22.3 实际问题与二次函数
— 同步练习 —
一、选择题
1、如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2、已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF，在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③△OEF面积的最大值是1；
④四边形OECF的面积是1．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
3、如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
4、已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF，在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③△OEF面积的最大值是1；
④四边形OECF的面积是1．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
5、如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝+5的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6、抛物线y＝x2，y＝﹣x2﹣1，y＝x2共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为y轴
C．都有最低点 D．开口大小相同
7、已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
8、据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝6（1+2x） B．y＝6（1﹣x）2
C．y＝6（1+x）2 D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2
二、填空题
9、在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
10、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 ．
11、根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
12、某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
13、如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 m．
14、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧）．点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c）．其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④，其中正确结论的序号是 ．
15、在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是 ．
16、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
三、解答题
17、已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数关系，部分数据如表：
x（元/件） 13 14 15 16
y（件） 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当线下售价x为多少时，线下月销售量最大，最大是多少件？
（3）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．
①求出总利润w（单位：元）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）的函数关系式；
②回忆一次函数的概念，请你给上一问求出的函数命名，并用字母表示出它的一般形式．
18、2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．
求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据：≈1.73）
19、如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米．
（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？
（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
20、如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．
21、为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据：
x（单位：万条） 200 300
y（单位：万元） 700 860
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）．
22、如图，用18米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃．
（1）设矩形一边为x（米），面积为y（平方米），求y与x的函数表达式；
（2）当矩形苗圃面积为72平方米时，求矩形的边长；
（3）当x为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？
23、为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面OM的距离为6米，宽度OM为12米，隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带．如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系，这辆货车能否安全通过？为什么？
24、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+1．
（1）若点（2，﹣1）在抛物线上，求此时m的值以及顶点坐标；
（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始在一条直线上，求该直线的解析式；
（3）求抛物线的顶点M与原点O的距离的最小值；
（4）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，求m的取值范围．22.3 实际问题与二次函数
— 同步练习 —
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一、选择题
1、如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
［思路分析］①：根据二次函数的对称轴，c＝1，即可判断出abc＞0；
②：结合图象发现，当x＝﹣1时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当x＝1时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1），
∴，c＝1，
∴ab＞0，
∴abc＞0，故①正确；
从图中可以看出，当x＝﹣1时，函数值大于1，
因此将x＝﹣1代入得，（﹣1）2 a+（﹣1） b+c＞1，
即a﹣b+c＞1，故②正确；
∵，
∴b＝2a，
从图中可以看出，当x＝1时，函数值小于0，
∴a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，2），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，
将（0，1）代入得，1＝a+2，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+2，
∴当x＝1时，y＝﹣2；
∴根据二次函数的对称性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．
2、已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF，在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③△OEF面积的最大值是1；
④四边形OECF的面积是1．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
［思路分析］①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；
②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②正确；
③由OE的最大值是OB或OC，即可求得OE的最大值，根据三角形面积公式即可判断选项③错误；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
［答案详解］解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴△OEF面积的最小值是×1×1＝，
故②正确；
③∵当OE和OB或OC重合时，OE最大，此时OE＝OF＝BC＝，
∴此时△OEF面积的最大，最大值是×＝1，
∵点E，F不与线段BC，CD的端点重合；
∴△OEF面积的最大值小于1，
故③错误；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，
故④正确；
故选：C．
［经验总结］本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
3、如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
［思路分析］根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
［答案详解］解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y＝0，则﹣x2+x＝0，
整理得：x2﹣8x﹣20＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
4、已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF，在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③△OEF面积的最大值是1；
④四边形OECF的面积是1．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
［思路分析］①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；
②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②正确；
③由OE的最大值是OB或OC，即可求得OE的最大值，根据三角形面积公式即可判断选项③错误；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
［答案详解］解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴△OEF面积的最小值是×1×1＝，
故②正确；
③∵当OE和OB或OC重合时，OE最大，此时OE＝OF＝BC＝，
∴此时△OEF面积的最大，最大值是×＝1，
∵点E，F不与线段BC，CD的端点重合；
∴△OEF面积的最大值小于1，
故③错误；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，
故④正确；
故选：C．
［经验总结］本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
5、如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝+5的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
［思路分析］利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．
［答案详解］解：OD为14，14＝x2+5，解得x＝±，
∴A（﹣，14），C（，14），
∴AC＝﹣（﹣）＝9，
故选：C．
［经验总结］本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键．
6、抛物线y＝x2，y＝﹣x2﹣1，y＝x2共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为y轴
C．都有最低点 D．开口大小相同
［思路分析］根据二次函数的性质和题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
［答案详解］解：抛物线y＝x2，开口向上，对称轴为y轴，有最低点；
抛物线y＝﹣x2﹣1，开口向下，对称轴为y轴，有最高点；
抛物线y＝x2，当开口向上，对称轴为y轴，有最低点；
抛物线y＝x2，y＝﹣x2﹣1，y＝x2共有的性质是对称轴为y轴．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7、已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
［思路分析］分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．
［答案详解］解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
8、据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝6（1+2x） B．y＝6（1﹣x）2
C．y＝6（1+x）2 D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2
［思路分析］根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，即可解答．
［答案详解］解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，
由题意可得：
y关于x的函数表达式是：y＝6（1+x）2，
故选：C．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题的关键．
二、填空题
9、在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
［思路分析］把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
［答案详解］解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，
∵﹣＜0，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．
10、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 ．
［思路分析］直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标，进而得出答案．
［答案详解］解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，
∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，﹣1），
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y＝x2﹣1．
故答案为：y＝x2﹣1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．
11、根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
［思路分析］把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
［答案详解］解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12、某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
［思路分析］利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
［答案详解］解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，
∵﹣1＜0，
∴当x＝19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
13、如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 m．
［思路分析］根据题目中的函数解析式和图象可知，OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y＝0求出相应的x的值，即可得到OA的长．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2+x+，
∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，
解得x1＝﹣2，x2＝10，
∴OA＝10m，
故答案为：10．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值．
14、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧）．点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c）．其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④，其中正确结论的序号是 ．
［思路分析］根据二次函数的图象与性质逐项分析即可求出答案．
［答案详解］解：由对称轴可知：﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确；
∵（﹣1，0）关于直线的x＝1的对称点是（3，0），由于与y轴的交点C在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），
∴抛物线的开口向下，
∴x＞3时，y＜0，故②错误；
∵抛物线经过A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2≤c≤3，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，故④正确；
∵抛物线的开口向下，b＝﹣2a，
∴抛物线有最大值：＝c﹣a，
∵c＝﹣3a，
∴a＝﹣c，
∴二次函数的最大值＝c+c＝c，
∵2≤c≤3．
∴二次函数的最大值的最小值＝×2＝，故③正确；
故答案为①③④．
［经验总结］本题考查二次函数的图象，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系，本题属于中等题型．
15、在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是 ．
［思路分析］先求得抛物线的解析式，根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可得到a的取值范围．
［答案详解］解：∵二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），
∴3＝﹣16+4m+3，
∴m＝4，
∴y＝﹣x2+4x+3，
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点为（2，7），函数有最大值7，
把y＝3代入y＝﹣x2+4x+3得3＝﹣x2+4x+3，解得x＝0或x＝4，
∵当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，
∴2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
［思路分析］（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离．
［答案详解］解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
故答案为：．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标．
三、解答题
17、已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数关系，部分数据如表：
x（元/件） 13 14 15 16
y（件） 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当线下售价x为多少时，线下月销售量最大，最大是多少件？
（3）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．
①求出总利润w（单位：元）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）的函数关系式；
②回忆一次函数的概念，请你给上一问求出的函数命名，并用字母表示出它的一般形式．
［思路分析］（1）设y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）设线下月林润为w′元，表达出w′与x的关系式，化为顶点式，可得出函数最值；
（3）①根据w＝线上利润+线下月利润，表示出w关于x的函数关系即可；
②根据函数的定义可知是二次函数，可得出其一般形式．
［答案详解］解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b（k≠0），
将x＝14，y＝1000；x＝13，y＝1100代入得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；
（2）w根据题意可知，w′＝y（x﹣10）
＝（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100（x﹣17）2+4900，
∴当线下售价x＝17件时线下的月利润总和达到最大；
（3）①根据题意可知，ww＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）
＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100（x﹣19）2+7300；
②上述关系式为二次函数，一般形式为：y＝ax2+bx+c．
［经验总结］本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
18、2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．
求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据：≈1.73）
［思路分析］（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的长可得出结论．
［答案详解］解：（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，
∴A（0，4）．
（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，
∵A（0，4），
∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a＝﹣．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+12．
（3）在Rt△CDE中，＝，CD＝2.5，
∴CE＝1.5，DE＝2．
∴点D的纵坐标为﹣1.5，
令﹣（x﹣4）2+12＝﹣1.5，
解得，x＝4+3≈9.19或x＝4﹣3≈﹣1.19（不合题意，舍去），
∴D（9.19，﹣1.5）．
∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．
∴OC的长约为7.2米．
［经验总结］本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．
19、如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米．
（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？
（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
［思路分析］（1）设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米，根据隔离区面积为10平方米，列出方程并解答．
（2）由（1）可知隔离区的面积表达式，配方后再根据二次函数的性质求解即可．
［答案详解］解：（1）设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米．
依题意，得x （8﹣x+1）＝10，
解得x1＝5，x2＝4．
当x＝5时，5＞4.5（舍去），
当x＝4时，（8﹣x+1）＝2.5（米）＜4.5米．
∴若面积为10平方米，隔离区的长为4米，宽为2.5米．
（2）隔离区有最大面积，理由如下：
由（1）知，隔离区的面积为x （8﹣x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，隔离区有最大面积，最大面积为平方米．
［经验总结］本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程及二次函数表达式．
20、如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．
［思路分析］（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，根据面积公式列出一元二次方程，解之即可；
（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．
［答案详解］解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，
∴x ＝144，
解得x＝12或x＝18，
∴AB＝12cm或AB＝8cm，
∴AB的长为12厘米或8厘米；
（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，
∴S＝x ，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，
∵﹣＜0，
∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．
故答案为：150．
［经验总结］此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
21、为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据：
x（单位：万条） 200 300
y（单位：万元） 700 860
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）．
［思路分析］（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售利润＝总收益﹣总成本列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其即可．
［答案详解］解：（1）设y＝ax2+bx+500，把（200，700），（300，860）代入得，
，
解得，
∴y＝0.002x2+0.6x+500（x≥100）；
（2）由题意可知，W＝30（mx+n）﹣（0.002x2+0.6x+500）＝﹣0.002x2+（30m﹣0.6）x+30n﹣500，
∵﹣0.002＜0，
∴当x＝﹣＝600时，W有最大值，
∴m＝0.1时，600m+n＝1000，
∴n＝940，
∴m，n的值分别为0.1，940．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，理解题目中收益和成本之间的数量关系及二次函数的性质是解题关键．
22、如图，用18米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃．
（1）设矩形一边为x（米），面积为y（平方米），求y与x的函数表达式；
（2）当矩形苗圃面积为72平方米时，求矩形的边长；
（3）当x为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？
［思路分析］（1）根据题意可知，矩形的一边长为xm，则另一边长为（18﹣x）m，故矩形的面积y＝x（18﹣x），然后化简，即可得到y关于x的函数表达式；
（2）令y＝72，解关于x的一元二次方程即可；
（3）将（1）中的函数关系式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可解决问题．
［答案详解］解：（1）由题意可得，
y＝x（18﹣x）＝﹣x2+18x，
即y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+18x；
（2）当y＝72时，则﹣x2+18x＝72，
解得：x1＝6，x2＝12，
∴矩形的一边长为6米，另一边长为12米；
（3）由（1）知，y＝﹣x2+18x＝﹣（x﹣9）2+81，
∵﹣1＜0，
∴当x＝9时，y取得最大值，最大值为81，
∴当x＝9时，所围苗圃的面积最大，最大面积是81m2．
［经验总结］本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
23、为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面OM的距离为6米，宽度OM为12米，隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带．如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系，这辆货车能否安全通过？为什么？
［思路分析］根据图象的顶点坐标先把函数解析书设为顶点式，再把原点坐标代入解析式求出a即求出函数解析式，再根据隧道隧道是双向车道，把x＝6﹣0.5﹣3.5代入解析式中求出y的值与4进行比较即可．
［答案详解］解：这辆货车不能安全通过，理由：
根据题意，顶点P的坐标为（6，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
把点O（0，0）代入得：36a+6＝0，
解得：a＝﹣，
∴所求抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+6（0≤x≤12），
当x＝6﹣0.5﹣3.5＝2时，
y＝﹣（2﹣6）2+6＝＜4，
∴这辆货车不能安全通过．
［经验总结］本题考查二次函数在实际问题中的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式．
24、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+1．
（1）若点（2，﹣1）在抛物线上，求此时m的值以及顶点坐标；
（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始在一条直线上，求该直线的解析式；
（3）求抛物线的顶点M与原点O的距离的最小值；
（4）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，求m的取值范围．
［思路分析］（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），根据点（2，﹣1）在抛物线上，求出m的值，即可得出顶点坐标；
（2）由于抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），即可得出顶点在直线y＝﹣x+1上；
（3）根据勾股定理表示出OM＝，当m＝时，有最小值；
（4）把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，再把B（1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，即可求解．
［答案详解］解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，
∴顶点坐标是（m，﹣m+1），
∵（2，﹣1）在抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1上
∴﹣22+4m﹣m2﹣m+1＝﹣1，解得m＝2或1，
∴抛物线的顶点为（2，﹣1）或者（1，0）；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的顶点坐标是（m，﹣m+1），
∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1上；
（3）∵顶点M坐标是（m，﹣m+1），
∴OM＝
＝，
∵当m＝时，有最小值，
∴抛物线的顶点M与原点O的距离的最小值为；
（4）当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+1过点A（﹣1，0）时，
﹣1﹣2m﹣m2+1＝0，
解得m1＝0，m2＝﹣2，
当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+1过点B（1，0）时，
﹣1+2m﹣m2+1＝0，
解得m1＝0，m2＝2，
故﹣2≤m≤2．
［经验总结］本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，求直线的解析式等知识，有一定难度．把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
