22.3 实际问题与二次函数
— 填空专练 —
1、如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．
2、一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为 m．
3、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 ．
4、二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3的最大值是 ．
5、抛物线y＝x2﹣2x+3的最小值为 ．
6、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
7、如图（1），将两张全等的矩形重叠而得到的四边形ABCD是菱形，已知矩形的长是8，宽是4，当这两张纸片叠合成如图（2）所示时，菱形ABCD的面积最大，此时，菱形面积为 ．
8、某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
9、中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
10、某抛物线型拱桥的示意图如图，桥长AB＝48米，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12米，在该抛物线上的点E、F处要安装两盏警示灯（点E、F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9米，则这两盏灯的水平距离EF是 米．
11、从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
12、如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝60°，∠D＝120°，点E为四边形ABCD边上一点，当四边形ABCD面积最大时，过点A且平分该四边形ABCD面积的分割线段AE的长为 ．
13、飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
14、已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
15、如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连结AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是 ．
16、如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为 ．
17、若定义一种新运算：a b＝，例如：4 1＝4×1＝4；5 4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3） （x+1）的最大值是 ．
18、在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+mx+2m（m为常数，m＜0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12，则m＝ ．
19、如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
20、如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4）和B（8，2），若无论x取何值，S总取y1，y2中的最大值，则S的最小值是 ．22.3 实际问题与二次函数
— 填空专练 —
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1、如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．
［思路分析］开口向下的抛物线的兜兜转转即为沙包在飞行过程中距离地面的最大高度，根据二次函数的性质即可得出答案．
［答案详解］解：∵h＝﹣（t﹣6）2+5为开口向下的抛物线，
∴当t＝6时，h最大＝5．
故答案为：5．
［经验总结］本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2、一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为 m．
［思路分析］根据题意，把y＝﹣4直接代入解析式即可解答．
［答案详解］解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y＝﹣4代入y＝﹣x2，
得x＝±8，
∴A（﹣8，﹣4），B（8，﹣4），
∴AB＝16m．
即水面宽度AB为16m．
故答案为：16．
［经验总结］此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．
3、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 ．
［思路分析］直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标，进而得出答案．
［答案详解］解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，
∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，﹣1），
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y＝x2﹣1．
故答案为：y＝x2﹣1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．
4、二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3的最大值是 ．
［思路分析］由二次函数解析式可得函数最大值为3．
［答案详解］解：∵y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴x＝2时，y取最大值为y＝3，
故答案为：3．
［经验总结］本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
5、抛物线y＝x2﹣2x+3的最小值为 ．
［思路分析］利用配方法，把函数解析式化为顶点式，在根据函数的性质求最值．
［答案详解］解：y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+1，
∵a＝1＞0，
∴当x＝1时，y有最小值，最小值为2，
故答案为：2．
［经验总结］本题考查二此函数的最值，关键是对二次函数性质的掌握．
6、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
［思路分析］（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离．
［答案详解］解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
故答案为：．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标．
7、如图（1），将两张全等的矩形重叠而得到的四边形ABCD是菱形，已知矩形的长是8，宽是4，当这两张纸片叠合成如图（2）所示时，菱形ABCD的面积最大，此时，菱形面积为 ．
［思路分析］设BC＝x，则CG＝8﹣x，CD＝BC＝x，在Rt△CDG中，由勾股定理得出x，再求得面积．
［答案详解］解：如图（2），设BC＝x，则CG＝8﹣x，CD＝BC＝x，
在Rt△CDG中，CG2+DG2＝CD2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴S＝BC DG＝5×4＝20．
故答案为：20．
［经验总结］本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理和矩形的性质等知识点，数形结合是解题的关键．
8、某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
［思路分析］根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
［答案详解］解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元，
则y＝[20﹣4（x﹣9）] （x﹣8）
＝﹣4x2+88x﹣448
＝﹣4（x﹣11）2+36，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
9、中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
［思路分析］直接利用抛物线解析式结合已知点坐标得出答案．
［答案详解］解：由题意可得：A（﹣250，0），P（0，﹣100），
设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100，
则0＝62500a﹣100，
解得：a＝，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．
故答案为：y＝x2﹣100．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的应用，根据实际问题列二次函数解析式，正确设出函数解析式是解题关键．
10、某抛物线型拱桥的示意图如图，桥长AB＝48米，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12米，在该抛物线上的点E、F处要安装两盏警示灯（点E、F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9米，则这两盏灯的水平距离EF是 米．
［思路分析］根据题意，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+12，然后根据题意可以得到点A的坐标，然后代入抛物线解析式，即可得到抛物线解析式，再将y＝9代入，即可得到相应的x的值，然后即可求得这两盏灯的水平距离EF的长．
［答案详解］解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+12，
由题意可得，点A的坐标为（﹣24，0），
∴0＝a×（﹣24）2+12，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+12，
当y＝9时，
9＝﹣x2+12，
解得x1＝12，x2＝﹣12，
∴点E（﹣12，9），点F（12，9），
∴这两盏灯的水平距离EF是12﹣（﹣12）＝12+12＝24（米），
故答案为：24．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
11、从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
［思路分析］先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
［答案详解］解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：3．
［经验总结］本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
12、如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝60°，∠D＝120°，点E为四边形ABCD边上一点，当四边形ABCD面积最大时，过点A且平分该四边形ABCD面积的分割线段AE的长为 ．
［思路分析］连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，由AB＝BC＝2，∠B＝60°，得出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质求出AC＝2，BF＝，当AD＝CD时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，过点D作DG⊥AC于点G，则AG＝，进而求出S△ADC＝，S△ABE＝BE，S△AEF＝（BE﹣），由AE平分四边形ABCD的面积，得出BE＝（BE﹣）+，求出BE＝，再由勾股定理求出AE＝，得出答案．
［答案详解］解：如图，连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝BC＝2，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝2，BF＝BC＝，
当AD＝CD时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，
过点D作DG⊥AC于点G，则AG＝AC＝，
∵∠D＝120°，
∴∠DAG＝30°，
∴DG＝＝1，
∴S△ADC＝ AC DG＝×2×1＝，
∵sinB＝，
∴AF＝AB sin60°＝2×＝3，
∴S△ABE＝ BE AF＝×BE×3＝BE，
S△AEF＝ EF AF＝×（BE﹣BF）×3＝（BE﹣），
∵AE平分四边形ABCD的面积，
∴S△ABE＝S△AEF+S△ADC，
∴BE＝（BE﹣）+，
解得：BE＝，
∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝，
∴AE＝＝＝，
故答案为：．
［经验总结］本题考查了勾股定理，掌握等边三角形判定的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形等知识是解决问题的关键．
13、飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
［思路分析］飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
［答案详解］解：由题意，
s＝﹣1.5t2+60t，
＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案是：20．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值．
14、已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
［思路分析］函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，
当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，
∴x＝﹣1±，
∵﹣1+＞，
∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，
∴a＝﹣1﹣．
故答案为：﹣1﹣．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．
15、如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连结AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是 ．
［思路分析］证明Rt△EFH≌Rt△CED，设AE＝a，用含a代数式表示△AEF的面积，进而求解．
［答案详解］解：∠FEH+∠CED＝90°，∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠CED＝∠EFH，
在Rt△EFH和Rt△CED中，
，
∴Rt△EFH≌Rt△CED（AAS），
∴ED＝FH，
设AE＝a，则ED＝FH＝3﹣a，
∴S△AEF＝AE FH＝a（3﹣a）＝﹣（a﹣）2+，
∴当AE＝时，△AEF面积的最大值为．
故答案为：．
［经验总结］本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质．
16、如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为 ．
［思路分析］由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，根据三角形面积公式可得△PCD的面积y与t的关系式，由图得：S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，代入可得结论．
［答案详解］解：设△PCD的面积为y，
由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，
∴y＝＝5﹣t，
∵四边形EFPC是正方形，
∴S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，
∵PC2＝PD2+CD2，
∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，
∴S△DEF＝（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）＝t2﹣4t+＝（t﹣4）2+，
当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为．
故答案为：．
［经验总结］本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强，难度适中．
17、若定义一种新运算：a b＝，例如：4 1＝4×1＝4；5 4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3） （x+1）的最大值是 ．
［思路分析］根据新运算的定义，对（﹣x+3）和3（x+1）的大小进行比较，列出不同的情况分类讨论，得到不同的函数表达式求出最值即可．
［答案详解］解：由题可得，
①当﹣x+3≥3（x+1）时，
即：x≤0，
y＝（﹣x+3）（x+1）＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4．
由抛物线性质可得，
当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴只有当x＝0时，y的最大值为y＝3；
②当﹣x+3＜3（x+1）时，
即：x＞0，
y＝2×（﹣x+3）﹣（x+1）﹣2
＝﹣3x+3．
∵﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，当x＝0时，y＝﹣3×0+3＝3．
∵x＞0，
∴y＜3，
综上①②得y≤3．
故函数y＝（﹣x+3） （x+1）的最大值是3．
［经验总结］本题考查了二次函数的最值以及一次函数的最值，熟练掌握函数最值的求法是解题的关键．
18、在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+mx+2m（m为常数，m＜0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12，则m＝ ．
［思路分析］将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线x＝m+2与抛物线交点为最低点，进而求解．
［答案详解］解：∵y＝x2+mx+2m＝（x+）2﹣+2m，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣，﹣+2m），
当m＜﹣＜m+2时，﹣＜m＜0，
﹣+2m＝12，方程无解．
当m≤﹣时，将x＝m+2代入y＝x2+mx+2m得y＝（m+2）2+m（m+2）+2m＝2m2+8m+4，
令2m2+8m+4＝12，
解得m＝（舍）或m＝﹣2﹣2，
故答案为：﹣2﹣2．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
19、如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
［思路分析］设DE＝x，则CE＝，由S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF可得S△DFG＝（x﹣1）2+，进而求解．
［答案详解］解：设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+4）﹣×2x＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，△DFG面积的最小值为．
故答案为：．
［经验总结］本题考查与正方形有关的计算，解题关键是掌握正方形的性质，二次函数求最值的方法．
20、如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4）和B（8，2），若无论x取何值，S总取y1，y2中的最大值，则S的最小值是 ．
［思路分析］根据图象可得x≤﹣2，﹣2＜x＜8，x≥8时S的取值范围，进而求解．
［答案详解］解：当x≤﹣2时，S＝ax2+bx+c，S最小值为4，
当﹣2＜x＜8时，S＝kx+m，2＜S＜4，
当x≥8时，S＝ax2+bx+c，S最小值为2，
∴S的最小值为2，
故答案为：2．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是根据图象求出S在不同x的取值范围时的取值范围．
