高中数学人教A版（2019）必修第一册 5.4.3正切函数的性质与图象 学案（含答案）

新教材必修第一册5.4.3正切函数的性质与图象
课标解读：
1.正切函数的性质.（理解）
2.正切函数的图象.（理解）
学法指导：
学习本讲内容时，应类比正弦函数和余弦函数，利用单位圆中正切函数的图象，研究正切函数的性质；通过定量地研究正切函数的性质（定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性），认识到正切函数的图象具有渐近线这一特征，进而准确地整体把握正切函数的图象.
知识导图
知识点1：正切函数的性质与图象
1.正切函数的性质与图象
定义域
图象
周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是
奇偶性 由诱导公式，,可知正切函数是奇函数
单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增
值域 正切函数的值域都是R
特别提醒：
（1）正切函数在定义域上不具备单调性，因此不能说函数在其定义域上是单调递增函数.
（2）正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间上都是单调递增的，并且每个单调区间都是开区间.
（3）正切函数没有最大值和最小值.
（4）正切型函数的最小正周期为.
例1-1：函数的定义域为 .
答案：
例1-2：函数的值域为 .
答案：[-1,1]
例1-3：若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
2.利用奇偶性和周期性画出正切曲线的具体步骤
如下左图所示，设，在平面直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（）.过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A（1,0）作轴的垂线与角的终边交于点T，则
由此可见，当时，线段AT的长度就是相应角的正切值.我们可以利用线段AT画出函数，的图象如上右图所示.
3.三点两线法作正切曲线简图
类比正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点法作正切函数的简图.“三点”是指点；“两线”是指直线和.在三点两线确定的情况下，可以大致画出正切函数在区间上的简图.
例1-4：画出函数的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性.
答案：函数的图象如图所示：
例1-5：作出函数的简图.
答案：函数的简图如下：
重难拓展
知识点2：余切函数的图象及性质
，即将的图象先向右平移个单位长度，再以轴为对称轴上下翻转，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：
图象
定义域
值域 余切函数的值域为实数集R
周期性 余切函数是周期函数，周期是
奇偶性 余切函数是奇函数
单调性 在每个区间上都单调递减
对称性 图象是中心对称图形，其对称中心的坐标是，无对称轴
例2-6：求函数的单调区间.
答案：单调增区间是，无单调递减区间.
例2-7：比较与的大小.
答案：>
题型与方法
题型1：正切函数图象的应用
1.作图象
例8：画出函数在上的简图.
参考答案：
2.图象识别问题
例9：（1）如图中的图形分别是①②③④在内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是
A.①②③④ B.①③②④ C.③②④① D.①②④③
答案：D
（2）函数在一个周期内的图象是（ ）
答案：A
3.解不等式
例10：利用正切函数的图象，求的解集.
答案：
例11：函数的定义域为 .
答案：
4.零点问题
例12：在区间内，函数与函数图象交点的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C
题型2：正切函数单调性的应用
1.求单调区间
例13：函数的单调递减区间为 .
答案：
变式训练1：函数的单调增区间是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
2.比较大小
例14：比较下列各组中两个三角函数值的大小；
（1）与；
（2）与.
答案：（1）< （2）>
3.求最值或值域
例15：函数的值域为 .
答案：
例16：若，求函数的最值及相应的的值.
答案：当.
题型3：周期性与对称性
例17：函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
答案:A
变式训练2：（多选题）函数图象的对称中心可能是（ ）
A. B. C. D.
答案：ABC
题型4：正切函数的综合应用
例19：设函数，已知函数的图象与轴相邻两个交点的距离为，且关于点M对称.
（1）求的解析式；
（2）求的单调区间；
（3）求不等式的解集.
答案:（1）
（2）的单调递增区间为，，无单调递减区间.
（3）解集为
高考链接
考向1：正切函数的性质
例20：在函数①②③④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A.①②③ B.①③④ C. ②④ D.①③
答案：A
例21：已知函数的部分图象如图所示，则= .
答案：
基础巩固：
1.函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
2.与函数的图象不相交的一条直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
3.下列关于函数的说法正确的是（ ）
A.在区间上单调递增 B.最小正周期是
C.图象关于点成中心对称 D.图象关于直线成轴对称
4.若函数的最小值正周期为1，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.在中值最大的是（ ）
A. B. C. D.
6.关于函数的性质，下列叙述不正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.是偶函数
C.单调图象关于直线对称
D.在每一个区间上单调递增
7.函数，的值域为 .
能力提升
8.方程在区间上解的个数是（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
9.已知函数，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
10.，若则（ ）
A.0 B. 3 C. -1 D.-2
11.函数的图象与直线相邻两交点之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
12.函数与的图象相交于M，N两点，O为坐标原点，则△MON的面积为（ ）
A. B. C. D.
13.已知函数在区间上单调递减，则（ ）
A. B. C. D.
14.已知函数，的部分图象如图所示，则 .
15.设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点P，过点P作的垂线，垂直为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为 .
参考答案
1. A
2. D
3. B
4. D
5. B
6. A
7.
8. B
9. D
10. A
11. C
12. D
13. B
14. 2
15.