北师大版九年级数学上册第2章一元二次方程 单元综合练习题 2022-2023学年（含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合练习题（附答案）
一．选择题
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．xy+2＝1 B．
C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．方程2x2﹣6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．2，6，9
3．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
4．方程x2﹣9＝0的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝±9 D．x1＝3，x2＝﹣3
5．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（　　）
A．（y+）2＝1 B．（y﹣）2＝1 C．（y+）2＝ D．（y﹣）2＝
6．一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（　　）
A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，0
7．若等腰三角形两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形周长是（　　）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
8．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）＝8，则a2﹣b2的值为（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
9．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
10．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
11．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝32
12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题
13．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2023的值为　 　．
14．规定：a b＝（a+b）b，如：2 3＝（2+3）×3＝15，若2 x＝3，则x＝　 　．
15．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是　 　．
16．已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为　 　．
17．为应对金融危机，某工厂从2020年到2022年把某种产品的成本下降了19%，则平均每年下降的百分数为　 　．
18．已知m2+n2﹣6m+8n+25＝0，则m+n＝　 　．
三．解答题
19．解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
20．解方程：3x2﹣2x﹣2＝0．
21．[1]若，则x的取值范围是　 　；
[2]在[1]的条件下，试求方程x2+|x﹣1|﹣3＝0的解．
22．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1 x2＝．
23．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．
（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
24．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
26．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
27．如图，某餐厅的餐桌桌面是一个面积为0.84m2的矩形，桌面装有两个表面为相同正方形的电磁炉，两个电磁炉之间及与四周的距离均为0.2m，求电磁炉表面的边长．
28．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到　 　的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
参考答案
一．选择题
1．解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、当abc是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．解：∵方程2x2﹣6x＝9化成一般形式是2x2﹣6x﹣9＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣9．
故选：C．
3．解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，
解得k＝2．
故选：B．
4．解：x2＝9，
x＝±3，
所以x1＝3，x2＝﹣3．
故选：D．
5．解：y2﹣y﹣＝0
y2﹣y＝
y2﹣y+＝1
（y﹣）2＝1
故选：B．
6．解：解方程2x2﹣2x﹣1＝0得：x＝，
设a是方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根，
∴a＝，
∵1＜＜2，
∴2＜1+＜3，即1＜a＜．
故选：C．
7．解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0，x﹣5＝0，
x1＝2，x2＝5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
8．解：设y＝a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8＝0，即（y﹣4）（y+2）＝0，
可得y﹣4＝0或y+2＝0，
解得：y1＝4，y2＝﹣2，
∴a2﹣b2＝4或﹣2．
故选：C．
9．解：Δ＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
10．解：∵一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2＝0．
故选：D．
11．解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：B．
12．解：设共有x个班级参赛，根据题意得：
＝15，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛．
故选：C．
二．填空题
13．解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2023＝2026
故答案为：2026
14．解：依题意得：（2+x）x＝3，
整理，得 x2+2x＝3，
所以 （x+1）2＝4，
所以x+1＝±2，
所以x＝1或x＝﹣3．
故答案是：1或﹣3．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴22﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
16．解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1+m＝3，
解得：m＝2．
故答案为：2．
17．解：设每年下降的百分率为x，
由题意，可得（1﹣x）2＝1﹣19%，
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意舍去）．
所以平均每年下降的百分率为10%．
故答案为：10%．
18．解：m2+n2﹣6m+8n+25＝0，
（m﹣3）2+（n+4）2＝0，
所以m﹣3＝0且n+4＝0，
所以m＝3，n＝﹣4，
所以m+n＝3﹣4＝﹣1．
故答案是：﹣1．
三．解答题
19．解：2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
解得：x1＝3、x2＝．
20．解：a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，
则△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，
则＝
即，
∴原方程的解为，
21．解：（1）∵＝|x﹣1|＝1﹣x，
∴x﹣1≤0，即x≤1．
故答案为x≤1．
（2）由x≤1，方程化为：x2﹣x﹣2＝0，
则（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x1＝2（舍去），x2＝﹣1，
∴x＝﹣1．
22．解：∵ax2+bx+c＝0（a≠0），
∴x2+x＝﹣，
∴x2+x+（）2＝﹣+（）2，
即（x+）2＝，
∵4a2＞0，
∴当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根，
∴x+＝±，
∴当b2﹣4ac＞0时，x1＝，x2＝；
当b2﹣4ac＝0时，x1＝x2＝﹣；
∴x1 x2＝＝＝＝，
或x1 x2＝（﹣）2＝＝＝，
∴x1 x2＝．
23．解：（1）根据题意得a≠0，
∵Δ＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，
而a2＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4a＝0，
若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．
24．解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＞﹣3且k≠1．
25．解：（1）由题意可知：Δ＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝10，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m＝﹣1或m＝3
26．解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．
故答案为：26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
∴x＝10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
27．解：设电磁炉表面的边长为xm，则矩形桌面的长为（2x+0.6）m，宽为（x+0.4）m，
根据题意得：（2x+0.6）（x+0.4）＝0.84，
解得：x1＝0.3，x2＝﹣1（舍去）．
答：电磁炉表面的边长为0.3m．
28．解：（1）换元，降次
（2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y1＝6，y2＝﹣2．
由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2．
由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0，
b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2．