22.1 二次函数的图象和性质
— 近期热题 —
> > > 精品解析 < < <
1、［2021碑林区·模拟］已知二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜1
［思路分析］由于二次函数的图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，要使二次函数的图象只过三个象限，则函数只能不过第四象限，顶点在第三象限，且与y轴的交点不经过负半轴，据此列出不等式组解答即可．
［答案详解］解：∵二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，
∴开口方向向上，
其对称轴为x＝﹣1，
则＜0，2m﹣1≥0，
解得≤m＜1．
如图：
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，要结合不等式组，求出m的取值范围，熟悉二次函数的图象是解题的关键．
2、［2021衡水·模拟］若二次函数y＝ax2+2ax（a≠0）过P（1，4），则这个函数必过点（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣1，4） C．（0，3） D．（2，4）
［思路分析］根据二次函数的对称性即可判断．
［答案详解］解：∵二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝﹣1，
∴点P关于对称轴的对称点为（﹣3，4），
∵点P关于对称轴的对称点必在这个函数的图象上，
∴这个函数图象必过点（﹣3，4），
故选：A．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的对称性．
3、［2021苏州·中考］已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
［思路分析］根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将（0，0）代入，求得k的值．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+） ﹣．
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3） ﹣+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3） ﹣+1，
解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．
故选：B．
［经验总结］本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是写出平移后抛物线解析式．
4、［2022济南·一模］对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
［思路分析］由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由Δ＞0且x＝1时y＞0，即可求解．
［答案详解］解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根知：Δ＞0，即1﹣4c＞0①，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x＝1时，y＝x2+x+c＝2+c＞0②，
联立①②并解得：﹣2＜c＜；
故选：C．
［经验总结］本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．
5、［2022济南·中考］抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1或m＞0 B．＜m＜ C．0≤m＜ D．﹣1＜m＜1
［思路分析］通过计算可知，（m﹣1，1），（m+1，1）为抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2上关于对称轴对称的两点，根据y轴与（m﹣1，1），（m+1，1）的相对位置分三种情形：①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上），②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上），③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，分别讨论求解即可．
［答案详解］解：在y＝﹣x2+2mx﹣m2+2中，令x＝m﹣1，得y＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+2＝1，
令x＝m+1，得y＝﹣（m+1）2+2m（m+1）﹣m2+2＝1，
∴（m﹣1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2对称轴对称的两点，
①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上），
则点（m﹣1，1）经过翻折得M（m﹣1，y1），点（m+1，1）经过翻折得N（m+1，y2），
如图：
由对称性可知，y1＝y2，
∴此时不满足y1＜y2；
②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上），
则点（m﹣1，1）即为M（m﹣1，y1），点（m+1，1）即为N（m+1，y2），
∴y1＝y2，
∴此时不满足y1＜y2；
③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图：
此时M（m﹣1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y1＜y2；
由m﹣1＜0＜m+1得：﹣1＜m＜1，
故选：D．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．
6、［2022东莞市·一模］将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2+3
［思路分析］原抛物线的顶点坐标为（0，1），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，﹣1），根据抛物线的顶点式求解析式．
［答案详解］解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，﹣1），
∴平移后抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣1．
故选：C．
［经验总结］本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．
7、［2022黑龙江·中考］若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
［思路分析］先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．
8、［2022通辽·中考］在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
［思路分析］根据图象的平移规律，可得答案．
［答案详解］解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
［经验总结］主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
9、［2021巴中·中考］y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝ ．
［思路分析］由f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，得a（﹣x）2+（a﹣5） （﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1，解得a＝5．
［答案详解］解：∵f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，
∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），即a（﹣x）2+（a﹣5） （﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1，
∴（10﹣2a）x＝0，可知10﹣2a＝0，
∴a＝5，
故答案为：5．
［经验总结］本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a（﹣x）2+（a﹣5） （﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1．
10、［2022莲池区·三中分校开学考］已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+t，当x＜2时，y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”）
［思路分析］由抛物线开口方向及对称轴求解．
［答案详解］解：∵y＝﹣（x﹣2）2+t，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴x＜2时，y随x增大而增大，
故答案为：增大．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
11、［2021甘州区·期末］当a＝ 时，函数y＝（a﹣1）+x﹣3是二次函数．
［思路分析］根据二次函数的定义，只要x2的系数不为0，列式解答即可．
［答案详解］解：根据题意得：a2+1＝2且a﹣1≠0，
由a﹣1≠0得a≠1，
由a2+1＝2得a＝±1，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
12、［2021广东·中考］把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
［思路分析］可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
［答案详解］解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝2x2+4x．
［经验总结］本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
13、［2021伊川县·期末］把二次函数y＝2x2+4x﹣1配方成顶点式为 ．
［思路分析］利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
［答案详解］解：y＝2x2+4x﹣1
＝2（x2+2x）﹣1
＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1
＝2（x+1）2﹣3，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣3．
［经验总结］本题考查的是二次函数的三种形式，熟练运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
14、［2021芝罘区·期末］已知y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 ．
［思路分析］根据形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
［答案详解］解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2且m+2≠0．
解得m＝2．
故答案为：2．
［经验总结］本题主要考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出关于m的方程是解题的关键．
15、［2021济阳区·期末］如果A（0，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，那么m的值为 ．
［思路分析］根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
［答案详解］解：由点A（0，3）、B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，得
A（0，3）与B（m，3）关于对称轴x＝2对称，
m﹣2＝2﹣0，
解得m＝4，
故答案为：4．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣2＝2﹣0是解题关键．
16、［2021益阳·中考］已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中a＝ ．
［思路分析］确定二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性即可求解．
［答案详解］解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），
∴对称轴为x＝＝1，
∴x＝﹣1时的函数值等于x＝3时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣1时，a＝6．
故答案为：6．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称轴是解决此题的关键．
17、［2022吉林·模拟］在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
［思路分析］（1）先将m＝2代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；
（2）①根据函数对称轴为直线x＝﹣计算可得结论；
②函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较y1，y2，y3的大小关系；
（3）当△OAP为钝角三角形时，则0＜m﹣2＜m或m﹣2＞﹣3，分别求解即可．
［答案详解］解：（1）当m＝2时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）①∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1，
∴函数对称轴为直线x＝﹣＝m；
②∵函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，
∴离对称轴距离越远，函数值越大，
∵m﹣1＜m＜m+3，且点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，
∴y3＞y1＞y2；
故答案为：y3＞y1＞y2；
（3）把点A（﹣3，0）代入y＝x+b的表达式并解得：b＝3，
则B（0，3），直线AB的表达式为：y＝x+3，
如图，
在直线y＝3上，当∠AOP＝90°时，点P与B重合，
当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，
则x＝m±2，
∵点P在对称轴的左侧，
∴x＝m+2＞m不符合题意，舍去，
则点P（m﹣2，3），
当△OAP为钝角三角形时，
则0＜m﹣2＜m或m﹣2＜﹣3，
解得：m＞2或m＜﹣1，
∴m的取值范围是：m＞2或m＜﹣1．
［经验总结］本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定∠AOP为直角时点P的位置最关键．
18、［2022南京·雅礼教育集团模拟］已知顶点为M（1，）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当m≤x1≤m+3，x2≥5时，均有y1＞y2，求m的取值范围；
（3）若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
［思路分析］（1）根据题意先设出抛物线的顶点坐标，再代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式：
（2）根据抛物线的对称性，当x＝5和x＝﹣3时，函数值相等，根据题干可得出m≥﹣2或m+3≤5，解该不等式可得出结论；
（3）由点I是△ADG内心联想到过点I作△ADG三边的垂线段IE、IF、IH，根据内心到三角形三边距离相等即有IE＝IF＝IH．此时以点I为圆心、IE为半径长的⊙I即为△ADG内切圆，根据切线长定理可得AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG．设点I坐标为（m，n），可用含m、n的式子表示AG、DG的
长，又由DA＝OA＝3，即可用勾股定理列得关于m、n的方程．化简再配方后得到式（m﹣）2+（n+）2＝，从图形上可理解为点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为，所以点I的运动轨迹为圆弧．所以当点I在CQ连线上时，CI最短．
［答案详解］解：（1）∵抛物线的顶点为M（1，），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+，
∵抛物线经过点C（0，4），
∴a（0﹣1）2+＝4，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+；
（2）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝5和x＝﹣3时，函数值相等，
∵当m≤x1≤m+3，x2≥5时，均有y1＞y2，
∴，
∴﹣3≤m≤2．
（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H，
∵DG⊥x轴于点G，
∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°，
∴四边形IEGH是矩形，
∵点I为△ADG的内心，
∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG，
∴矩形IEGH是正方形；
设点I坐标为（m，n），
∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n，
∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m，
∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m，
∵DA＝OA＝3，
∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m，
∴DG＝DH+HG＝m+n，
∵DG2+AG2＝DA2，
∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32，
化简得m2﹣3m+n2+3n＝0，
配方得：（m﹣）2+（n+）2＝，
∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为，
∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在一象限的弧上运动，
∴当点I在线段CQ上，CI最小，
∵CQ＝，
∴CI＝CQ﹣IQ＝﹣．
∴CI的最小值为：﹣．
［经验总结］主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，
19、［2022绵阳·中考］如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出△ADE是直角三角形，且DE：AE＝1：3；再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标．
［答案详解］解：（1）∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入抛物线的解析式，
则﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB＝180°，
∴∠CAP+∠CBP＝180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，
由（1）知，OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP＝OA＝1，
∴P（0，﹣1）．
（3）存在，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性可知，E（2，3），
∵A（﹣1，0），
∴AD＝2，DE＝，AE＝3．
∴AD2＝DE2+AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．
∵点M在直线l下方的抛物线上，
∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．
∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，
若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，
∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，
解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，
∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．
综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共圆是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角形并得出AD：AE的值是解题关键．
20、［2022益阳·中考］如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F即可得出结论；
（2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可得出m的值；
（3）过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，则△PKQ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，进而可得出结论．
［答案详解］解：（1）由题意可知，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P的坐标为（m，2m2），
∵点P在抛物线F：y＝ax2上，
∴am2＝2m2，
∴a＝2．
（2）∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，
∴yA＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，yB＝2t2，
∴s＝yA﹣yB
＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2
＝﹣3t2+2mt+m2
＝﹣3（t﹣m）2+m2，
∵﹣3＜0，
∴当t＝m时，s的最大值为m2，
∵s的最大值为4，
∴m2＝4，解得m＝±，
∵m＜0，
∴m＝﹣．
（3）存在，理由如下：
设点M的坐标为n，则M（n，2n2），
∴Q（2n﹣m，4n2﹣2m2），
∵点Q在x轴正半轴上，
∴2n﹣m＞0且4n2﹣2m2＝0，
∴n＝﹣m，
∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．
如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，
∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，
∵∠PQG＝90°，
∴∠PQK+∠GQN＝90°，
∴∠QPK＝∠GQN，
∴△PKQ∽△QNG，
∴PK：QN＝KQ：GN，即PK GN＝KQ QN．
∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，
∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2 QN
解得QN＝．
∴G（0，﹣）．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，构造相似得出方程是解题关键．
21、［2022迎江区·二中二模］小明在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+3时，列出了下面的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2，C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），连接AB，求tan∠ABC；
（3）在第（2）问条件下，点P为抛物线C2在第二象限内任意一点（不与点A重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接DQ．求证：AB∥DQ；
（4）若直线y＝x+b与抛物线C1，C2共有两个公共点．请直接写出b的取值范围．
［思路分析］（1）根据表格中数据对称性，判断抛物线顶点，设为顶点式，再代入一个点坐标，进而求得结果；
（2）根据平移，先得出C2的解析式，可得其图象过原点，求得抛物线与x轴的交点，进而根据三角函数定义求得结果；
（3）设点P坐标，求出AP的关系式，从而求得Q点坐标，进而求得∠QDO的值，进一步命题得证；
（4）分别求出直线y＝与C1，C2有一个公共点时b的值，进而得出结果．
［答案详解］（1）解：设抛物线C1的解析式是：y＝a（x﹣2）2+7，
当x＝0时，y＝3，
∴4a+7＝3，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+7＝﹣x2+4x+3；
（2）如图，
∴C1的顶点是（2，7），
∴C2的顶点是（﹣2，4），
∴y＝﹣（x+2）2+4，
当﹣（x+2）2+4＝0时，
x1＝﹣4，x2＝0，
∴B（﹣4，0），C（0，0），
∴BD＝2，AD＝4，
∴tan∠ABC＝；
（3）设P（a，﹣a2﹣4a），D（a，0），
设直线AP的解析式是：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣（a+2）x﹣2a，
当x＝0时，y＝﹣2a，
∴Q（0，﹣2a），
∴tan∠QDO＝＝＝2，
∴∠ABC＝∠QDO，
∴AB∥DQ；
（4）由+b＝﹣x2﹣4x得，
x2+x+b＝0，
当Δ＝0时，
（）2﹣4b＝0，
∴b＝，
由＝﹣x2+4x+3得，
x2﹣x+（b﹣3）＝0，
当Δ′＝0时，
（﹣）2﹣4（b﹣3）＝0，
∴b＝，
∴＜b＜．
［经验总结］本题考查了求二次函数和一次函数的解析式，图象的平移，锐角三角形函数定义，图象交点坐标与方程组的解之间的关系等知识，解决问题的关键是数形结合，观察转化．
22、［2020雅安·中考］已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
［思路分析］（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中连接AD，CD．由题意点D到直线AC的距离取得最大，推出此时△DAC的面积最大．过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），推出DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，利用二次函数的性质求解即可．
（3）分两种情形：OB是平行四边形的边或对角线分别求解即可．
［答案详解］解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c
则有，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0）．
（2）如图1中连接AD，CD．
∵点D到直线AC的距离取得最大，
∴此时△DAC的面积最大，
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），
∵点D在第三象限，
∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴S△ACD＝ DG OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，
∴当x＝﹣时，S最大＝，点D（﹣，﹣），
∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．
（3）存在．如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），
当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，
x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，
∴N″（2，5）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．
［经验总结］本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
23、［2022沂水县·二模］抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q（x0，y0）是抛物线上的点．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；
（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．
［思路分析］（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质判断即可；
（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2是方程x2+4x＝m的两个根，根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，由MN≤5，则（x1﹣x2）2≤25，所以（x1+x2）2﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，解得即可．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5），
∴，解得，
∴抛物线为y＝x2+4x，
∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4）；
（2）∵抛物线为y＝x2+4x的对称轴为直线x＝﹣2，且开口向上，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵点P（2，c）关于对称轴的对称点为（﹣6，c），
∵x0＞﹣6，
∴当﹣6＜x0＜2时，则c＞y0；
当x0≥2时，则c≤y0；
（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，
∵直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），
∴x1、x2是方程x2+4x＝m的两个根，
∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，
∵MN≤5，
∴（x1﹣x2）2≤25，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，
解得m≤，
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），
∴函数的最小值为﹣4，
∴﹣4＜m≤．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，求得抛物线的解析式是解题的关键．
24、［2022安徽·T12教育二模］已知抛物线y＝αx2+bx+b2﹣b（α≠0）．
（1）若b＝2α，求抛物线的对称轴；
（2）若α＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．
①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；
②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．
［思路分析］（1）根据对称轴公式即可求得；
（2）①根据对称轴在y轴右侧可判断b＜0，根据顶点公式可求得b＝﹣；
②根据题意可得＜﹣＜，即可求解．
［答案详解］解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵b＝2α，
∴x＝﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
（2）①当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线顶点的纵坐标为1，
∴＝1，
解得：b＝2或b＝﹣，
∵b＜0，
∴b＝﹣；
②当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，且y1＞y3＞y2，
∴＜﹣＜，
∴﹣2＜b＜0．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是熟练掌握对称轴公式和顶点公式．22.1 二次函数的图象和性质
— 近期热题 —
1、［2021碑林区·模拟］已知二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜1
2、［2021衡水·模拟］若二次函数y＝ax2+2ax（a≠0）过P（1，4），则这个函数必过点（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣1，4） C．（0，3） D．（2，4）
3、［2021苏州·中考］已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
4、［2022济南·一模］对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
5、［2022济南·中考］抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1或m＞0 B．＜m＜ C．0≤m＜ D．﹣1＜m＜1
6、［2022东莞市·一模］将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2+3
7、［2022黑龙江·中考］若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
8、［2022通辽·中考］在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
9、［2021巴中·中考］y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝ ．
10、［2022莲池区·三中分校开学考］已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+t，当x＜2时，y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”）
11、［2021甘州区·期末］当a＝ 时，函数y＝（a﹣1）+x﹣3是二次函数．
12、［2021广东·中考］把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
13、［2021伊川县·期末］把二次函数y＝2x2+4x﹣1配方成顶点式为 ．
14、［2021芝罘区·期末］已知y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 ．
15、［2021济阳区·期末］如果A（0，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，那么m的值为 ．
16、［2021益阳·中考］已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中a＝ ．
17、［2022吉林·模拟］在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
18、［2022南京·雅礼教育集团模拟］已知顶点为M（1，）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当m≤x1≤m+3，x2≥5时，均有y1＞y2，求m的取值范围；
（3）若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
19、［2022绵阳·中考］如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
20、［2022益阳·中考］如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
21、［2022迎江区·二中二模］小明在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+3时，列出了下面的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2，C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），连接AB，求tan∠ABC；
（3）在第（2）问条件下，点P为抛物线C2在第二象限内任意一点（不与点A重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接DQ．求证：AB∥DQ；
（4）若直线y＝x+b与抛物线C1，C2共有两个公共点．请直接写出b的取值范围．
22、［2020雅安·中考］已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
23、［2022沂水县·二模］抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q（x0，y0）是抛物线上的点．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；
（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．
24、［2022安徽·T12教育二模］已知抛物线y＝αx2+bx+b2﹣b（α≠0）．
（1）若b＝2α，求抛物线的对称轴；
（2）若α＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．
①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；
②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．
