等式性质与不等式性质练习答案
比较大小
1、设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有( A )
A．P≥Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≤Q
2、已知a＞0，b＞0，M＝＋，N＝，则( A )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．不能确定
3、设a>b>1，y1＝，y2＝，y3＝，则y1，y2，y3的大小关系是( A )
A．y1
C．y34、若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( B )
A．A≤B B．A≥B C．AB D．A>B
5、已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( C )
A．p＞q B．p≥q C．p＜q D．p≤q
6、设a＞b＞0，x＝－，y＝－，则x，y的大小关系为( B )
A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．x，y的大小关系不定
7、若x∈R，y∈R，则( A )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
8、某投资机构从事一项投资，先投入本金a(a>0)元，得到的利润是b(b>0)元，收益率为(%)，假设在第一次投资的基础上，此机构每次都定期追加投资x(x>0)元，得到的利润也增加了x元，若该项投资的总收益率是增加的，则( C )
A．a≥b B．a≤b C．a>b D．a9、已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)___<_____(a＋2)·(a－4)(填“>”“<”或“＝”).
10、已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____＜____.(填“＞”“”或“＝”)
11、如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是___c－2b_____．
12、比较下列各式的大小：
(1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小；
(2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，
而3x2＋1＞0，所以(3x2＋1)(x－1)≤0，
所以3x3≤3x2－x＋1.
(2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．
13、已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)·，
因为x<1，所以x－1<0，
又因为＋>0，
所以(x－1)<0，
所以x3－1<2x2－2x.
14、已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，所以当a＞b时，x－y＞0，此时x＞y；
当a＝b时，x－y＝0，此时x＝y；
当a＜b时，x－y＜0，此时x＜y.
15、已知a，b，c为三角形的三边长，求证：3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2＜4(ab＋bc＋ca)．
证明：∵(a＋b＋c)2－3(ab＋bc＋ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0(当且仅当a＝b＝c时取等号)，
∴3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2.
∵4(ab＋bc＋ca)－(a＋b＋c)2＝4ab＋4bc＋4ca－a2－b2－c2－2ab－2bc－2ac＝2ab＋2bc＋2ac－a2－b2－c2＝a(b＋c－a)＋b(a＋c－b)＋c(a＋b－c)＞0，
∴(a＋b＋c)2＜4(ab＋bc＋ca)．
综上所述，3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2＜4(ab＋bc＋ca)．
不等式的性质
1、如果a＜0，b＞0，那么下列选项正确的是( A )
A.＜ B．＜
C．a2＜b2 D．|a|＞|b|
2、已知a，b，c满足a＜b＜c，且ac＜0，则下列选项中不恒成立的是( D )
A.＜ B.＞0
C.＜0 D.＞
3、对于任意实数a，b，c，d，下列命题中的假命题是( C )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若bc－ad≥0，bd>0，则≤
C.若a
D．若a>b，>，则a>0，b<0
4、设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是( D )
A.＜ B．＞
C．a2＞2b D．a＞b2
5、已知－1＜a＜0，b＜0，则b，ab，a2b的大小关系是( D )
A．b＜ab＜a2b B．a2b＜ab＜b
C．a2b＜b＜ab D．b＜a2b＜ab
6、下列命题中，正确的是( D )
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＜b
C．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D．若＜，则a＜b
7、设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( C )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8、若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则( D )
A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0
C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0
9、已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( D )
A．ad＞bc B．ac＞bd
C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d
10、下列命题中为真命题的是( D )
A．0＞a＞b a2＞b2 B．a2＞b2 a＞b＞0
C.a＞b ＜1 D．a＞b a3＞b3
11、若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是(A )
A．a＋＞b＋ B．＞
C．a－＞b－ D．＞
12、已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( B )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞ D．若a2＞b2，则－a＜－b
13、已知－1A．bC．a2b14、已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( C )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
15、设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( C )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
16、如果a＜0，b＞0，那么下列选项正确的是( A )
A.＜ B．＜
C．a2＜b2 D．|a|＞|b|
17、若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是( D )
A．ac＞bc B．(a－b)c2＞0
C．a2＜b2 D．3c－2a＜3c－2b
18、设a＜b＜0，则下列不等式中不正确的是( B )
A.＞ B．ac＜bc
C．|a|＞－b D.＞
19、下列命题中，正确的是( D )
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ac＞bc，则a＜b
C．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
D．若＜，则a＜b
20、给出下列命题：①a＞b a2＞b2；②a2＞b2 a＞b；③a＞b ＜1；④a＞b ＜.其中正确的命题个数是( A )
A．0 B．1 C．2 D．3
21、若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是( D )
A．ac＞bc B．(a－b)c2＞0
C．a2＜b2 D．3c－2a＜3c－2b
22、已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( C )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
23、(多选)已知a，b，c∈R，那么下列命题中不正确的是( ABD )
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞ D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
24、(多选)对于实数a，b，c，下列结论正确的是( ABC )
A．若a＞b>0，则> B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0 D．若a＜b＜0，则＞
25、若x＞1＞y，则下列不等式一定成立的有( BCD )
A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1
C．x－y＞1－y D．1－x＞y－x
26、(多选)若<<0，则下列结论中正确的是( ABC )
A．a2|a＋b|
27、给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.能推得<成立的是_____①②④___(填序号)．
28、已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成___3_____个正确命题．
29、给定下列命题：
①a>b a2>b2；②a2>b2 a>b；③a>b <1；
④a>b，c>d ac>bd；⑤a>b，c>d a－c>b－d.
其中错误的命题是____①②③④⑤____(填写相应序号).
30、若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，
所以＋1≤＋1，所以≤.
31、已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证：＋>.
证明：∵在△ABC中，a＋b－c>0，
∴<＝.
又∵>，>，
∴＋>＋＝>.
32、设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且<，求证：<<(其中b>a>0，d>c>0)．
证明：∵<，且b>a>0，d>c>0，
∴ad0，
－＝＝<0，即<，
－＝＝>0，
即<.∴<<.
33、已知c>a>b>0，求证：>.
证明：因为a>b>0 －a<－b c－a因为c>a，所以c－a>0.所以0上式两边同乘，得>>0.
又因为a>b>0，所以>.
34、若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，两边同除以bd得，≤.
三、不等式的应用
1、已知实数m，n满足－4≤m≤－1，－1≤n≤5，则8n－5m的取值范围是( A )
A．－3≤8n－5m≤60 B．－21≤8n－5m≤78
C．12≤8n－5m≤45 D．3≤8n－5m≤45
2、已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则M＝9x－y的取值范围是( B )
A．－7≤M≤26 B．－1≤M≤20
C．4≤M≤15 D．1≤M≤15
3、若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( A )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
4、若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为___－1≤a－b≤6_____
5、若－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围．
解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，
则解得
因为－＜(a＋b)＜，－2＜－(a－b)＜－1，
所以－＜(a＋b)－(a－b)＜，
即－＜2a＋3b＜
6、已知－6＜a＜8，2＜b＜3，求的取值范围．
解：∵2＜b＜3，∴＜＜.
①当0≤a＜8时，0≤＜4；
②当－6＜a＜0时，－3＜＜0.
由①②得－3＜＜4，即的取值范围是－3＜＜4.
7、若实数m，n满足求3m＋4n的取值范围．
解：令3m＋4n＝x(2m＋3n)＋y(m－n)＝(2x＋y)m＋(3x－y)n，
则解得因此3m＋4n＝(2m＋3n)＋(m－n)．
由－1≤2m＋3n≤2得－≤(2m＋3n)≤.
由－3＜m－n≤1得－＜(m－n)≤，
所以－－＜3m＋4n≤＋，即－2＜3m＋4n≤3.
8、已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
解：设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，则4a－2b＝(m＋n)a＋(－m＋n)b，
所以解得
所以4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)．
因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6.
又2≤a＋b≤4，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.
即5≤4a－2b≤10.等式性质与不等式性质练习
比较大小
1、设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有( )
A．P≥Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≤Q
2、已知a＞0，b＞0，M＝＋，N＝，则( )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．不能确定
3、设a>b>1，y1＝，y2＝，y3＝，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1C．y34、若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B C．AB D．A>B
5、已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )
A．p＞q B．p≥q C．p＜q D．p≤q
6、设a＞b＞0，x＝－，y＝－，则x，y的大小关系为( )
A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．x，y的大小关系不定
7、若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
8、某投资机构从事一项投资，先投入本金a(a>0)元，得到的利润是b(b>0)元，收益率为(%)，假设在第一次投资的基础上，此机构每次都定期追加投资x(x>0)元，得到的利润也增加了x元，若该项投资的总收益率是增加的，则( )
A．a≥b B．a≤b C．a>b D．a9、已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)·(a－4)(填“>”“<”或“＝”).
10、已知a，b，x均为正数，且a＞b，则________.(填“＞”“”或“＝”)
11、如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．
12、比较下列各式的大小：
(1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小；
(2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
13、已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
14、已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
15、已知a，b，c为三角形的三边长，求证：3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2＜4(ab＋bc＋ca)．
不等式的性质
1、如果a＜0，b＞0，那么下列选项正确的是( )
A.＜ B．＜
C．a2＜b2 D．|a|＞|b|
2、已知a，b，c满足a＜b＜c，且ac＜0，则下列选项中不恒成立的是( )
A.＜ B.＞0
C.＜0 D.＞
3、对于任意实数a，b，c，d，下列命题中的假命题是( )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若bc－ad≥0，bd>0，则≤
C.若a
D．若a>b，>，则a>0，b<0
4、设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )
A.＜ B．＞
C．a2＞2b D．a＞b2
5、已知－1＜a＜0，b＜0，则b，ab，a2b的大小关系是( )
A．b＜ab＜a2b B．a2b＜ab＜b
C．a2b＜b＜ab D．b＜a2b＜ab
6、下列命题中，正确的是( )
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＜b
C．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D．若＜，则a＜b
7、设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8、若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则( )
A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0
C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0
9、已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．ad＞bc B．ac＞bd
C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d
10、下列命题中为真命题的是( )
A．0＞a＞b a2＞b2 B．a2＞b2 a＞b＞0
C.a＞b ＜1 D．a＞b a3＞b3
11、若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋＞b＋ B．＞
C．a－＞b－ D．＞
12、已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞ D．若a2＞b2，则－a＜－b
13、已知－1A．bC．a2b14、已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
15、设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
16、如果a＜0，b＞0，那么下列选项正确的是( )
A.＜ B．＜
C．a2＜b2 D．|a|＞|b|
17、若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是( )
A．ac＞bc B．(a－b)c2＞0
C．a2＜b2 D．3c－2a＜3c－2b
18、设a＜b＜0，则下列不等式中不正确的是( )
A.＞ B．ac＜bc
C．|a|＞－b D.＞
19、下列命题中，正确的是( )
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ac＞bc，则a＜b
C．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
D．若＜，则a＜b
20、给出下列命题：①a＞b a2＞b2；②a2＞b2 a＞b；③a＞b ＜1；④a＞b ＜.其中正确的命题个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
21、若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是( )
A．ac＞bc B．(a－b)c2＞0
C．a2＜b2 D．3c－2a＜3c－2b
22、已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
23、(多选)已知a，b，c∈R，那么下列命题中不正确的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞ D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
24、(多选)对于实数a，b，c，下列结论正确的是( )
A．若a＞b>0，则> B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0 D．若a＜b＜0，则＞
25、若x＞1＞y，则下列不等式一定成立的有( )
A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1
C．x－y＞1－y D．1－x＞y－x
26、(多选)若<<0，则下列结论中正确的是( )
A．a2|a＋b|
27、给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.能推得<成立的是________(填序号)．
28、已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
29、给定下列命题：
①a>b a2>b2；②a2>b2 a>b；③a>b <1；
④a>b，c>d ac>bd；⑤a>b，c>d a－c>b－d.
其中错误的命题是________(填写相应序号).
若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
31、已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证：＋>.
32、设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且<，求证：<<(其中b>a>0，d>c>0)．
33、已知c>a>b>0，求证：>.
34、若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
三、不等式的应用
1、已知实数m，n满足－4≤m≤－1，－1≤n≤5，则8n－5m的取值范围是( )
A．－3≤8n－5m≤60 B．－21≤8n－5m≤78
C．12≤8n－5m≤45 D．3≤8n－5m≤45
2、已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则M＝9x－y的取值范围是( )
A．－7≤M≤26 B．－1≤M≤20
C．4≤M≤15 D．1≤M≤15
3、若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
4、若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________
5、若－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围．
6、已知－6＜a＜8，2＜b＜3，求的取值范围．
7、若实数m，n满足求3m＋4n的取值范围．
8、已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．