【学案】3.1.1函数的定义域

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三 函数的定义域
【教学目的】
理解函数定义域的定义，掌握求函数定义域的基本方法，能够运用函数定义域解答与函数定义域相关的数学问题。
重点：函数定义域的定义和求函数定义域的基本方法。
难点：已知函数f(x)的定义域，求函数f（g(x)）定义域和已知函数f（g(x)）定义域，求函数f(x)的定义域的基本方法；运用函数定义域解答与函数定义域相关的数学问题。
【知识精讲】
一、函数的定义域的概念：
1、函数定义域的定义：
函数所有自变量构成的集合，称为函数的定义域；
2、函数定义域的类别：
（1）函数的定义域包括：①函数自然定义域；②函数实际定义域；
（2）函数自然定义域是指使函数的解析式有意义的所有自变量组成的集合；
（3）函数实际定义域是指根据实际意义确定的所有自变量组成的集合。
二、函数定义域的求法：
1、求函数定义域的实质问题：
求函数定义域实质上就是求使函数的解析式有意义(或根据实际问题使其有意义)确定的所有自变量组成的集合。
2、求函数定义域问题常见的类型与解答的基本方法：
（1）已知函数的解析式，求函数定义域：这种问题的特征是函数f(x)的解析式是确定的；解答的基本方法是：①由函数解析式所含运算有意义列出不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数的定义域；注意函数解析式有意义的基本准则是：①偶次方根的被开方数为非负实数；②分式的分母不能为零；③零次幂的底数不能为零；④对数的真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1；⑤指数的底数必须大于0且不等于1；⑥实际问题还要考虑实际问题本身有意义；
（2）已知函数f(x)的定义域，求函数f(g(x))的定义域：这种问题的特征是函数f(x)的定义域已知，需要求函数f(g(x))的定义域；解答的基本思路是把函数f(x)的定义域作为中间函数g(x)的值域得到关于自变量x的不等式（或不等式组），再求解不等式（或不等式组）就可求出函数f(g(x))的定义域；解答的基本方法是：①把函数f(x)的定义域作为中间函数g(x)的值域得到关于自变量x的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f(g(x))的定义域；
（3）已知函数f〔g(x)〕的定义域求函数f(x)的定义域：这种问题的特征是，函数f(g(x))的定义域已知，需要求函数f(x)的定义域；解答的基本思路是由函数f(g(x))的定义域求出中间函数g(x)的值域，再把中间函数g(x)视为整体未知数x，从而中间函数g(x)的值域就是自变量x的取值范围，即函数f(x)的定义域；解答的基本方法是：①由函数f(g(x))的定义域求出中间函数g(x)的值域；②把中间函数g(x)视为整体未知数x；③根据中间函数g(x)的值域得到自变量x的取值范围；④求出函数f(x)的定义域；
（4）实际问题定义域的求法：这种问题的特征是函数的解析式需要根据实际问题的条件求出，根据求出的解析式并结合实际问题本身的特点确定函数的定义域；解答的基本方法是：
①根据实际问题的条件求出符合题意的解析式；②由函数解析式求出函数的自然定义域；③结合实际问题求出函数的实际定义域；④得出函数f(x)的定义域；⑤函数定义域问题的引伸：这种问题的特征是函数的解析式是确定的，函数的定义域已知，需要求函数解析式中参数的取值范围；解答的基本方法是：①由函数的解析式和函数的定义域结合相关知识确定问题必须满足的条件；②根据问题必须满足的条件得到关于参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）；④求出函数实际应用问题的定义域。
（5）运用函数定义域，解答与函数定义域相关问题：根据函数的定义域是指自变量的所有取值组成的集合，它包括：①函数自然定义域（使函数解析式有意义的所有自变量组成的集合）和函数实际定义域（是指自然定义域中使实际问题有意义的自变量组成的集合）两种类型。与函数定义域相关的问题归结起来分为两种题型：①求函数的定义域；②已知函数的定义域求解析式中参数的值（或取值范围）。各种问题在结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在具体解答函数定义域问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，准确，快捷的解答问题呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题：
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、函数f(x)= +的定义域为（ ）
A （-3,0］ B （-3,1］ C （-,-3）（-3,0］ D （-,-3）（-3,1］
2、若函数f(x)= ，则f(x)的定义域为（ ）
A （- ,0） B （- ,0］ C （- ，+,） D （0，+）
3、函数f(x)= 的定义域为 ；
4、一个矩形的周长是40cm，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为 ，定义域为 ；
5、求下列函数的定义域：
（1）y=； （2）y=2x-1+； （3）y=-1；
（4）y=；（5）；（6）y= (a＞0且a≠1)；
（7）y=； （8）y=；
（9）y=； （10）y=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是已知函数的解析式，求函数定义域的问题，解答这类问题的基本方法是：①根据函数解析式有意义的条件（注意应该包括解析式有意义的所有条件）列出不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f(x)的定义域。
（2）函数的定义域包括：①函数自然定义域；②函数实际定义域。
（3）函数解析式有意义的基本准则是：①偶次方根的被开方数为非负数；②分式的分母不能为0；③零次幂的底数不能为0；④对数的真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1；⑤指数的底数必须大于0且不等于1；⑥实际问题还要考虑实际问题本身有意义。
〔练习1〕解答下列问题：
1、函数f(x)=（+2x-3）的定义域是（ ）（2015全国高考重庆卷）
A 〔-3，1〕 B (-3，1) C（-∞，-3〕∪〔1，+∞） D （-∞，-3）∪（1，+∞）
2、函数f(x)= + 的定义域为（ ）（2013全国高考山东卷）
A （-3,0］ B （-3,1］ C（-∞，-3〕∪（-3,0］ D （-∞，-3）∪（-3,1］
3、设函数f(x)=ln ，则函数g(x)= f()+ f()的定义域是 ；
4、求下列函数的定义域：
①f(x)= ②f(x)= ③f(x)=
④f(x)= ⑤y=； ⑥y=；
⑦y=； ⑧y=(a＞0且a≠1).
【典例2】解答下列问题：
1、若函数y=f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)= 的定义域是（ ）
A ［0,1］ B ［0,1） C ［0,1）（1,4］ D （0,1）
2、设函数f(x)的定义域为（0,1〕，求下列函数的定义域：
（1）y=f(3x)； （2）y=f()；
（3）y=f(x+) +f(x-)； （4）y=f(x+a)+f(x-a)。
3、已知函数f(x)的定义域为［0,2］，求函数f(+1)的定义域；
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知函数f(x)的定义域求函数f〔g(x)〕的定义域的问题，解决这类问题的基本思路是将函数f(x)的定义域作为函数g(x)的值域；
（2）已知函数f(x)的定义域，求函数f〔g(x)〕的定义域的基本方法是：①将函数f(x)的定义域视为函数g(x)的值域得到不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f〔g(x)〕的定义域。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)的定义域是（0,2〕，求下列函数的定义域：
①y=f() ②y=f(2x+3)
③y=f(x+)+f(x-) ④y=f()
2、已知函数f(x)的定义域为［0,1］，求函数f(-1)的定义域；
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(2x+1)的定义域为[-1，5]，求函数f(x)的定义域；
2、已知f()的定义域是〔-1,1〕，求f(x)的定义域；
3、已知函数f(2x-1)的定义域是〔0,1〕,求函数f(1-3x)的定义域；
4、已知函数y=f（）的定义域是〔，4〕，求函数f(x)的定义域；
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知函数f〔g(x)〕的定义域求函数f(x)的定义域的问题，解决这类问题的基本思路是根据函数f〔g(x)〕的定义域求出函数g(x)的值域；
（2）已知函数f〔g(x)〕的定义域，求函数f(x)的定义域的基本方法是：①根据函数f〔g(x)〕的定义域求出函数g(x)的值域；②将函数g(x)视为整体未知数；③求出函数f(x)的定义域。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x+3)的定义域是〔-4,5〕,求函数f(x)的定义域；
2、已知函数f（2x-3）的定义域是〔-5,1〕，求函数f(x)的定义域；
3、已知函数f()的定义域是〔-1,1〕，求函数f(x)的定义域；
4、已知函数y=f（）的定义域是〔1,2〕，求函数f(x)的定义域；
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围；
2、若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值范围是 ；
3、已知函数y=lg［(-1)+(a+1)x+1］的定义域为R，求实数a的取值范围。
『思考问题4』
（1）求实际问题或几何问题涉及的函数的定义域时，既要考虑函数的解析式有意义又要考虑实际问题或几何问题有意义；
（2）【典例4】是已知函数的定义域，求函数解析式中参数的取值范围的问题，解决这类问题的基本方法是：①根据函数的解析式和定义域得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出参数的值（或取值范围）。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围；
2、若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值范围是 。
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、函数f(x)= 的定义域为 ；
2、记函数f(x)= 的定义域为D，在区间［-4,5］上随机取一个数x，则x D的概率是 ；
3、函数f(x)= 的定义域为 ；
4、如图函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)(x+1)的解集是（ ）
A ｛x|-1＜x0｝ B ｛x|-1＜x1｝C ｛x|-1x1｝D ｛x|-1＜x2｝
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年考试试卷中的问题，归结起来主要包括：①已知函数f(x)的解析式，求函数f(x)的定义域；②运用函数f(x)的定义域，解答与函数f(x)定义域相关的问题；③函数f(x)的定义域与几何概率的综合问题。
（2）求解已知函数f(x)的解析式，求函数f(x)的定义域问题的基本方法是：①根据函数解析式有意义的条件列出不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f(x)的定义域。
（3）求解运用函数f(x)的定义域，解答与函数f(x)定义域相关问题的基本方法是：①根据函数的解析式和定义域得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出参数的值（或取值范围）。
（4）求解函数f(x)的定义域与几何概率综合问题的基本方法是：①根据求函数定义域的基本方法求出函数f(x)的定义域；②运用几何概率的性质和求几何概率的基本方法求出问题中涉及的几何概率。
〔练习5〕解答下列问题：
1、存在函数f(x)满足：对于任意x∈R，都有（ ）（2015全国高考浙江卷）
A f(sin2x)=sinx B f(sin2x)= +x C f(+1)=|x+1| D f(+2x)=|x+1|
2、已知函数f(x)=a-2x的图象过点（-1，4），则a= （2015全国高考新课标II卷）
3、已知函数f(x)=a+x+1的图象在点（1，f(1)）处的切线过点（2，7），则a= （2015全国高考新课标I卷）
4、函数f(x)=（+2x-3）的定义域是（ ）（2015全国高考重庆卷）
A 〔-3，1〕 B (-3，1) C（-∞，-3〕∪〔1，+∞） D （-∞，-3）∪（1，+∞）
5、函数f(x)=+lg的定义域是（ ）（2015全国高考湖北卷）
A （2，3） B (2，4) C（2，3）∪〔3，4） D （-1，3）∪（3，6）
6、设x∈R，定义符号函数sgnx= 1，x＞0，则（ ）（2015全国高考湖北卷）
A［x］=x［sgnx］ 0，x=0， B ［x］=xsgn［x］
C［x］=［x］sgnx -1，x＜0， D ［x］=xsgnx
7、函数f(x)= 的定义域为（ ）（2014全国高考山东卷）
A (0，) B (2，+∞) C （0, ) ∪（2，+∞） D（0，〕∪〔2，+∞）
8、函数f(x)=ln(-x)的定义域为（ ）（2014全国高考江西卷）
A (0，1) B 〔0，1〕 C （-∞,0) ∪（1，+∞） D（-∞，0〕∪〔1，+∞）
函数的定义域（答案解析版）
【教学目的】
理解函数定义域的定义，掌握求函数定义域的基本方法，能够运用函数定义域解答与函数定义域相关的数学问题。
重点：函数定义域的定义和求函数定义域的基本方法。
难点：已知函数f(x)的定义域，求函数f（g(x)）定义域和已知函数f（g(x)）定义域，求函数f(x)的定义域的基本方法；运用函数定义域解答与函数定义域相关的数学问题。
【知识精讲】
一、函数的定义域的概念：
1、函数定义域的定义：
函数所有自变量构成的集合，称为函数的定义域；
2、函数定义域的类别：
（1）函数的定义域包括：①函数自然定义域；②函数实际定义域；
（2）函数自然定义域是指使函数的解析式有意义的所有自变量组成的集合；
（3）函数实际定义域是指根据实际意义确定的所有自变量组成的集合。
二、函数定义域的求法：
1、求函数定义域的实质问题：
求函数定义域实质上就是求使函数的解析式有意义(或根据实际问题使其有意义)确定的所有自变量组成的集合。
2、求函数定义域问题常见的类型与解答的基本方法：
（1）已知函数的解析式，求函数定义域：这种问题的特征是函数f(x)的解析式是确定的；解答的基本方法是：①由函数解析式所含运算有意义列出不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数的定义域；注意函数解析式有意义的基本准则是：①偶次方根的被开方数为非负实数；②分式的分母不能为零；③零次幂的底数不能为零；④对数的真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1；⑤指数的底数必须大于0且不等于1；⑥实际问题还要考虑实际问题本身有意义；
（2）已知函数f(x)的定义域，求函数f(g(x))的定义域：这种问题的特征是函数f(x)的定义域已知，需要求函数f(g(x))的定义域；解答的基本思路是把函数f(x)的定义域作为中间函数g(x)的值域得到关于自变量x的不等式（或不等式组），再求解不等式（或不等式组）就可求出函数f(g(x))的定义域；解答的基本方法是：①把函数f(x)的定义域作为中间函数g(x)的值域得到关于自变量x的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f(g(x))的定义域；
（3）已知函数f〔g(x)〕的定义域求函数f(x)的定义域：这种问题的特征是，函数f(g(x))的定义域已知，需要求函数f(x)的定义域；解答的基本思路是由函数f(g(x))的定义域求出中间函数g(x)的值域，再把中间函数g(x)视为整体未知数x，从而中间函数g(x)的值域就是自变量x的取值范围，即函数f(x)的定义域；解答的基本方法是：①由函数f(g(x))的定义域求出中间函数g(x)的值域；②把中间函数g(x)视为整体未知数x；③根据中间函数g(x)的值域得到自变量x的取值范围；④求出函数f(x)的定义域；
（4）实际问题定义域的求法：这种问题的特征是函数的解析式需要根据实际问题的条件求出，根据求出的解析式并结合实际问题本身的特点确定函数的定义域；解答的基本方法是：
①根据实际问题的条件求出符合题意的解析式；②由函数解析式求出函数的自然定义域；③结合实际问题求出函数的实际定义域；④得出函数f(x)的定义域；⑤函数定义域问题的引伸：这种问题的特征是函数的解析式是确定的，函数的定义域已知，需要求函数解析式中参数的取值范围；解答的基本方法是：①由函数的解析式和函数的定义域结合相关知识确定问题必须满足的条件；②根据问题必须满足的条件得到关于参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）；④求出函数实际应用问题的定义域。
（5）运用函数定义域，解答与函数定义域相关问题：根据函数的定义域是指自变量的所有取值组成的集合，它包括：①函数自然定义域（使函数解析式有意义的所有自变量组成的集合）和函数实际定义域（是指自然定义域中使实际问题有意义的自变量组成的集合）两种类型。与函数定义域相关的问题归结起来分为两种题型：①求函数的定义域；②已知函数的定义域求解析式中参数的值（或取值范围）。各种问题在结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在具体解答函数定义域问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，准确，快捷的解答问题呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题：
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、函数f(x)= +的定义域为（ ）
A （-3,0］ B （-3,1］ C （-,-3）（-3,0］ D （-,-3）（-3,1］
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②分式的定义与性质；③指数函数的定义与性质；④求解不等式或不等式组的基本方法。
【解题思路】根据二次根式和分式有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组就可求出函数的定义域。 x+3>0，
【详细解答】函数f(x)有意义，必有1-0，-32、若函数f(x)= ，则f(x)的定义域为（ ）
A （- ,0） B （- ,0］ C （- ，+,） D （0，+）
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②分式的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④求解不等式或不等式组的基本方法。
【解题思路】根据二次根式，分式和对数有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域。
【详细解答】函数f(x)有意义，必有（2x+1）>0，-2x+1>0，
3、函数f(x)= 的定义域为 ；
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②对数函数的定义与性质；③求解不等式或不等式组的基本方法。
【解题思路】根据二次根式和对数有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域。 x>0，
【详细解答】函数f(x)有意义，必有1-2x0，04、一个矩形的周长是40cm，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为 ，定义域为 ；
【解析】
【知识点】①矩形的定义与性质；②函数解析式的求法；③函数的定义域的求法；④求解不等式或不等式组的基本方法。
【解题思路】根据矩形周长的定义求出函数的解析式，由解析式可知函数的自然定义域为R，
但结合矩形的特征，x的取值必须小于周长的，从而求出函数的实际定义域。
详细解答】根据矩形周长的定义可得，2（x+y）=40，y=20-x；由矩形的性质得到05、求下列函数的定义域：
（1）y=； （2）y=2x-1+； （3）y=-1；
（4）y=；（5）；（6）y= (a＞0且a≠1)；
（7）y=； （8）y=；
（9）y=； （10）y=。
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②分式的定义与性质；③指数函数的定义与性质；
④对数函数的定义与性质；⑤余弦函数的图像与性质；⑥求解不等式或不等式组的基本方法。
【解题思路】（1）根据分式有意义的条件得到关于x的不等式，然后求解不等式，就可得到函数的定义域；（2）根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，然后求解不等式，从而得到函数的定义域；（3）根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（4）根据分式，二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（5）根据二次根式，对数函数，三角函数有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（6）根据二次根式，对数函数有意义的条件结合底数a的取值分两种情况得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（7）根据分式，二次根式有意义的条件结合绝对值的意得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（8）根据分式，对数函数，零指数幂有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（9）根据分式，二次根式，对数函数有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（10）根据分式，对数函数，二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域。
【详细解答】（1）函数f(x)有意义，必有-x+10，由-x+1=+可知在R上恒不为0，函数f(x)的定义域为R；（2）函数f(x)有意义，必有13-4x0，x，函数f(x)的定义域为（-，]；（3）函数f(x)有意义，必有1-x0， x1，
x+30， x-3，
- 3x1，函数f(x)的定义域为[-3，1]；（4）函数f(x)有意义，必有 x+30， ， x+2≠0,
x-3，-3x<-2或-2x≠2, 25-0，-5x5， -5x<-或-（5）函数f(x)有意义，必有cosx>0， 2k-函数f(x)的定义域为[-5，-）（-，）（，5]；（6）函数f(x)有意义，
必有 （x-1）0，①当a>1时， x-11， x2， x2，②当0x-1>0, x-1>0, x>1， 0x-1>0, ①当a>1时，函数f(x)的定义域为[2，+），②当02，函
-10， x-1或x1，数f(x)的定义域为（-，-2）（-2，-1] [1，2）（2，+）；（8）函数f(x)有意义，必有 ln（4x+3）≠0，4x+3≠1，
4x+3>0, x>-，
5x-4≠0, x≠，
-，函数f(x)的定义域为（-，-）（-，）
（，+）；（9）函数f(x) 有意义，必有 |x-2|-10， x-21或x-2-1，
（x-1）≠0， x-1≠1, x3，函数
x-1>0， x>1，f(x)的定义域为[3，
+）；（10）函数f(x) 有意义，必有 --3x+4>0，-4x+1>0， x>-1，的定义域为（-1，1）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是已知函数的解析式求函数定义域的问题，解答这类问题的基本方法是：①根据函数解析式有意义的条件（注意应该包括解析式有意义的所有条件）列出不等式（或不等式组；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f(x)的定义域。
（2）函数的定义域包括：①函数自然定义域；②函数实际定义域。
（3）函数解析式有意义的基本准则是：①偶次方根的被开方数为非负数；②分式的分母不能为0；③零次幂的底数不能为0；④对数的真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1；⑤指数的底数必须大于0且不等于1；⑥实际问题还要考虑实际问题本身有意义。
〔练习1〕解答下列问题：
1、函数f(x)=（+2x-3）的定义域是（ ）（答案：D）
A 〔-3，1〕 B (-3，1) C（-∞，-3〕∪〔1，+∞） D （-∞，-3）∪（1，+∞）
2、函数f(x)= + 的定义域为（ ）（答案：A）
A （-3,0］ B （-3,1］ C（-∞，-3〕∪（-3,0］ D （-∞，-3）∪（-3,1］
3、设函数f(x)=ln ，则函数g(x)= f()+ f()的定义域是 ；（答案：函数g(x)
的定义域为（-2，-1）∪（1，2））
4、求下列函数的定义域：
(1)f(x)= (2)f(x)= (3)f(x)=
(4)f(x)= (5)y=； (6)y=；
(7)y=； (8)y=(a＞0且a≠1).
(答案：（1）（-∞，4）∪（4，+∞）；（2）R；（3）（-∞，1）∪（1，2）∪（2，+∞）；（4）（-∞，1）∪（1，4］；（5）（-∞，0）∪（0，1］；（6）（-∞，1）；（7）（-∞，3）∪（3，4）；（8）①当a＞1时，［0，+∞）；②当0＜a＜1时，（-1，0］）
【典例2】解答下列问题：
1、若函数y=f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)= 的定义域是（ ）
A ［0,1］ B ［0,1） C ［0,1）（1,4］ D （0,1）
【解析】
【知识点】①函数y=f(x)有意义的条件；②分式的定义与性质；③求解不等式或不等式组的基本方法；④复合函数的定义与性质。
【解题思路】根据函数g(x)有意义的条件和函数y=f(x)的定义域，2x为整体未知数得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数g(x)的定义域。
【详细解答】函数g(x)有意义，必有02x2， 0x1，0x<1，函数g(x) x-1≠0， x≠1, 的定义域为[0，1）；B
正确，选B。
2、设函数f(x)的定义域为（0,1〕，求下列函数的定义域：
（1）y=f(3x)； （2）y=f()；
（3）y=f(x+) +f(x-)； （4）y=f(x+a)+f(x-a)。
【解析】
【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③不等式或不等式组的解法。
【解题思路】（1）根据函数f(x)的定义域，把3x视为整体未知数，得到关于x的不等式组，
然后求解不等式组，从而得到函数f(3x)的定义域；（2）根据函数f(x)的定义域，把 视
为整体未知数，得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数f()的定义域；
（3）根据函数f(x)的定义域，把 x+和x-分别视为整体未知数，得到关于x的不等式
组，然后求解不等式组，从而得到函数y=f(x+) +f(x-)的定义域；（4）根据函数f(x)的
定义域，把 x+a和 x-a分别视为整体未知数，得到关于x的不等式组，然后求解不等式组
（注意对参数a进行分类考虑），从而得到函数y=f(x+a)+f(x-a)的定义域。
【详细解答】（1）函数f(x)的定义域为（0,1〕，0<3x1，0的定义域为（0，]；（2）函数f(x)的定义域为（0,1〕，0<1，x1，函数 y=f()
的定义域为[1，+）；（3）函数f(x)的定义域为（0,1〕，0函数y=f(x+) +f(x-)的定义域为（，]；（4）函数f(x)的定义域为（0,1〕，
0< x+a1， -a0时，不等式组的解集为，①当03、已知函数f(x)的定义域为［0,2］，求函数f(+1)的定义域；
【解析】
【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③不等式或不等式组的解法。
【解题思路】根据函数f(x)的定义域，把 +1视为整体未知数，得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数f(+1)的定义域。
【详细解答】函数f(x)的定义域为[0,2]，0+12--11-1x1，
函数f(+1)的定义域为[-1，1]。
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知函数f(x)的定义域求函数f〔g(x)〕的定义域的问题，解决这类问题的基本思路是将函数f(x)的定义域视为函数g(x)的值域；
（2）如果已知函数f(x)的定义域，求函数f〔g(x)〕定义域的基本方法是：①将函数f(x)的定义域视为函数g(x)的值域得到不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f〔g(x)〕的定义域。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)的定义域是（0,2〕，求下列函数的定义域：
（1）y=f() （答案：［ ，1） （2）y=f(2x+3) （答案：（- ，-］
（3）y=f(x+)+f(x-) （答案：（ ，］（4）y=f()（答案：［- ，-1）
2、已知函数f(x)的定义域为［0,1］，求函数f(-1)的定义域；（答案：［- ，-1］∪［1 ，］）
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(2x+1)的定义域为[-1，5]，求函数f(x)的定义域；
【解析】
【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③函数值域的求法。
【解题思路】根据函数f(2x+1)的定义域，求出函数g(x)=2x+1的值域，从而得到函数f(x)的定义域。
【详细解答】函数f(2x+1)的定义域为[-1，5]，设g(x)=2x+1，-1g(x) 11，
函数f(x)的定义域为[-1，11]。
2、已知f()的定义域是〔-1,1〕，求f(x)的定义域；
【解析】
【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③指数函数的定义与性质；④函数值域的求法。
【解题思路】根据函数f()的定义域，求出函数g(x)= 的值域，从而得到函数f(x)的定义域。
【详细解答】函数f()的定义域为[-1，1]，设g(x)= ，g(x) 2，
函数f(x)的定义域为[，2]。
3、已知函数f(2x-1)的定义域是〔0,1〕,求函数f(1-3x)的定义域；
【解析】
【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③函数值域的求法；④不等式或不等式组的解法。
【解题思路】根据函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求出函数g(x)=2x-1的值域，从而得到函数f(x)的定义域，在把 1-3x视为整体未知数，得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数f(1-3x)的定义域。
【详细解答】函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，设g(x)=2x+1，-1g(x) 1，
函数f(x)的定义域为[-1，1] -11-3x1，0x，函数f(1-3x)的定义域为[0，]。
4、已知函数y=f（）的定义域是〔，4〕，求函数f(x)的定义域；
【解析】
【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④函数值域的求法。
【解题思路】根据函数f()的定义域，求出函数g(x)= 的值域，从而得到函数f(x)的定义域。
【详细解答】函数f()的定义域为[，4]，设g(x)= ，-1g(x) 2，
函数f(x)的定义域为[-1，2]。
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知函数f〔g(x)〕的定义域求函数f(x)定义域的问题，解决这类问题的基本思路是根据函数f〔g(x)〕的定义域求出函数g(x)的值域；
（2）已知函数f〔g(x)〕的定义域，求函数f(x)的定义域的基本方法是：①根据函数f〔g(x)〕的定义域求出函数g(x)的值域；②将函数g(x)视为整体未知数；③求出函数f(x)的定义域。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x+3)的定义域是〔-4,5〕,求函数f(x)的定义域；（答案：［-1，8］）
2、已知函数f（2x-3）的定义域是〔-5,1〕，求函数f(x)的定义域；（答案：［-13，-1］）
3、已知函数f()的定义域是〔-1,1〕，求函数f(x)的定义域；（答案：［，2］）
4、已知函数y=f（）的定义域是〔1,2〕，求函数f(x)的定义域；（答案：［0，1］）
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①三次根式的定义与性质；②分式的定义与性质；③一元二次函数的定义，图像与性质；④一元二次方程根的判别式。
【解题思路】根据函数f(x)的定义域为R，得到 a+ax-3≠0在R上恒成立，进一步得到方程a+ax-3=0无实数解，从而可得 =+12a<0，求解这个不等式就可得到实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)的定义域为R，a+ax-3≠0在R上恒成立，方程a+ax-3=0无实数解，=+12a<0，-122、若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③一元二次函数的定义，图像与性质；④一元二次方程根的判别式。
【解题思路】根据函数f(x)的定义域为R，得到 -10在R上恒成立，进一步得到 1在R上恒成立，从而得到 -2ax-a0在R上恒成立，由此得到=4+4a0，求解这个不等式，就可得到实数a的取值范围是。
【详细解答】函数f(x)的定义域为R，-10在R上恒成立，1在R上恒成立，-2ax-a0在R上恒成立，=4+4a0，-1a0，函数f(x)的定义域为R，实数a的取值范围是[-1，0]。
3、已知函数y=lg［(-1)+(a+1)x+1］的定义域为R，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③一元二次函数的定义，图像与性质；④一元二次方程根的判别式；⑤分类讨论的数学思想与方法。
【解题思路】根据函数f(x)的定义域为R，得到 (-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，结合a的不同求证对不等式的影响，对各种情况分别考虑，就可求出实数a的取值范围是。
【详细解答】函数f(x)的定义域为R， (-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，①当a=-1时，(-1)+(a+1)x+1>01>0成立；②当a=1时，(-1)+(a+1)x+1>02x+1>0，x（-，-）时，2x+1<0与题意不符；③当a≠1时，由(-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，-1>0， a>1或a<-1，a>或a<-1，综上所述，当
=-4(-1)< 0， a>或a<-1，函数f(x)的定义域为R时，实数a的取值范围是（-，-1]（，+）。
『思考问题4』
（1）求实际问题或几何问题涉及的函数的定义域时，既要考虑函数的解析式有意义又要考虑实际问题或几何问题有意义；
（2）【典例4】是已知函数的定义域，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题的基本方法是：①根据函数的解析式和定义域得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数解析式中参数的值（或取值范围）。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围；（答案：实数a的取值范围是（-，0）（0，］）
2、若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值范围是 。（答案：实数a的取值范围是［0，3））
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、函数f(x)= 的定义域为 ；
【解析】
【考点】①二次根式定义与性质；②对数函数定义，图像与性质；③求函数定义域基本方法。
【解题思路】根据二次根式，对数的性质得到关于x的不等式组，求解不等式组求出自变量x的求值范围就可得到函数f(x)的定义域。
【详细解答】函数f(x)有意义，必有：x-10， x2，x2，
x>0, x>0,
函数f(x)的定义域为[2，+）。
2、记函数f(x)= 的定义域为D，在区间［-4,5］上随机取一个数x，则x D的概率是 ；
【解析】
【考点】①二次根式的定义与性质；②一元二次函数的定义，图像与性质；③几何概率的定义与求法。
【解题思路】根据函数f(x)有意义的条件得到关于x的不等式，求解不等式求出D ，运用求几何概率的基本方法就可求出在区间［-4,5］上随机取一个数x，则x D的概率。
【详细解答】在区间[-4，5]上随机取一个数，xD的事件为A，函数f(x)有意义，必有6+x-0，-2x3，D=[-2，3]，设P（A）=。
3、函数f(x)= 的定义域为 ；
【解析】
【考点】①二次根式的定义与性质；②分式的定义与性质；③求函数定义域的基本方法。
【解题思路】根据函数f(x)有意义的条件得到关于x的不等式，求解不等式求出自变量x的求值范围，就可得到函数f(x)的定义域。
【详细解答】函数f(x)有意义，必有x-1>0，x>1，函数f(x)的定义域为（1，+）。
4、如图函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)(x+1)的解集是（ ）
A ｛x|-1＜x0｝ B ｛x|-1＜x1｝C ｛x|-1x1｝D ｛x|-1＜x2｝
【解析】
【考点】①函数解析式定义与求法；②对数函数定义，图像与性质；③求解不等式基本方法。
【解题思路】根据图像可得函数f(x)的解析式为f(x)= 2x+2，x<0, 从而得到f(x)
x<0 , x0， -x+2，x0， (x+1)，
2x+2(x+1),或 –x+2(x+1), -1x+1>0， x+1>0，为（-1,1]。
【详细解答】根据图像可得函数f(x)的解析式为f(x)= 2x+2，x<0, f(x)(x+1)
x<0 , x0， -x+2，x0，
2x+2(x+1),或 –x+2(x+1), -1x+1>0， x+1>0，（-1,1]。
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年考试试卷中的问题，归结起来主要包括：①已知函数f(x)的解析式，求函数f(x)的定义域；②运用函数f(x)的定义域，解答与函数f(x)定义域相关的问题；③函数f(x)的定义域与几何概率的综合问题。
（2）求解已知函数f(x)的解析式，求函数f(x)的定义域问题的基本方法是：①根据函数解析式有意义的条件列出不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f(x)的定义域。
（3）求解运用函数f(x)的定义域，解答与函数f(x)定义域相关问题的基本方法是：①根据函数的解析式和定义域得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出参数的值（或取值范围）。
（4）求解函数f(x)的定义域与几何概率综合问题的基本方法是：①根据求函数定义域的基本方法求出函数f(x)的定义域；②运用几何概率的性质和求几何概率的基本方法求出问题中涉及的几何概率。
〔练习5〕解答下列问题：
1、函数f(x)=（+2x-3）的定义域是（ ）（答案：D）
A 〔-3，1〕 B (-3，1) C（-∞，-3〕∪〔1，+∞） D （-∞，-3）∪（1，+∞）
2、函数f(x)=+lg的定义域是（ ）（答案：C）
A （2，3） B (2，4) C（2，3）∪〔3，4） D （-1，3）∪（3，6）
3、设x∈R，定义符号函数sgnx= 1，x＞0，则（ ）（答案：C）
A［x］=x［sgnx］ 0，x=0， B ［x］=xsgn［x］
C［x］=［x］sgnx -1，x＜0， D ［x］=xsgnx
4、函数f(x)= 的定义域为（ ）（答案：C）
A (0，) B (2，+∞) C （0, ) ∪（2，+∞） D（0，〕∪〔2，+∞）
5、函数f(x)=ln(-x)的定义域为（ ）（答案：C）
A (0，1) B 〔0，1〕 C （-∞,0) ∪（1，+∞） D（-∞，0〕∪〔1，+∞）
6、已知函数f(x)=a-2x的图象过点（-1，4），则a= . （答案：a=-2）
7、已知函数f(x)=a+x+1的图象在点（1，f(1)）处的切线过点（2，7），则a= 。（答案：a=1）