝（x﹣100）（﹣4x+904）＝﹣4x2+1304x﹣90400＝﹣4（x﹣163）2+15876，
∴该函数的图象开口向下，对称轴为x＝163，
∵物价部门规定其每件的售价不低于成本且利润不高于成本的45%，
∴100≤x≤145，
∴当x＝145时，w取得最大值14580，
答：当销售单价为145元时，日销售利润最大，最大利润为14580元．
［经验总结］本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
19、［中］某加工厂收到一批热销产品订单，要求在10天内完成，若该产品的出厂价为每件160元，第x天（x为正整数）的每件生产成本为y元，y与x的对应关系如表（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）：
x（天） 1 2 3 …
y（元） 96 100 104 …
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）统计发现该厂每天生产的件数m＝50x+100，设该厂每天的利润为W元；
①该厂第几天的利润为15600元？
②若该厂每生产一件产品就捐n元给“红十字基金组织”（n＞0），工厂若想在第6天获得最大利润．求n的取值范围．
［思路分析］（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）①根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；
②根据题意列出不等式，根据函数性质求n的取值范围．
［答案详解］解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx+c，
由（1，96），（2，100），（3，104）得，，
解得：，
∴y＝4x+92；
（2）①w＝[160﹣（4x+92）]（50x+100）＝﹣200x2+3000x+6800＝﹣200（x﹣）2+18050，
令w＝15600，
即﹣200（x﹣）2+18050＝15600，
解得x＝4或x＝11（舍），
∴第4天的利润为15600元；
②由题意得：
w＝（160﹣y﹣n）m
＝[160﹣（4x+92）﹣n]（50x﹣100）
＝﹣200x2+（3000﹣50n）x+6800﹣100n，
对称轴x＝﹣＝，
∵工厂若想在第6天获得最大利润，
∴≤≤，解得：8≤n≤16，
∴n的取值范围为8≤n≤16．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确得出关系式是关键．
20、［中］某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点P所表示的实际意义是 ，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？
［思路分析］（1）根据题意可知点P所表示的实际意义，列算式求出每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少多少kg；
（2）先求出A点坐标，再求出y与x之间的函数关系式，再求出自变量x的取值范围；
（3）根据题意写出二次函数解析式，根据其性质，求出当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大，及最大产量是多少．
［答案详解］解：（1）根据题意可知：点P所表示的实际意义是增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg，
（75﹣66）÷（28﹣10）＝，
∴每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少kg，
故答案为：增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg，kg；
（2）
设在10棵的基础上增种m棵，
根据题意可得m＝75﹣40，
解得m＝70，
∴A（80，40），
设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，
把P（28，66），A（80，40），
，
解得k＝﹣，b＝80，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣x+80；
自变量x的取值范围：0≤x≤80；
（3）设增种果树a棵，
W＝（60+a）（﹣0.5a+80）
＝﹣0.5a2+50a+4800，
∵﹣0.5＜0，
∴a＝﹣＝50，
W最大＝6050，
∴当增种果树50棵时，果园的总产量w（kg）最大，最大产量是6050kg．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式，用二次函数的性质求出最大产量是解题关键．
21、［中］某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件的生产成本为20元，销售价格在30元/件至80元/件之间（含30元/件和80元/件），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出该种产品从生产到销售完，获得的利润w（万元）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
（3）当销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？
［思路分析］（1）求出B（60，2），用待定系数法即得y＝﹣0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）分两种情况：当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210，当60＜x≤80时，；
（3）当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210＝﹣0.1（x﹣50）2+40，可得当x＝50时，W取最大值为40（万元），当60＜x≤80时，W＝+70，当x＝80时，W取最大值为﹣+70＝40（万元）．
［答案详解］解：（1）在y＝中，令x＝60，得，
∴B（60，2），
∴当30≤x≤60时，设y＝kx+b，图象过（60，2）和（30，5）
∴，
解得：
∴y＝﹣0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）根据题意，当30≤x≤60时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣50＝﹣0.1x2+10x﹣210，
当60＜x≤80时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）×﹣50＝﹣+70，
综上所述：W＝；
（3）当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210＝﹣0.1（x﹣50）2+40，
当x＝50时，W取最大值为40（万元），
当60＜x≤80时，W＝+70，
∵﹣2400＜0，W随x的增大而增大，
∴当x＝80时，W取最大值为﹣+70＝40（万元），
综上所述，当x＝50或x＝80 时，获得的利润最大，最大利润是40万元，
答：当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，求二次函数最大值等，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22、［中］如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面m，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
（2）场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？
［思路分析］（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；
（2）①令x＝7.3，求出y的值，与3m比较即可作出判断；②把y＝3代入解析式求出x得值，再与7.3m比较；
（3）将y＝3.19代入解析式，进而得出答案．
［答案详解］解：（1）∵抛物线顶点坐标为（4，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，
把（0，）代入，得a＝﹣，
所以篮球运行路线所在抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4；
（2）①把x＝7.3代入抛物线解析式得：y＝﹣（7.3﹣4）2+4＝2.79，
∵2.79＜3，
∴此球不能投中，小丽的判断是正确的；
②当y＝3时，3＝﹣（x﹣4）2+4，
解得x＝7或1（舍去），
7.3﹣7＝0.3（米），
所以小明应该向前走0.3米才能命中篮圈中心；
（3）当y＝3.19时，3.19＝﹣（x﹣4）2+4，
解得x＝1.3或6.7，
∵6.7＞4，
∴x＝1.3，
答：他应在小明前面1.3米范围处跳起拦截才能盖帽成功．
［经验总结］本题考查了二次函数解析式的求法及其实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
23、［中］小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．
注：销售利润＝售价﹣成本．
［思路分析］（1）设日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，把（1，78），（2，76）代入求出即可；
（2）设日销售利润为w元，根据销售利润＝售价﹣成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）先求出前20天最高日销量和最高日售价，再根据题意列出方程，解方程即可．
［答案详解］解：（1）设日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，
把（1，78），（2，76）代入得：，
解得：，
即日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80；
（2）设日销售利润为w元，
w＝（﹣2x+80）（x+25﹣20）＝﹣（x﹣10）2+450；
∵﹣＜0，1≤x≤20，且x为整数，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值是450；
∴在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
（3）∵日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80（1≤x≤20，且x为整数），
∴前20天最高日销售量为x＝1时，即p＝78（盏），
∵销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
∴前20天最高日销售量为当x＝20时，即y＝30元，
由题意得：（30﹣a﹣20）（78+7a）﹣450＝30，
解得：a1＝6，a2＝﹣（舍去），
∴a的值为6．
［经验总结］本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，即用所学的数学知识来解决实际问题．
24、［中］2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
［思路分析］（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48），化简即可；
（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296），化成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值．
［答案详解］解：（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48）
＝﹣2x+296，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296；
（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296）
＝﹣2（x﹣91）2+6498，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，W有最大值，
当x＝91时，W最大值＝6498，
答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
