22.3 实际问题与二次函数
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一、选择题
1、［2022·较易］对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣2
D．当x＜2时y随x的增大而减小
［思路分析］根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
［答案详解］解：二次函数y＝2（x﹣2）2+1，a＝2＞0，
∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是y＝1，故选项B错误，
图象的对称轴是直线x＝2，故选项C错误，
当x＜2时y随x的增大而减小，故选项D正确，
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2、［2022·较易］据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝6（1+2x） B．y＝6（1﹣x）2
C．y＝6（1+x）2 D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2
［思路分析］根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，即可解答．
［答案详解］解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，
由题意可得：
y关于x的函数表达式是：y＝6（1+x）2，
故选：C．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题的关键．
3、［2022·较易］长方形的周长为12cm，其中一边为x（0＜x＜6）cm，面积为ycm2．那么y与x的关系是（ ）
A．y＝（12﹣x）2 B．y＝（6﹣x）2 C．y＝x（12﹣x） D．y＝x（6﹣x）
［思路分析］由长方形的周长，可知一组邻边和，由一边长为xcm，可知另一边为（6﹣x）cm，则可表示面积．
［答案详解］解：∵长方形的周长为12cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为（6﹣x）cm，
面积y＝x（6﹣x），
故选：D．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，理解长方形的边长、周长以及面积之间的关系是解题的关键．
4、［2022·较易］下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．这个函数的最小值小于﹣6
［思路分析］根据抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4）可得抛物线对称轴为直线x＝，由抛物线经过点（﹣2，6）可得抛物线开口向上，进而求解．
［答案详解］解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵抛物线经过点（﹣2，6），
∴当x＜时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
∴x＞时，y随x增大而增大，故C错误，不符合题意；
由对称性可知，在x＝处取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正确，符合题意．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
5、［2022·较易］已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
［思路分析］分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．
［答案详解］解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
6、［2022·较易］当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝（x+m）2+m+1有最大值5，则m的值为（ ）
A．或 B．或﹣
C．或 D．或﹣
［思路分析］分类讨论，①对称轴在x＝1左侧，②对称轴在x＝1右侧，求得m的值，即可解题．
［答案详解］解：∵二次函数y＝（x+m）2+m+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣m，
①当对称轴x＝﹣m≤1时，x＝3，二次函数有最大值，此时m≥﹣1，
代入x＝3得：m2+6m+9+m+1＝5，
化简得：m2+7m+5＝0，
解得：m＝，或m＝（舍去）；
②当对称轴x＝﹣m≥1时，x＝﹣1，二次函数有最大值，此时m≤﹣1，
代入x＝﹣1得：m2﹣2m+1+m+1＝5，
化简得：m2﹣m﹣3＝0，
解得：m＝，或m＝（舍去）；
综上所述，m的值为：或．
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7、［2022·较易］已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
［思路分析］由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．
［答案详解］解：∵b﹣a＝1，
∴b＝a+1，
∴a2+2b﹣6a+7
＝a2+2（a+1）﹣6a+7
＝a2+2a+2﹣6a+7
＝a2﹣4a+4+5
＝（a﹣2）2+5，
∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，
故选：A．
［经验总结］此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．
二、填空题
8、［2022·较易］如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ．
［思路分析］根据二次函数图象得出其对称轴和与x轴交点，进而得出二次函数解析式，即可求出最小值．
［答案详解］解：由函数图象可得：﹣＝﹣＝﹣1，
解得：b＝2，
∵图象经过（﹣3，0）点，
∴0＝（﹣3）2﹣3×2+c，
解得：c＝﹣3，
故二次函数解析式为：y＝x2+2x﹣3，
则二次函数的最小值为：＝＝﹣4．
故答案为：﹣4．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的最值以及二次函数的图象，正确求出二次函数解析式是解题关键．
9、［2022·较易］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧）．点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c）．其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④，其中正确结论的序号是 ．
［思路分析］根据二次函数的图象与性质逐项分析即可求出答案．
［答案详解］解：由对称轴可知：﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确；
∵（﹣1，0）关于直线的x＝1的对称点是（3，0），由于与y轴的交点C在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），
∴抛物线的开口向下，
∴x＞3时，y＜0，故②错误；
∵抛物线经过A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2≤c≤3，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，故④正确；
∵抛物线的开口向下，b＝﹣2a，
∴抛物线有最大值：＝c﹣a，
∵c＝﹣3a，
∴a＝﹣c，
∴二次函数的最大值＝c+c＝c，
∵2≤c≤3．
∴二次函数的最大值的最小值＝×2＝，故③正确；
故答案为①③④．
［经验总结］本题考查二次函数的图象，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系，本题属于中等题型．
10、［2022·较易］在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是 ．
［思路分析］先求得抛物线的解析式，根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可得到a的取值范围．
［答案详解］解：∵二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），
∴3＝﹣16+4m+3，
∴m＝4，
∴y＝﹣x2+4x+3，
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点为（2，7），函数有最大值7，
把y＝3代入y＝﹣x2+4x+3得3＝﹣x2+4x+3，解得x＝0或x＝4，
∵当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，
∴2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11、［2022·较易］如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 m．
［思路分析］根据题目中的函数解析式和图象可知，OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y＝0求出相应的x的值，即可得到OA的长．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2+x+，
∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，
解得x1＝﹣2，x2＝10，
∴OA＝10m，
故答案为：10．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值．
12、［2022·较易］某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
［思路分析］利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
［答案详解］解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，
∵﹣1＜0，
∴当x＝19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
13、［2022·较易］某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
［思路分析］（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离．
［答案详解］解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
故答案为：．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标．
三、解答题
14、［2022·较易］数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．
（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？
（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？
［思路分析］（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（20﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于13cm2建立方程求出其解即可；
（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，根据圆的面积公式求出两圆面积之和，再根据函数性质求最小值．
［答案详解］解：（1）设剪成较短的一短为xm，则较长的部分为（20﹣x）m，
由题意得：（）2+（）2＝13，
化简得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝8，x2＝12，
当x＝8时，较长部分为12，
答：应该把铁丝剪成8m和12m的两个部分；
（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，
由题意得：S＝π （）2+π （）2＝（y﹣10）2+（0≤y≤20），
∵＞0，
∴当y＝10时，S有最小值，最小值为．
［经验总结］本题考查和二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式和一元二次方程．
15、［2022·较易］已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数关系，部分数据如表：
x（元/件） 13 14 15 16
y（件） 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当线下售价x为多少时，线下月销售量最大，最大是多少件？
（3）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．
①求出总利润w（单位：元）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）的函数关系式；
②回忆一次函数的概念，请你给上一问求出的函数命名，并用字母表示出它的一般形式．
［思路分析］（1）设y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）设线下月林润为w′元，表达出w′与x的关系式，化为顶点式，可得出函数最值；
（3）①根据w＝线上利润+线下月利润，表示出w关于x的函数关系即可；
②根据函数的定义可知是二次函数，可得出其一般形式．
［答案详解］解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b（k≠0），
将x＝14，y＝1000；x＝13，y＝1100代入得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；
（2）w根据题意可知，w′＝y（x﹣10）
＝（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100（x﹣17）2+4900，
∴当线下售价x＝17件时线下的月利润总和达到最大；
（3）①根据题意可知，ww＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）
＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100（x﹣19）2+7300；
②上述关系式为二次函数，一般形式为：y＝ax2+bx+c．
［经验总结］本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
16、［2022·较易］用两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个长方形，设正方形的边长为m，长方形长为x，宽为y．
（1）则正方形的周长表示为 ；长方形的周长表示 ．由此可得x、y、m之间的等量关系为 ．
（2）比较正方形面积m2和长方形面积xy的大小．
【尝试】（用“＜”，“＝”或“＞”填空）
①当x＝4，y＝2时，xy m2；
②当x＝1，y＝3时，xy m2；
③当x＝y＝3时，xy m2；
【猜想验证】对于任意实数x，y，代数式xy与m2有怎样的大小关系？写出你的猜想，并加以证明．
【应用】当xy＝1时，请直接写出x+y的最小值．
［思路分析］（1）根据周长公式表示周长．
（2）通过计算比较大小．
猜想验证：先猜想，再用公式验证．
应用：利用猜想中的结论求最值．
［答案详解］解：（1）∵正方形的边长为m，
∴正方形的周长＝4m
∵长方形长为x，宽为y．
因此长方形的周长＝2（x+y）＝2x+2y．
由题意得：4m＝2x+2y，
∴x+y＝2m．
故答案为：4m，2x+2y，x+y＝2m．
（2）①当x＝4，y＝2时，m＝＝3，
∵xy＝8，m2＝9，
∴xy＜m2，
②当x＝1，y＝3时，m＝＝2，
∴xy＝3，m2＝4，
∴xy＜m2．
③当x＝y＝3时，m＝3，
xy＝m2＝9，
故答案为：①＜，②＜，③＝．
猜想验证：xy≤m2．
证明：∵m2﹣xy＝﹣xy＝﹣xy
＝≥0，
∴xy≤m2．
应用：∵xy≤m2，xy＝1，
∴m2≥1，
∴≥1，当且仅当x＝y时取“＝”．
∴x+y≥2．
∴当x＝y＝1时，x+y有最小值2．
［经验总结］本题考查完全平方公式的应用，找到x，y和m的关系是求解本题的关键．
17、［2021·较易］渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
［思路分析］（1）根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可，将x＝2代入函数关系式即可求解；
（2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；
（3）首先由（2）中的函数得出降价x元时，每天要获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．
［答案详解］解：（1）由题意得：
W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），
答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；
（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4时，W最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝3，x2＝5，
∵让利于民，
∴x1＝3不合题意，舍去，
∴定价应为48﹣5＝43（元），
答：定价应为43元．
［经验总结］此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．
18、［2021·较易］某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
［思路分析］（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
［答案详解］解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（15，45）、（24，36）代入，得：
，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+60（15≤x≤24）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣15）y
＝（x﹣15）（﹣x+60）
＝﹣x2+75x﹣900，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜时，W随x的增大而增大，
∵15≤x≤24，
∴当x＝24时，W取得最大值，最大值为324，
答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是324元．
［经验总结］本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
19、［2021·较易］如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣2，3），Q（1，6）．
（1）求b和c的值；
（2）点M（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象求出m的值．
［思路分析］（1）待定系数法求解析式；
（2）先求出抛物线的对称轴为x＝﹣1，且此时y＝2，所以当m＞﹣1时，x＝m时取得最小值，代入即可求出m的值；当当m＜﹣1＜m+3时，该函数的最小值为2≠11；当m+3＜﹣1时，x＝m+3时取得最小值，代入即可求出m的值．
［答案详解］解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣2，3），Q（1，6），
∴，
解之得．
（2）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴该函数图象开口向上，当x＝﹣1时取得最小值2，
∵当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，
∴当m＞﹣1时，m2+2m+3＝11，得m1＝﹣4（舍去），m2＝2；
当m＜﹣1＜m+3时，该函数的最小值为2，不符合题意；
当m+3＜﹣1时，（m+3）2+2（m+3）+3＝11，得m3＝﹣1（舍去），m4＝﹣7；
综上，m的值是2或﹣7．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，以对称轴为分界点分别讨论取得最小值的情况是解决本题的关键．
20、［2022·中］小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．
注：销售利润＝售价﹣成本．
［思路分析］（1）设日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，把（1，78），（2，76）代入求出即可；
（2）设日销售利润为w元，根据销售利润＝售价﹣成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）先求出前20天最高日销量和最高日售价，再根据题意列出方程，解方程即可．
［答案详解］解：（1）设日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，
把（1，78），（2，76）代入得：，
解得：，
即日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80；
（2）设日销售利润为w元，
w＝（﹣2x+80）（x+25﹣20）＝﹣（x﹣10）2+450；
∵﹣＜0，1≤x≤20，且x为整数，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值是450；
∴在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
（3）∵日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80（1≤x≤20，且x为整数），
∴前20天最高日销售量为x＝1时，即p＝78（盏），
∵销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
∴前20天最高日销售量为当x＝20时，即y＝30元，
由题意得：（30﹣a﹣20）（78+7a）﹣450＝30，
解得：a1＝6，a2＝﹣（舍去），
∴a的值为6．
［经验总结］本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，即用所学的数学知识来解决实际问题．22.3 实际问题与二次函数
— 易错精选 —
一、选择题
1、［2022·较易］对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣2
D．当x＜2时y随x的增大而减小
2、［2022·较易］据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝6（1+2x） B．y＝6（1﹣x）2
C．y＝6（1+x）2 D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2
3、［2022·较易］长方形的周长为12cm，其中一边为x（0＜x＜6）cm，面积为ycm2．那么y与x的关系是（ ）
A．y＝（12﹣x）2 B．y＝（6﹣x）2 C．y＝x（12﹣x） D．y＝x（6﹣x）
4、［2022·较易］下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．这个函数的最小值小于﹣6
5、［2022·较易］已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
6、［2022·较易］当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝（x+m）2+m+1有最大值5，则m的值为（ ）
A．或 B．或﹣
C．或 D．或﹣
7、［2022·较易］已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
8、［2022·较易］如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ．
9、［2022·较易］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧）．点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c）．其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④，其中正确结论的序号是 ．
10、［2022·较易］在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是 ．
11、［2022·较易］如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 m．
12、［2022·较易］某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
13、［2022·较易］某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
三、解答题
14、［2022·较易］数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．
（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？
（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？
15、［2022·较易］已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数关系，部分数据如表：
x（元/件） 13 14 15 16
y（件） 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当线下售价x为多少时，线下月销售量最大，最大是多少件？
（3）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．
①求出总利润w（单位：元）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）的函数关系式；
②回忆一次函数的概念，请你给上一问求出的函数命名，并用字母表示出它的一般形式．
16、［2022·较易］用两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个长方形，设正方形的边长为m，长方形长为x，宽为y．
（1）则正方形的周长表示为 ；长方形的周长表示 ．由此可得x、y、m之间的等量关系为 ．
（2）比较正方形面积m2和长方形面积xy的大小．
【尝试】（用“＜”，“＝”或“＞”填空）
①当x＝4，y＝2时，xy m2；
②当x＝1，y＝3时，xy m2；
③当x＝y＝3时，xy m2；
【猜想验证】对于任意实数x，y，代数式xy与m2有怎样的大小关系？写出你的猜想，并加以证明．
【应用】当xy＝1时，请直接写出x+y的最小值．
17、［2021·较易］渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
18、［2021·较易］某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
19、［2021·较易］如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣2，3），Q（1，6）．
（1）求b和c的值；
（2）点M（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象求出m的值．
20、［2022·中］小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．
注：销售利润＝售价﹣成本．
