3.2.3 特殊平行四边形

课 题
第三章 第2节 特殊平行四边形 第3课时
课型
新授课
授课时间
2012年10月19日 星期五 第2节课
教 学 目 标
1．能进一步理解掌握矩形、菱形、正方形的性质定理、判定定理．
2．探索中点四边形的规律.
3. 进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用
4．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力，进一步体会证体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．
5．通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性，体会数学与生活的联系．
教学重点与难点
教学重点：矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用.
教学难点：中点四边形规律的探索．
教法及学法指导
自主学习 合作探究
课前准备
教师制作课件
教学过程
一、温故知新，引入新课
师: 如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，那么DE 与BC有什么关系？
生：DE=，DE∥BC．
师：如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样的四边形?
学生利用中位线的知识解释.

找三名同学分别叙述证明过程.
师：如果四边形ABCD是特殊的四边形呢?
学生发表不同见解
设计意图：：通过学生对问题的观察猜想最后进行证明,让学生有一个严谨的学习态度,也为此节课中研究各种四边形的中点四边形问题提供一个理论依据，作好准备． 同时激发学生的学习兴趣，培养学生“观察、发现、猜想、证明”问题的数学思想和能力．
二、合作探究，获取新知
师：要探索四边形ABCD是特殊的四边形的时候其中点四边形是什么形状我们可以从我们学习过的特殊四边形入手，小组之间选择一个你们最熟悉的四边形进行探索．
学生分组讨论，交流，教师巡视指点．
学生一般会选择矩形、菱形、正方形、等腰梯形；个别同学会选择平行四边形或者直角梯形．
学生分组展示
小组1：依次连接正方形各边的中点(如图)，能得到—个小正方形．

证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA．
又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点.
∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．
∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．
∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．
∵∠A＝∠B＝90°， AA1＝AD1，A1B=BB1，
∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．
∴∠D1A1B1＝90°．
∴四边形A1B1C1D1是正方形．
师: 很好，这个题同学们是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．
其他组同学：也可以连接AC、BD利用中位线证明.
因为A1、B1是边AB、DC的中点，所以，若连结对角线AC，则A1B1是△ABC的中位线，同理可知C1D1是△ADC的中位线，同样，连结对角线BD，也可知A1D1是△ABD的中位线，B1C1是△BDC的中位线，这样由中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，是相等的，然后再证，有一个角是90°，这样也可以证明：四边形A1B1C1D1是正方形．
师：证明四边形A1B1C1D1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用中位线的性质定理和正方形的性质来证明．大家要灵活应用这些方法.
小组2：依次连接菱形各边的中点(如图) ，能得到—个矩形．
已知在菱形ABCD中，点A1、B1、C1、D1分别是菱形四条边的中点，
求证：四边形A1B1C1D1是矩形．
证明：连结AC、BD．
∵点A1、B1、C1、D1分别是菱形ABCD的各边的中点，
∴A1B1AC，C1D1 AC．
∴A1B1C1D1．
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD．
∴∠A1B1C1＝90°．
∴四边形A1B1C1D1是矩形．
小组3：依次连接各边矩形的中点．(如图)能得到—个菱形．

如图，点A1、B1、C1、D1分别是矩形ABCD各边的中点，所以连结AC、BD．则A1B1AC，C1D1AC，A1D11BD，B1C1BD．
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC＝BD．
∴A1B1＝B1C1．
∴平行四边形A1B1C1D1是菱形．
其他组学生也提出不同的证明方法，予以鼓励
小组4：依次连接各边等腰梯形的中点(如图)，能得到—个菱形．

学生分析：连结AC、BD．则A1B1AC，C1D1AC，A1D11BD，B1C1BD．
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD．
∴A1B1＝B1C1.
∴平行四边形A1B1C1D1是菱形．
设计意图：这样设计小组互助探究学习活动，是为了更有利于学生主体性的发挥．在探究活动中强调合作，促进了学生在思维品质、人格特征以及解题方法等方面的优势互补，使学生兴趣盎然地投人探究新知的学习活动．
思考：为什么矩形和等腰梯形的中点四边形的形状是相同的？
引导学生通过中位线的角度去寻找原因.
生：因为任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，等腰梯形和矩形的对角线相等，可以推出这个四边形的邻边相等，所以是菱形.
师：如果一个四边形的对角线相等，它的中点四边形是菱形吗？
生：是.
学生叙述
师：如果一个四边形的中点四边形是矩形，对角线应满足什么关系？
生：和菱形一样，只要对角线垂直就行了.
师：如果一个四边形的中点四边形是正方形呢？
生：、只要对角线垂直且相等就行了.
结论：1、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形.
2、对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形.
3、对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形.
设计意图：培养学生的逆向思维与发散思维能力，提高学生研究数学的兴趣和创新意识，同时培养学生“从一般到特殊再到一般”的研究问题的方法和概括能力．.
三、学以致用，解决问题
[师]同学们总结得很好，接下来我们来做一做在下图中，ABCDXA表示一条环形高速公路，X表示一座水库，B、C表示两个大市镇．已知ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三角形，假设政府要铺没两条输水管XB和XC，从水库向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角(即∠BXC)是多少度?
[生]可以利用等边三角形的性质及正方形的性质去解决．
解：∵△XAD是等边三角形，
∴∠AXD＝∠XAD＝∠XDA＝60°，XA=AD=XD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC．
∴∠XAB=∠XDC＝150°，XA=AB，XD＝CD．
∴∠AXB＝15°，∠CXD＝15°．
∴∠BXC=60°-∠AXB-∠CXD＝30°．
[师]很好，同学们通过推理证明、计算解决了实际问题，由此我们进一步了解了数学与生活的联系．
设计意图：帮助学生独立运应变化的思想，发展思维的全面性，使学生在变化中探索新知，进步体验探索创新的快乐.
四、随堂练习，巩固深化
下面我们通过练习来进一步巩固本节所学的内容．课本P104，随堂练习1．
1．已知D、E、F分别是△ABC中AB、BC、CA边的中点，四边形DECF是菱形．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：如图，
∵D、E、F分别是△ABC中AB、BC、CA边的中点，
∴DF=BC，DE=AC．
∵四边形DECF是菱形，
∴DE＝DF．
∴AC=BC．
∴△ABC是等腰三角形．
设计意图：检查学生本节课的学习情况，突出学生的主体地位.
五、盘点收获，反思提升
1. 通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？
2. 本节课的学习值得思考的还有是什么？
六、课堂检测，当堂达标
1．下列判定正确的是（ ）
A、对角线互相垂直的四边形是菱形
B、两角相等的四边形是等腰梯形
C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D、两条地对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
2．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A、AB=CD B、AD=BC C、AB=BC D、AC=BD
3．下列四边形中，对角线不可能相等的是（ ）
A、直角梯形 B、正方形 C、等腰梯形 D、长方形
七、布置作业，落实目标
必做题：课本104页 习题3.6 第1，2题.
选做题：自己做一个中点四边形是正方形的四边形．
板书设计：
3．2．3 特殊平行四边形(3)
1．依次连结任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．
依次连结正方形各边的中点，能得到一个怎样的图形呢?
2．议一议：
所得的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关
3. 做一做：
教学反思：
本节课的设计较为合理，安排比较紧凑．由问题“为什么说任意四边形的中点四边形都是平行四边形”的解决引入，再运用新知识来探索“特殊四边形的中点四边形的特殊性”，学生的注意力随着问题的提出和学习的深入而得到不断加强和调节，学生整节课的学习热情比较高．
学生动手实践、自主学习和合作探究的学习方式落实比较到位．课堂上为学生创造自主学习、自主活动、自主发展的条件，让学生积极主动地参与数学教学的全过程，使每个学生都在原有的基础上得到发展，获得成功的体验，树立学好数学的自信心．教学中，我及时对学生的发现给予肯定和表扬，激发他们进一步探索的欲望；小组合作探究的过程中，每小组探索两种情况，要求画出图形，作出判断，给出证明．学生的积极性很高，小组同学在一起画图、思考…最后由小组来汇报探索的结果，老师只需要作出适当的补充和完善，学生的学习积极性在本节课得到了充分的体现．