22.3 实际问题与二次函数
— 期末热身 —
一、选择题
1、［2021信都区·期末］如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝+5的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2、［2021辛集市·期末］抛物线y＝x2，y＝﹣x2﹣1，y＝x2共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为y轴
C．都有最低点 D．开口大小相同
3、［2021长安区·二十三中期末］抛物线L：y＝ax（x+4）+5a的顶点的纵坐标为2，若﹣5≤x≤﹣1，则该函数的最值情况，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为2，最小值为﹣20
B．最大值为20，最小值为2
C．最大值为20，最小值为4
D．a值不确定，故无法求最值
4、［2021永年区·期末］北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
5、［2021金安区·期末］一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2
C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
6、［2021天津·期末］据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x）
B．y＝2.4（1﹣x）2
C．y＝2.4（1+x）2
D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）
二、填空题
7、［2021黔西南州·期末］中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
8、［2021枣阳市·期末］如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．
9、［2021科左中旗·期末］如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续 小时水位才能到拱桥顶．
10、［2021兴化市·期末］如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4）和B（8，2），若无论x取何值，S总取y1，y2中的最大值，则S的最小值是 ．
11、［2021咸安区·期末］如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为 ．
12、［2021盐湖区·期末］如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
13、［2021方正县·期末］抛物线y＝x2﹣2x+3的最小值为 ．
三、解答题
14、［2022青秀区·二中期末］2022年广西雨水增多，种植荔枝的果农损失严重，为了增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售，已知荔枝的种植成本为8元/kg，经市场调查发现，今年端午节期间荔枝的销售量y（单位：kg）与销售单价x（单位：元/kg）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为30元/kg时，销售荔枝获得的利润是多少元？
（3）求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．
15、［2021赞皇县·期末］在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
16、［2022德阳·期末］已知，如图，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝1，连接CF．
（1）当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求出这个最小值．
17、［2021宿松县·期末］某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？
18、［2022兴宁区·十四中期末］某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
19、［2022兴宁区·天桃实验学校教育集团期末］先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴代数式y2+4y+8的最小值为4．
（1）求代数式x2﹣6x+11的最小值；
（2）若a2+2a+1+|b﹣2022|＝0，则ab＝ ．
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20米的栅栏围成．如图，设AB＝x米，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
20、［2022泗阳县·期末］用两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个长方形，设正方形的边长为m，长方形长为x，宽为y．
（1）则正方形的周长表示为 ；长方形的周长表示 ．由此可得x、y、m之间的等量关系为 ．
（2）比较正方形面积m2和长方形面积xy的大小．
【尝试】（用“＜”，“＝”或“＞”填空）
①当x＝4，y＝2时，xy m2；
②当x＝1，y＝3时，xy m2；
③当x＝y＝3时，xy m2；
【猜想验证】对于任意实数x，y，代数式xy与m2有怎样的大小关系？写出你的猜想，并加以证明．
【应用】当xy＝1时，请直接写出x+y的最小值．
21、［2022北仑区·期末］荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
（1）降价后平均每天可以销售荔枝 千克．（用含x的代数式表示）
（2）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
（3）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？22.3 实际问题与二次函数
— 期末热身 —
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一、选择题
1、［2021信都区·期末］如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝+5的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
［思路分析］利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．
［答案详解］解：OD为14，14＝x2+5，解得x＝±，
∴A（﹣，14），C（，14），
∴AC＝﹣（﹣）＝9，
故选：C．
［经验总结］本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键．
2、［2021辛集市·期末］抛物线y＝x2，y＝﹣x2﹣1，y＝x2共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为y轴
C．都有最低点 D．开口大小相同
［思路分析］根据二次函数的性质和题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
［答案详解］解：抛物线y＝x2，开口向上，对称轴为y轴，有最低点；
抛物线y＝﹣x2﹣1，开口向下，对称轴为y轴，有最高点；
抛物线y＝x2，当开口向上，对称轴为y轴，有最低点；
抛物线y＝x2，y＝﹣x2﹣1，y＝x2共有的性质是对称轴为y轴．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3、［2021长安区·二十三中期末］抛物线L：y＝ax（x+4）+5a的顶点的纵坐标为2，若﹣5≤x≤﹣1，则该函数的最值情况，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为2，最小值为﹣20
B．最大值为20，最小值为2
C．最大值为20，最小值为4
D．a值不确定，故无法求最值
［思路分析］把解析式化成顶点式，根据题意a＝2，即可得到y＝2x（x+4）+10＝2（x+2）2+2，故抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质即可得到在﹣5≤x≤﹣1范围内，该函数的最值．
［答案详解］解：抛物线L：y＝ax（x+4）+5a＝ax2+4ax+5a＝a（x+2）2+a，
∵抛物线L：y＝ax（x+4）+5a的顶点的纵坐标为2，
∴a＝2，
∴y＝2x（x+4）+10＝2（x+2）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴在﹣5≤x≤﹣1内，函数有最小值2，
把x＝﹣5代入y＝2x（x+4）+10得y＝20，
把x＝﹣1代入y＝2x（x+4）+10得y＝4，
∴若﹣5≤x≤﹣1，则该函数最大值为20，最小值为2，
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
4、［2021永年区·期末］北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
［思路分析］根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
［答案详解］解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围．
5、［2021金安区·期末］一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2
C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
［思路分析］根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
［答案详解］解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
［经验总结］本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
6、［2021天津·期末］据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x）
B．y＝2.4（1﹣x）2
C．y＝2.4（1+x）2
D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）
［思路分析］根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
［答案详解］解：根据题意得，
y关于x的函数表达式是：y＝2.4（1+x）2．
故选：C．
［经验总结］此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
二、填空题
7、［2021黔西南州·期末］中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
［思路分析］直接利用抛物线解析式结合已知点坐标得出答案．
［答案详解］解：由题意可得：A（﹣250，0），P（0，﹣100），
设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100，
则0＝62500a﹣100，
解得：a＝，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．
故答案为：y＝x2﹣100．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的应用，根据实际问题列二次函数解析式，正确设出函数解析式是解题关键．
8、［2021枣阳市·期末］如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．
［思路分析］开口向下的抛物线的兜兜转转即为沙包在飞行过程中距离地面的最大高度，根据二次函数的性质即可得出答案．
［答案详解］解：∵h＝﹣（t﹣6）2+5为开口向下的抛物线，
∴当t＝6时，h最大＝5．
故答案为：5．
［经验总结］本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9、［2021科左中旗·期末］如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续 小时水位才能到拱桥顶．
［思路分析］先设抛物线的解析式为y＝ax2，设出点D坐标（5，b），继而得出B（10，b﹣3），代入解析式后可求解得出抛物线的解析式，由b的值可得水面CD到拱顶的距离，进而求出时间
［答案详解］解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得，
∴y＝﹣x2；
∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，
1÷0.2＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
故答案为：5．
［经验总结］本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
10、［2021兴化市·期末］如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4）和B（8，2），若无论x取何值，S总取y1，y2中的最大值，则S的最小值是 ．
［思路分析］根据图象可得x≤﹣2，﹣2＜x＜8，x≥8时S的取值范围，进而求解．
［答案详解］解：当x≤﹣2时，S＝ax2+bx+c，S最小值为4，
当﹣2＜x＜8时，S＝kx+m，2＜S＜4，
当x≥8时，S＝ax2+bx+c，S最小值为2，
∴S的最小值为2，
故答案为：2．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是根据图象求出S在不同x的取值范围时的取值范围．
11、［2021咸安区·期末］如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为 ．
［思路分析］由已知可证明△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），再证明四边形EFGH是正方形，设AE＝x，则AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，在Rt△EAH中，由勾股定理得EH2＝x2+（4﹣x）2，所以S四边形EFGH＝EH2＝2（x﹣2）2+8，可知当x＝2时，S四边形EFGH有最小值8，
［答案详解］解：设AE＝x，则AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∵正方形ABCD，边长为4，
∴AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），
∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠EFB+∠GFC＝90°，∠FGC+∠HGD＝90°，
∴∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°，
∵EF＝EH＝HG＝FG，
∴四边形EFGH是正方形，
在Rt△EAH中，EH2＝AE2+AH2，即EH2＝x2+（4﹣x）2，
∴S四边形EFGH＝EH2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，S四边形EFGH有最小值8，
故答案为8．
［经验总结］本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的判定和性质、二次函数求最值的方法是解题的关键．
12、［2021盐湖区·期末］如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
［思路分析］设DE＝x，则CE＝，由S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF可得S△DFG＝（x﹣1）2+，进而求解．
［答案详解］解：设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+4）﹣×2x＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，△DFG面积的最小值为．
故答案为：．
［经验总结］本题考查与正方形有关的计算，解题关键是掌握正方形的性质，二次函数求最值的方法．
13、［2021方正县·期末］抛物线y＝x2﹣2x+3的最小值为 ．
［思路分析］利用配方法，把函数解析式化为顶点式，在根据函数的性质求最值．
［答案详解］解：y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+1，
∵a＝1＞0，
∴当x＝1时，y有最小值，最小值为2，
故答案为：2．
［经验总结］本题考查二此函数的最值，关键是对二次函数性质的掌握．
三、解答题
14、［2022青秀区·二中期末］2022年广西雨水增多，种植荔枝的果农损失严重，为了增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售，已知荔枝的种植成本为8元/kg，经市场调查发现，今年端午节期间荔枝的销售量y（单位：kg）与销售单价x（单位：元/kg）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为30元/kg时，销售荔枝获得的利润是多少元？
（3）求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．
［思路分析］（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）把x＝30代入y＝﹣3x+216中即可求解销售量，利用利润＝销售量×（销售单价﹣成本）得出结论；
（3）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润．
［答案详解］解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx+b（k≠0），
则，解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝﹣3x+216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴y＝．
（2）当x＝30时，y＝﹣3×30+216＝126，
∴当荔枝的销售单价定为30元/千克时，荔枝的销售量为126千克，
∴当x＝30时，利润为：126×（30﹣8）＝2772（元）；
（3）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣3x+216）＝﹣3（x﹣40）2+3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x﹣8）y＝120（x﹣8）＝120x﹣960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
［经验总结］本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
15、［2021赞皇县·期末］在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
［思路分析］（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得y与x的关系式；
（2）根据二次函数的增减性可得结论；
（3）根据列方程即可得到结论．
［答案详解］解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××
＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）
＝200﹣200+30x﹣x2
＝﹣x2+30x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，
∵﹣1＜0，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，
∵4≤x≤8，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；
（3）设布置场地所用费用为w元，
则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]
＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x
＝﹣2x2+60x+1600，
令w＝1850，
﹣2x2+60x+1600＝1850，
解得：x＝25或x＝5，
∵4≤x≤8，
∴4≤x≤5，
∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题．
16、［2022德阳·期末］已知，如图，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝1，连接CF．
（1）当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求出这个最小值．
［思路分析］（1）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG＝∠MGE，同理有∠HEG＝∠FGE，利用等式性质有∠AEH＝∠MGF，再结合∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM＝HA＝1（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1）；
（2）由题易知S△FCG＝FM CG＝，要使S△FCG有最小值，则需CG最小，所以DG最大，在Rt△DHG中，当HG最大时，DG最大，在△AHE中，AE≤AB＝4，HG2＝HE2≤17，可以求出最小值．
［答案详解］解：（1）点F到边DC的距离FM是定值．
过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，
∴△AHE≌△MFG（HL），
∴FM＝HA＝1，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1，
（2）由题易知：S△FCG＝FM CG＝，
要使S△FCG有最小值，
则需CG最小，所以DG最大，
在Rt△DHG中，当HG最大时，DG最大，
在△AHE中，AE≤AB＝4，
∴HE2≤17，
∴HG2＝HE2≤17，
∵DG2+4≤17，
∴DG≤，
当DG＝时，CG＝4﹣，
∴S△FCG的最小值＝GC＝2﹣，
即当DG＝时，△FCG的面积最小值为2﹣．
［经验总结］本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．
17、［2021宿松县·期末］某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？
［思路分析］（1）销售利润＝每件商品的利润×（180﹣10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
［答案详解］解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵﹣10＜0，
∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；
［经验总结］考查二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．
18、［2022兴宁区·十四中期末］某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
［思路分析］（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由待定系数法求解即可；
（2）利用总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出函数关系式并根据问题实际得出自变量的取值范围，并根据每天所获利润为3600元，建立方程，求解即可；
（3）将w关于x的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
［答案详解］解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（30，150）；（80，100）分别代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
（2）设利润为w元，
由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣x+180）
＝﹣x2+210x﹣5400，
∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）；
令﹣x2+210x﹣5400＝3600，
解得x＝60或x＝150（舍），
∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元；
（3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625，
∵﹣1＜0，
∴当x≤105时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤80，
∴当x＝80时，w最大，最大为5000元．
∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元．
［经验总结］本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19、［2022兴宁区·天桃实验学校教育集团期末］先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴代数式y2+4y+8的最小值为4．
（1）求代数式x2﹣6x+11的最小值；
（2）若a2+2a+1+|b﹣2022|＝0，则ab＝ ．
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20米的栅栏围成．如图，设AB＝x米，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
［思路分析］（1）根据阅读材料将所求的式子配方为（x﹣3）2+2，再根据非负数的性质得出最小值；
（2）根据阅读材料将所求的式子配方成（a+1）2+|b﹣2022|＝0，再根据非负数的性质求出a、b，代入ab计算即可；
（3）先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．
［答案详解］解：（1）x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2≥2，
∴代数式x2﹣6x+11的最小值为2；
（2）∵a2+2a+1+|b﹣2022|＝0，
∴（a+1）2+|b﹣2022|＝0，
∴a+1＝0，b﹣2022＝0，
∴a＝﹣1，b＝2022，
∴ab＝（﹣1）2022＝1，
故答案为：1；
（3）设花园的面积为ym2，由题意可得，
y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，y最大，最大值为50，
此时BC的长是20﹣2×5＝10＜15，
∴当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
［经验总结］本题考查了配方法的应用，非负数的性质，二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20、［2022泗阳县·期末］用两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个长方形，设正方形的边长为m，长方形长为x，宽为y．
（1）则正方形的周长表示为 ；长方形的周长表示 ．由此可得x、y、m之间的等量关系为 ．
（2）比较正方形面积m2和长方形面积xy的大小．
【尝试】（用“＜”，“＝”或“＞”填空）
①当x＝4，y＝2时，xy m2；
②当x＝1，y＝3时，xy m2；
③当x＝y＝3时，xy m2；
【猜想验证】对于任意实数x，y，代数式xy与m2有怎样的大小关系？写出你的猜想，并加以证明．
【应用】当xy＝1时，请直接写出x+y的最小值．
［思路分析］（1）根据周长公式表示周长．
（2）通过计算比较大小．
猜想验证：先猜想，再用公式验证．
应用：利用猜想中的结论求最值．
［答案详解］解：（1）∵正方形的边长为m，
∴正方形的周长＝4m
∵长方形长为x，宽为y．
因此长方形的周长＝2（x+y）＝2x+2y．
由题意得：4m＝2x+2y，
∴x+y＝2m．
故答案为：4m，2x+2y，x+y＝2m．
（2）①当x＝4，y＝2时，m＝＝3，
∵xy＝8，m2＝9，
∴xy＜m2，
②当x＝1，y＝3时，m＝＝2，
∴xy＝3，m2＝4，
∴xy＜m2．
③当x＝y＝3时，m＝3，
xy＝m2＝9，
故答案为：①＜，②＜，③＝．
猜想验证：xy≤m2．
证明：∵m2﹣xy＝﹣xy＝﹣xy
＝≥0，
∴xy≤m2．
应用：∵xy≤m2，xy＝1，
∴m2≥1，
∴≥1，当且仅当x＝y时取“＝”．
∴x+y≥2．
∴当x＝y＝1时，x+y有最小值2．
［经验总结］本题考查完全平方公式的应用，找到x，y和m的关系是求解本题的关键．
21、［2022北仑区·期末］荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
（1）降价后平均每天可以销售荔枝 千克．（用含x的代数式表示）
（2）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
（3）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
［思路分析］（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；
（2）利用利润＝（售价﹣成本）×销售量可得出结论；
（3）令y＝480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可．
［答案详解］解：（1）根据题意可知降后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克，
故答案为：（40+10x）．
（2）根据题意可知，y＝（40+10x）（28﹣18﹣x），
整理得y＝﹣10x2+60x+400．
（3）令y＝480，代入函数得﹣10x2+60x+400＝480，
解方程，得x1＝4，x2＝2，
∵要尽可能地清空库存，
∴x＝4，
此时荔枝定价为28﹣4＝24（元/千克）．
答：应将价格定为24元/千克．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，得出y关于x的二次函数是解题的关键．
