22.2 二次函数与一元二次方程
— 过关训练 —
一、选择题
1、对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点
B．当x＞﹣1时y随x的增大而增大
C．开口向下
D．与y轴交点坐标为（0，3）
2、已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
3、在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
4、已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点在第三象限，则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5、如图，一条抛物线与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）（点A位于点B的左侧），顶点C在折线E﹣F﹣G上移动，点E，F，G的坐标分别为（1，4），（﹣3，4），（﹣3，1）．若x1的最小值为﹣4，则x2的取值范围是（ ）
A．﹣≤x2≤2 B．﹣2≤x2≤2 C．﹣2≤x2≤3 D．﹣3≤x2≤2
6、已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≥ B．a＞ C．0＜a＜ D．0＜a≤
7、已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（ ）
A．（3，9） B．（3，﹣9） C．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9）
8、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝2，有下列结论：①c＜0；②4a+b＝0；③4a+c＞2b；④若y＞0，则﹣1＜x＜5；⑤关于x的方程ax2+bx+c+1＝0有两个不等的实数根；⑥若M（3，y1）与N（4，y2）是此抛物线上两点，则y1＞y2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9、已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），且当x＝﹣2时，y＞0，则下列判断正确的是（ ）
A．b＞0，b2﹣4ac≥0 B．b＞0，b2﹣ac≥0
C．b＜0，b2﹣4ac≤0 D．b＜0，b2﹣4ac≥0
10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11、如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ．
12、已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
13、在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝ ．
14、关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 ．
15、已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（﹣4，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为 ．
16、抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2．
（1）a＝ ；
（2）若抛物线y＝ax2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ．
17、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论：
①对称轴为直线x＝﹣2；
②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2；
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间；
④0＜a＜1；
其中结论正确结论是 （填写序号）．
18、小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
19、二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c实常数，且a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．其中正确的结论是 ．
20、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题
21、二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+t＝0（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围 ．
22、已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
23、如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
24、已知抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M．
（1）若点M的坐标是（﹣2，﹣4），求抛物线的解析式．
（2）求证：不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方．
（3）若抛物线y＝x2+2kx+k﹣2关于直线y＝﹣k对称后得到新的抛物线的顶点为M′，若M′落在x轴上，请直接写出k的值．
25、已知抛物线y＝x2+2ax+3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝1，求k的值．
26、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ；
（2）画函数图象；
（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是 ．
27、已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
28、若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；
（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
29、在初中阶段的函数学习中，我们经历的“确定函数的表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数图象解决问题“的学习过程．九年级数学共同体的同学根据学习函数的经验．通过列表、描点、连线的方法研究了函数y＝﹣3的相关性质和应用．以下是研究的部分过程，请你按要求完成下列问题．
（1）列表：下表列出x、y的部分对应值：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ ﹣1 3 b ﹣ ﹣ ﹣ …
根据表格中的数据计算出：a＝ ，b＝ ；
（2）根据上表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中已经描出部分点的位置，请继续通过描点、连线的方法．画出该函数图象，并写出该函数的一条性质： ；
（2）已知函数y＝x+的图象如图所示，结合你画的图象．直接写出方程 ＝x+的解．（保留1位小数，误差不超过0.2）
30、若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2＝S1．
（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．22.2 二次函数与一元二次方程
— 过关训练 —
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一、选择题
1、对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点
B．当x＞﹣1时y随x的增大而增大
C．开口向下
D．与y轴交点坐标为（0，3）
［思路分析］将解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标及最值情况，据此求解可得．
［答案详解］解：令y＝x2﹣2x+3＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3＜0，
所以与x轴没有交点，故A错误，不符合题意；
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴由a＝1＞0知抛物线开口向上，顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，函数有最小值为2，无最大值，
∴B、C选项错误，不符合题意；
令x＝0，解得y＝0﹣0+3＝3，
所以函数图象与y轴交点为（0，3），
故D正确，符合题意；
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，能够将二次函数的一般式转化为顶点式是解答本题的关键，难度不大．
2、已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
［思路分析］】利用待定系数法求得c值，令y＝0，解一元二次方程即可求得结论．
［答案详解］解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故选：C．
［经验总结］本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y＝0，通过解一元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
3、在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
［思路分析］先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．
［答案详解］解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，
∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；
综上可知，M＝N或M＝N+1．
故选：C．
另一解法：∵a≠b，
∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，
∴M＝2，
又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，
而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，
∴N≤2，
∴N≤M，
∴不可能有M＝N﹣1，
故排除A、B、D，
故选：C．
［经验总结］本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．
4、已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点在第三象限，则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
［思路分析］根据抛物线y＝x2+bx+c的顶点在第三象限，可以判断出b2﹣4ac的正负，从而可以得到一元二次方程x2+bx+c＝0中△的正负，从而可以判断一元二次方程x2+bx+c＝0的根的情况．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点在第三象限，
∴﹣，，
∴b＞0，4c﹣b2＜0，
∴在一元二次方程x2+bx+c＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4×1×c＝b2﹣4c＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确二次函数与一元二次方程之间的关系．
5、如图，一条抛物线与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）（点A位于点B的左侧），顶点C在折线E﹣F﹣G上移动，点E，F，G的坐标分别为（1，4），（﹣3，4），（﹣3，1）．若x1的最小值为﹣4，则x2的取值范围是（ ）
A．﹣≤x2≤2 B．﹣2≤x2≤2 C．﹣2≤x2≤3 D．﹣3≤x2≤2
［思路分析］抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变．首先，当抛物线顶点平移到F点时，由已知x1的最小值为﹣4，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；当抛物线顶点平移到E点时，当顶点C位于F点时，当顶C位于G点时，分别求得抛物线与x轴的交点坐标，即可求解．
［答案详解］解：当抛物线顶点平移到F点时，由已知x1的最小值为﹣4，
根据顶点式，此时该抛物线的解析式为：y＝a （x+3）2+4，
把（﹣4，0）代入得：0＝a（﹣4+3）2+4，
解得：a＝﹣4，
则当抛物线顶点平移到E点时，抛物线的解析式为：y＝﹣4 （x﹣1）2+4，
令y＝0，即﹣4（x﹣1）2+4＝0，
解得：x＝0或x＝2，
则此时抛物线与x轴的交点为（0，0）或（2，0）；
当顶点C位于F点时，抛物线的解析式为：y＝﹣4 （x+3）2+4，
令y＝0，同理求得此时抛物线与x轴的交点为（﹣4，0）或（﹣2，0）；
当顶点C位于G点时，抛物线的解析式为：y＝﹣4 （x+3）2+1．
令y＝0，同理求得此时抛物线与x轴的交点为（﹣，0）或（﹣，0），
∵点A位于点B的左侧，
∴点B的坐标分别为（2，0）、（﹣2，0）． （﹣，0），
即﹣≤x2≤2，
故选：A．
［经验总结］考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是坐标．注意抛物线顶点所处的F、E、G两个关键位置．
6、已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≥ B．a＞ C．0＜a＜ D．0＜a≤
［思路分析］把A、B两点坐标代入二次函数解析式，用a表示b、c，进而把抛物线的解析式用a表示，设抛物线的顶点为点P，AB的中点为点C，求得抛物线的对称轴与顶点坐标，根据抛物线与以AB为直径的圆在x轴下方的抛物线有交点得a＞0，且CP≥求得a的取值范围便可．
［答案详解］解：把A（﹣2，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，
设抛物线的顶点为点P，
∴抛物线的顶点P（1，﹣9a），对称轴为x＝1，
设C为AB的中点，则C（1，0），
∴CP＝|﹣9a|＝9a
∵以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，
∴a＞0，CP≥即9a≥3，
∴a≥．
故选：A．
［经验总结］本题主要考查了二次函数的图象与性质，点与圆的位置关系的应用，关键是根据点与圆的位置关系列出不等式．
7、已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（ ）
A．（3，9） B．（3，﹣9） C．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9）
［思路分析］根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．
［答案详解］解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，﹣＝3，
∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，
解得：c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，
∴顶点P的坐标为（3，﹣9），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），
故选：A．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．
8、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝2，有下列结论：①c＜0；②4a+b＝0；③4a+c＞2b；④若y＞0，则﹣1＜x＜5；⑤关于x的方程ax2+bx+c+1＝0有两个不等的实数根；⑥若M（3，y1）与N（4，y2）是此抛物线上两点，则y1＞y2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
［思路分析］根据对称轴为直线x＝2可判断②正确；将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中可判断①；根据a＜0，抛物线图象经过点（﹣1，0），可知x＝﹣2，y＜0可判断③；根据图象可直接判断④和⑤；根据增减性可判断⑥．
［答案详解］解：根据题意对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
即4a+b＝0，
故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，
∵a＜0，
∴c＞0，
故①错误；
当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，
故③错误；
由对称得：抛物线与x轴交点为（﹣1，0），（5，0），
∴y＞0，则﹣1＜x＜5，
故④正确；
当y＝﹣1时，关于x的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不等的实数根，
∴关于x的方程ax2+bx+c+1＝0有两个不等的实数根；
故⑤正确；
∵a＜0，4﹣2＞3﹣2，
∴y1＞y2．
故⑥正确．
综上，正确的结论是②④⑤⑥．
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，增减性，对称轴，抛物线与x轴的交点，应数形结合、充分掌握二次函数各系数a、b、c的意义以及对图象的影响和对一元二次方程根个数的关系．
9、已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），且当x＝﹣2时，y＞0，则下列判断正确的是（ ）
A．b＞0，b2﹣4ac≥0 B．b＞0，b2﹣ac≥0
C．b＜0，b2﹣4ac≤0 D．b＜0，b2﹣4ac≥0
［思路分析］根据二次函数的定义通过经过的定点进行计算，得到一个关系式，再将另一个点的横坐标代入，得到另一个方程，最后求解．
［答案详解］解：因为y＝ax2+bx+c经过点（2，0），则0＝4a+2b+c，
∴4a+c＝﹣2b．
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，
把4a+c＝﹣2b代入，
得到y＝﹣4b．
∵y＞0，
∴﹣4b＞0．
即b＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），
∴抛物线与x轴至少有一个交点．
∴b2﹣4ac≥0．
故选：D．
［经验总结］本题考查的是二次函数经过定点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］①由开口向上得到a＞0，由对称轴在y轴左侧得到b＞0，由函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，进而得到abc的正负情况；
②由函数图象与x轴的交点个数得到b2﹣4ac的正负；
③由对称轴为x＝﹣1得到b＝2a，然后由当x＝﹣1时，y＜0得到c﹣a的正负；
④由对称轴为x＝﹣1和x＝0时，y＝c，得到x＝﹣2时，y＝c，再由﹣n2﹣2≤﹣2，得到当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；
⑤由方程的根得到函数与x轴的交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），进而由方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根为m，n即为函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1的交点横坐标，得到x1与m、x2与n之间的关系．
［答案详解］解：①∵开口向上，对称轴在y轴左侧，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误，不符合题意；
②∵函数图象与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故②正确，符合题意；
③∵对称轴为x＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴b＝2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣b+c＝a﹣2a+c＝c﹣a＜0，
∴c＜a，故③错误，不符合题意；
④∵对称轴为x＝﹣1，且当x＝0时，y＝c，
∴x＝﹣2时，y＝c，当x＜﹣1时，y随x的增大为减小，
∵﹣n2﹣2≤﹣2，得到当x＝﹣n2﹣2时，y≥c，故④正确，符合题意；
⑤∵x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），
∵方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根为m，n，
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1的交点横坐标位m，n，
∵函数图象开口向上，
∴x1＞m，x2＜n，故⑤正确，符合题意，
∴正确的个数有3个，
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与x轴的交点坐标与方程的解之间的关系，解题的关键是熟知函数的图象与系数的关系．
二、填空题
11、如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ．
［思路分析］由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．
［答案详解］解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：
m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，
∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），
当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或﹣5，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝﹣5，
∴OC＝OA＝5，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，
∴∠OAD'＝90°，
∴D'（﹣5，﹣4）；
②如图2，D（﹣6，﹣5），
∵点D（m，m+1），
∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，
∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），
则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，
∵﹣x﹣5＝x+1，
∴x＝﹣3，
∴E（﹣3，﹣2），
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴E是DD'的中点，
∴D'（0，1），
综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．
故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．
12、已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
［思路分析］先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．
［答案详解］解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，
令y＝0，则x2+2x﹣n＝0，
∴x＝﹣1±，
针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，
令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，
∴x＝1±，
∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，
∴AB＝CD，
∵AD＝2BC，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，
∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），
∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，
∴2+2＝2（﹣2+2），
∴n＝8，
故答案为：8．
［经验总结］此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．
13、在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝ ．
［思路分析］由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，即可求解．
［答案详解］解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，
解得k＝1，
故答案为1．
［经验总结］本题考查的是抛物线和x轴的交点，Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点，Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14、关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 ．
［思路分析］①构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可．
②首先证明a＞1，再证明x＝1时，y＜0，可得结论．
③首先证明a＞0，再根据顶点在x轴上或x轴的上方，在点（0，1）的下方，可得不等式组1＞≥0，由此可得结论．
［答案详解］解：由，消去y得到，ax2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝16+4a，a＜0，
∴Δ的值可能大于0，
∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝4﹣4a＞0，
∴a＜1，
∵抛物线经过（0，1），且x＝1时，y＝a﹣1＜0，
∴抛物线与x轴一定有一个交点在（0，0）与（1，0）之间．故②正确，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），
∴2≥﹣＞0且﹣+2≥≥0，
解得，a≥1，故③正确，
故答案为：②③．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建不等式或不等式组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
15、已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（﹣4，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为 ．
［思路分析］根据抛物线与x轴的交点坐标可以直接写出抛物线交点式方程，然后利用二次函数与一元二次方程的关系求得答案．
［答案详解］解：根据题意知，该抛物线解析式是y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x+4），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0＝a（x+2）（x+4）＝0．
∴x+2＝0或x+4＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
故答案是：x1＝﹣2，x2＝﹣4．
［经验总结］本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
16、抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2．
（1）a＝ ；
（2）若抛物线y＝ax2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ．
［思路分析］（1）由抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2，得﹣＝2，即有a＝1；
（2）①抛物线y＝x2﹣4x+5+m的顶点是（2，0），可得0＝4﹣4×2+5+m，解得m＝﹣1，②当x＝﹣1和x＝6时，对应的函数值异号，故或，解得﹣17＜m＜﹣10，当m＝﹣17时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6没有交点，当m＝﹣10时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6有一个交点（5，0），即可得m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2．
∴﹣＝2，
∴a＝1；
故答案为：a＝1；
（2）由（1）知：a＝1，
∴抛物线y＝ax2﹣4x+5+m为y＝x2﹣4x+5+m，
∴由Δ≥0得m≤﹣1，
∵对称轴为直线x＝2，
∴抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6内与x轴只有一个交点，分两种情况：
①抛物线y＝x2﹣4x+5+m的顶点是（2，0），
∴0＝4﹣4×2+5+m，解得m＝﹣1，
②当x＝﹣1和x＝6时，对应的函数值异号，
而当x＝﹣1时，y＝10+m，
x＝6时，y＝17+m，
∴或，
解得﹣17＜m＜﹣10，
当m＝﹣17时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6没有交点，
当m＝﹣10时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6有一个交点（5，0），符合题意，
综上所述，m取值范围是m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10，
故答案为：m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10．
［经验总结］本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是分类讨论，容易忽略m＝﹣10的情况．
17、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论：
①对称轴为直线x＝﹣2；
②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2；
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间；
④0＜a＜1；
其中结论正确结论是 （填写序号）．
［思路分析］①用对称轴x＝﹣解答；
②判断纵坐标大小关系，只需要确定出横坐标与对称轴距离关系，当a＞0时，离对称轴越远纵坐标越大，反之越小；
③两根与对称轴距离关系；
④抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，即知道有两个不等根，即b ﹣4ac＞0，又知经过点（0，3）得知c＝3，又知4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，所以可解得＜a＜1．
［答案详解］解：①∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝﹣2，所以①正确，符合题意；
②∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，只能确定出m﹣2和n﹣2的大小关系，即横坐标的大小关系，而要进一步确定纵坐标y1，y2，的大小关系，是必须知道横坐标与对称轴的关系，而题目中没办法给出在对称轴的同侧还是异侧，若都在对称轴的左侧故②错误，不合题意；
③由①知，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的两交点就是在点（﹣2，0）左右两侧，且关于直线x＝﹣2对称，又知道抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，所以一个根在﹣2和﹣3之间，另一个根在﹣2和﹣1之间，所以③正确，符合题意；
④，
解得＜a＜1，故④错误，不合题意．
故答案是：①③．
［经验总结］本题考查二次函数性质的运用，难点在于④，要根据题意，列出所有不等式，方可解得a的范围．读懂题意是有两个不等实根．
18、小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
［思路分析］由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．
［答案详解］解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
19、二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c实常数，且a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．其中正确的结论是 ．
［思路分析］根据待定系数法得到二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，根据题意代入x＝时，得到a﹣a+2＜0，解不等式求得a＜﹣，进一步求得b＞0，c＞0，即可判断①；由表格数据可知m＝2a+2，n＝42a+2，即可得出m+n＝4a+4，由a＜﹣，即可得出m+n＜﹣，即可判断②；根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，即可判断③；由y1＞y2，根据图象上点的坐标特征求得t即可判断④．
［答案详解］解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴a﹣a+2＜0，
∴a＜﹣，
∴b＞，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜﹣，
∴m+n＜﹣，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x＝，
又∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x＝﹣时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确；
∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞，故④不正确，
故答案为：②③．
［经验总结］本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．
20、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的序号是 ．
［思路分析］①当x＝0时，c＝1，由点（﹣1，﹣1）得a＝b﹣2，由x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1可得b＞4，进而得出abc＞0；
②将a＝b﹣2，c＝1代入方程，根据根的判别式即可判断；
③将a＝b﹣2，c＝1代入a+b+c，求解后即可判断．
［答案详解］解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），
∴c＝1，a﹣b+c＝﹣1，
∴a＝b﹣2，
∵当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．
∴4a﹣2b+1＞1，
∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，解得：b＞4，
∴a＝b﹣2＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵a＝b﹣2，c＝1，
∴（b﹣2）x2+bx+1﹣3＝0，即∴（b﹣2）x2+bx﹣2＝0，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣2）×（b﹣2）＝b2+8b﹣16＝b（b+8）﹣16，
∵b＞4，
∴Δ＞0，
∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根，故②正确；
③∵a＝b﹣2，c＝1，
∴a+b+c＝b﹣2+b+1＝2b﹣1，
∵b＞4，
∴2b﹣1＞7，
∴a+b+c＞7．
故③正确；
故答案为：①②③．
［经验总结］本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
三、解答题
21、二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+t＝0（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围 ．
［思路分析］（1）根据对称轴公式求解即可；
（2）把关于x的一元二次方程x+2x+1＝0（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围内有实数根转化为抛物线y＝x2+2x+t（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围与x轴有交点，画图判断即可．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝﹣1，
∴．
∴b＝2，
故二次函数解析式为y＝x2+2x．
（2）已知b＝2，关于x的一元二次方程x2+bx+t＝0变形为x2+2x+t＝0，
把关于x的一元二次方程x2+2x+t＝0（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围内有实数根转化为抛物线y＝x2+2x+t（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围与x轴有交点，
∴Δ＝22﹣4t≥0；且x＝﹣4时，y＞0，且x＝3时，y＞0．
即
解得﹣8＜t≤1．
故t的取值范围﹣8＜t≤1．
［经验总结］本题考查二次函数的图像和性质，理解一元二次方程和二次函数之间的关系是解题的关键．
22、已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
［思路分析］（1）当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小，可得对称轴为直线x＝﹣4，且抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），列出方程组即可得答案；
（2）由r是抛物线y＝﹣2x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标，可得r2+8r+1＝0，r2+1＝﹣8r，两边平方得（r2+1）2＝（﹣8r）2，r4+2r2+1＝64r2，即可得结果r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正确，可用比差法证明，由（2）可得r4﹣62r2+1＝0，即r7﹣62r5+r3＝0，而m﹣1＝﹣1＝，再由r2+8r+1＝0，判断r＜0，r9+60r5﹣1＜0，故＞0，从而m＞1．
［答案详解］（1）解：∵y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小，即对称轴为直线x＝﹣4，
∴，解得；
（2）证明：由题意，抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣16x﹣2，
∵r是抛物线y＝﹣2x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标，
∴2r2+16r+2＝0，
∴r2+8r+1＝0，
∴r2+1＝﹣8r
∴（r2+1）2＝（﹣8r）2，
∴r4+2r2+1＝64r2，
∴r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正确，理由如下：
由（2）知：r4﹣2r2+1＝60r2；
∴r4﹣62r2+1＝0，
∴r7﹣62r5+r3＝0，
而m﹣1＝﹣1
＝
＝
＝，
由（2）知：r2+8r+1＝0，
∴8r＝﹣r2﹣1，
∵﹣r2﹣1＜0，
∴8r＜0，即r＜0，
∴r9+60r5﹣1＜0，
∴＞0，
即m﹣1＞0，
∴m＞1．
［经验总结］本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数图象上的点坐标、对称轴、增减性、与x轴交点坐标等知识，解题的关键是用比差法时，判断r和r9+60r5﹣1的符号．
23、如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可；将所求得的抛物线解析式转化为两点式，易得点A、B的坐标；
（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．
［答案详解］解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．
解得a＝﹣．
则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．
由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．
故A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）存在，理由如下：
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴＝．
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．
∴CD＝2﹣1＝1．
∴＝EG．
设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．
将B（4，0），C（0，2）代入，得．
解得．
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2．
设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．
∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．
∴＝﹣（t﹣2）2+2．
∵＜0，
∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．
［经验总结］本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强，难度不是很大．
24、已知抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M．
（1）若点M的坐标是（﹣2，﹣4），求抛物线的解析式．
（2）求证：不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方．
（3）若抛物线y＝x2+2kx+k﹣2关于直线y＝﹣k对称后得到新的抛物线的顶点为M′，若M′落在x轴上，请直接写出k的值．
［思路分析］（1）利用顶点式写出抛物线解析式；
（2）设顶点M的纵坐标为m，利用顶点的坐标公式得到m＝，再进行配方得到m＝﹣（k﹣）2﹣＜0，从而可判断抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方；
（3）先利用配方法得到M（﹣k，﹣k2+k﹣2），再根据直线y＝﹣k垂直平分MM′得到﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，然后解方程即可．
［答案详解］（1）解：∵抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M的坐标为（﹣2，﹣4），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣4；
（2）证明：设顶点M的纵坐标为m，
∵m＝＝﹣k2+k﹣2＝﹣（k﹣）2﹣＜0，
∴不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方；
（3）∵y＝x2+2kx+k﹣2＝（x+k）2﹣k2+k﹣2，
∴M（﹣k，﹣k2+k﹣2），
∵M点关于直线y＝﹣k的对称点M′落在x轴上，
而M点在x轴下方，
即直线y＝﹣k垂直平分MM′，
∴﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，
整理得k2﹣3k+2＝0，
解得k1＝1，k2＝2，
即k的值为1或2．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数的解析式．
25、已知抛物线y＝x2+2ax+3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝1，求k的值．
［思路分析］（1）把C点坐标代入y＝x2+2ax+3a中求出a得到抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y有最小值﹣4，由于当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，所以n＝﹣4，则m＝5，计算y＝5所对应的自变量的值，从而得到k的值．
［答案详解］解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝x2+2ax+3a得3a＝﹣3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，如图，
当x＝1时，y有最小值﹣4，
∵当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，
∴n＝﹣4，
而m+n＝1，
∴m＝5，
当y＝5时，（x﹣1）2﹣4＝5，解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴k＝4．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
26、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ；
（2）画函数图象；
（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是 ．
［思路分析］（1）先把一般式配成顶点式，则根据二次函数的性质可判断抛物线的开口方向，顶点坐标；然后解方程x2﹣4x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标，计算自变量为0所对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；
（2）利用描点法画出二次函数的图象；
（3）结合函数图象和二次函数的性质求解．
［答案详解］解：（1）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；
故答案为：向上；（2，﹣1）；（1，0），（3，0）；（0，3）；
（2）如图，
（3）当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝3，
所以当1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜3．
故答案为：﹣1≤y＜3．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质与图象．
27、已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
［思路分析］（1）利用待定系数法解得即可；
（2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用待定系数法求得直线DD′的解析式，过点M作MN∥x轴，交DD′于N，利用S△DD′M＝S△MND′+S△MND，用m的代数式表示出S△DD′M，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论．
［答案详解］解：（1）∵抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得：．
∴抛物线W1的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，
∴D′（﹣1，4），
∴抛物线W2的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．
如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC＝＝6，
过点M作MN∥x轴，交DD′于N，
∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），
∴直线DD′为y＝﹣4x，
设点M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（，﹣m2﹣2m+3），
∴MN＝﹣m＝，
∴S△DD′M＝××（4+4）＝m2﹣2m﹣3，
∵△D'DM的面积等于△ABC的面积，
∴m2﹣2m﹣3＝6．
解得：m＝1±．
当m＝1+时，﹣m2﹣2m+3＝﹣4﹣10，
当m＝1﹣时，﹣m2﹣2m+3＝4﹣10，
∴M（1+，﹣4﹣10）或（1﹣，4﹣10）．
［经验总结］本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
28、若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；
（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
［思路分析］（1）利用二次函数的性质得到抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），再根据新定义，把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p值可得到p的值；
（2）利用配方法得到抛物线y＝﹣x2+4x+7的顶点坐标为（2，11），再利用待定系数法确定一次函数解析式为y＝3x+5，接着利用解析式求出一次函数图形与坐标轴的交点坐标，然后计算直线y＝kx+t与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）先解方程x2+2x+n＝0得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，则﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，解方程得到n＝﹣3，再利用配方法得到抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），然后把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3中可求出m的值．
［答案详解］解：（1）抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），
把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p得﹣2×0+p＝﹣4，
解得p＝﹣4；
（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，
∴抛物线的顶点坐标为（2，11），
把（2，11），（﹣1，2）分别代入y＝kx+t得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝3x+5，
当x＝0时，y＝5，直线y＝3x+5与y轴的交点坐标为（0，5），
当y＝0时，3x+5＝0，解得x＝﹣，直线y＝3x+5与x轴的交点坐标为（﹣，0），
∴直线y＝3x+5与两坐标轴围成的三角形的面积＝×5×＝；
（3）当y＝0时，x2+2x+n＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∵﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，
∴n＝﹣3，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3得m﹣3＝﹣4，
解得m＝﹣1，
∴m、n的值分别为﹣1，﹣3．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
29、在初中阶段的函数学习中，我们经历的“确定函数的表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数图象解决问题“的学习过程．九年级数学共同体的同学根据学习函数的经验．通过列表、描点、连线的方法研究了函数y＝﹣3的相关性质和应用．以下是研究的部分过程，请你按要求完成下列问题．
（1）列表：下表列出x、y的部分对应值：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ ﹣1 3 b ﹣ ﹣ ﹣ …
根据表格中的数据计算出：a＝ ，b＝ ；
（2）根据上表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中已经描出部分点的位置，请继续通过描点、连线的方法．画出该函数图象，并写出该函数的一条性质： ；
（2）已知函数y＝x+的图象如图所示，结合你画的图象．直接写出方程 ＝x+的解．（保留1位小数，误差不超过0.2）
［思路分析］（1）根据待定系数法即可求得；
（2）描点，连线即可得到函数图象，性质可以观察增减性、最值等得到；
（3）画出图象，y2＞y1是指y2的图象在y1图象上方的部分，找出对应横坐标满足的条件即是的解集．
［答案详解］解：（1）x＝0，y＝﹣1代入y＝﹣3得：﹣1＝﹣3，
∴a＝1，
∴函数为y＝﹣3，
把（2，b）代入得，b＝﹣3＝﹣1，
故答案为：1，﹣1；
（2）描点、连线，画出函数图象如图：
观察图象，当x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为当x＞1时，y随x的增大而减小；
（3）观察图象，方程 ＝x+的解为x＝﹣3.4或x＝0.8或x＝1.2．
［经验总结］本题考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．
30、若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2＝S1．
（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
［思路分析］（1）根据题意借助图象即可得到结论；
（2）由点A（0，2）及△CAN是等腰直角三角形，可知C（﹣2，0），N（2，0），由A、C两点坐标可求直线l；
（3）由S2＝S1，可知B点纵坐标为5，代入直线AB解析式可求B点横坐标，将A、B、N三点坐标代入y＝ax2+bx+c中，可求抛物线解析式．
［答案详解］解：（1）如图，如二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．
∴y＝ax2+bx+2，
令y＝0，则ax2+bx+2＝0，
∵0＜x1＜x2，
∴＞0，
∴a＞0，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上；
（2）①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，
因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A），所以不合题意，舍去；
②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；
③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，
∴C（﹣2，0），N（2，0），
设直线l为y＝kx+b，将A（0，2）C（﹣2，0）代入得，
解得，
∴直线l相应的函数表达式为y＝x+2；
（3）过B点作BH⊥x轴于H，
S1＝，S2＝，
∵S2＝S1，
∴BH＝OA，
∵OA＝2，
∴BH＝5，
即B点的纵坐标为5，代入y＝x+2中，得x＝3，
∴B（3，5），
将A、B、N三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x+2．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件判断抛物线开口方向及大致位置，根据特殊三角形求直线解析式，根据面积法求B点坐标，运用待定系数法求抛物线解析式．
