《中学教材全解》2013-2014学年高二数学（人教A版选修4-5）同步练测：不等式选讲（含答案详解）

不等式选讲（选修4-5人教实验Ａ版）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟
150分
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
2.如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）
A.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
B.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
C.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
D.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
3．设, ，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
4．函数的最小值为（）
A．B． C． D．
5．设，且恒成立，则的最大值是（）
A． B．C． D．
6．不等的两个正数满足，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
7．设，且，若，则必有（）
A．B．
C．D．
8．若，且, ，则与的大小关系是（）
A．B．
C．D．
9．，设，则下列判断中正确的是（）
A．B．
C．D．
10．已知函数f（x）=log2（x+1）且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是（）
A.＞＞
B.＞＞
C.＞＞
D.＞＞
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．若，且，则.
12．函数的值域是.
13．已知，比较与的大小关系为.
14．设、、是三角形的三边长，则的最小值是.
三、解答题（共80分）
15．（12分）已知，
求证：.
16．（12分）解不等式：
.
17．（14分）已知，，，且不全相等，求.
18．（14分）已知，，…，，且.
求证：.
19.（14分）已知：，，n>1，
求证：.
20.（14分）设,
求证：.


不等式选讲答题纸
得分：
一、选择题
1．2．3．4．5．6．
7． 8．9． 10．
二、填空题
11． 12． 13． 14．
三、解答题
15.
16.
17.
18．
19.
20．
不等式选讲参考答案
1.D解析：当≤－2时，原不等式可以化为≥5，
解得≤－3，即不等式组的解集是；
当时，原不等式可以化为≥5，
即3≥5，矛盾，所以不等式组的解集为；
当≥1时，原不等式可以化为≥5，解得≥2，
即不等式组的解集是.
综上所述，原不等式的解集是.
2.A 解析：因为a+b=cd=4，由基本不等式得a+b≥2，故ab≤4.
又cd≤，故c+d≥4，所以ab≤c+d，
当且仅当a=b=c=d=2时，等号成立.故选A.
3．B 解析：，即.
4．A 解析：.
5．C 解析：，
.而恒成立，∴.
6．B 解析：因为，所以.
又，所以，解得.
7．D 解析：.
8．A 解析：，
，即.
9．B 解析：
即.因为，，，
所以，
所以，即.所以
10．B 解析：特殊值法.令a=7，b=3，c=1，满足a＞b＞c＞0，
∴＞＞.
11．解析：
而
即，
而均不小于，
得，
此时，或，或，
得，或，或
12．解析：，∴，
∴.
13．解析：构造单调函数，则，
，即，恒成立，
所以，即.
14．3解析：由不等式的对称性，不妨设，则，
且，.
∴
.
∴.
15．证法一：，
.
.
证法二：
证法三：
即，
16．解：原不等式可化为
当时，原不等式为
得，即；
当时，原不等式为
得，即；
当时，原不等式为
得，与矛盾.
所以原不等式的解为
17.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.
证明：因为≥，，所以≥. ①
因为≥，，所以≥. ②
因为≥，，所以≥. ③
由于，，不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得.
18．分析：观察要证明的结论，左边是个因式的乘积，右边是2的次方，再结合，发现如果能将左边转化为，，…，的乘积，问题就能得到解决.
证明：因为，所以，即.
同理，，…，.因为，，…，∈，由不等式的性质，
得.
因为时，取等号，所以原式在时取等号.
19. 证明:（1）当时，，不等式成立；
（2）若时，成立，则
=，
即成立.
根据（1）、（2），对于大于1的正整数都成立.
20.证法一：要证原不等式成立，只需证：
即只需证：
由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立.
证法二：由对称性，不妨设：,则，
所以（顺序和）（乱序和），
（顺序和）（乱序和）.
将以上两式相加即得：.