(共20张PPT)
第1课时 轴对称
13.1 轴对称
第十三章 轴对称
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1
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B
D
B
C
见习题
见习题
8
B
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A
10
见习题
11
见习题
12
见习题
13
见习题
见习题
14
见习题
1．认识轴对称图形，必须明确两点：
(1)一个图形的对称轴是________，它可能仅有1条，也可能有多条．
(2)判断一个图形是轴对称图形的条件：
①有________轴；
②对称轴两旁的部分折叠后能__________．
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直线
对称
互相重合
2．【教材P60练习T1变式】【2021·鄂州】“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是( )
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B
3．【2021·枣庄】将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是( )
D
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4．判断两个图形成轴对称的条件：一是存在______个图形；二是存在一条直线，且这两个图形沿此直线折叠后能够___________．
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两
完全重合
5．【教材P60练习T2变式】如图，右边图形与左边图形成轴对称的有( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
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B
6．如图，关于虚线成轴对称的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
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C
7．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的____________；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的____________．
垂直平分线
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垂直平分线
8．【教材P59思考拓展】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定成立的是( )
A．AC＝A′C′
B．AB∥B′C′
C．AA′⊥MN
D．BO＝B′O
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B
9．【2020·哈尔滨】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则∠CAB′的度数为( )
A．10° B．20°
C．30° D．40°
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A
10．如图的三组图形分别关于某条直线对称，请你使用无刻度的直尺分别画出它们的对称轴．
返回
解：如图．
11．【教材P65习题T3改编】如图的阴影三角形与哪些三角形分别成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？如果是，它共有几条对称轴？
解：题图中的阴影三角形与三角形2，3，4分别成轴对称．整个图形是轴对称图形．它共有4条对称轴．
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12．【教学运算】如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4 cm，FC＝1 cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°.
(1)求BF的长度；
解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4 cm，
∴BC＝ED＝4 cm.
∵FC＝1 cm，
∴BF＝BC－FC＝4－1＝3(cm)．
(2)求∠CAD的度数；
解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∠BAC＝76°，∴∠EAD＝∠BAC＝76°.
∵∠EAC＝58°，
∴∠CAD＝∠EAD－∠EAC＝76°－58°＝18°.
返回
(3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？并说明理由．
解：直线MN垂直平分线段EC.理由如下：
∵E，C关于直线MN对称，
∴直线MN垂直平分线段EC.
13．如图，已知△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
(1)画出直线EF；
解：如图，连接B′B″，
画线段B′B″的垂直平分线EF，
则直线EF是△A′B′C′和△A″B″C″的对称轴．
(2)若直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹角α的数量关系．
解：如图，连接B′O.
∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，
∴∠BOM＝∠B′OM.
∵△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，
∴∠B′OE＝∠B″OE.
∴∠BOB″＝∠BOM＋∠B′OM＋∠B′OE＋∠B″OE
＝2(∠B′OM＋∠B′OE)＝2∠MOE，即∠BOB″＝2α.
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14．如图，在直线MN上求作一点P，使∠MPA＝∠NPB.(要求：写出作法)
【思路点拨】在直线MN上求作一点P，使∠MPA＝∠NPB，其实质是利用轴对称的性质在直线上找一点P使它到点A，B的距离之和最小．
解：①作点A关于直线MN的对称点A′；
②连接BA′交直线MN于点P，连接AP，
则∠MPA＝∠NPB.
如图所示．
返回(共22张PPT)
第2课时 线段的垂直平分线的性质
13.1 轴对称
第十三章 轴对称
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C
B
见习题
A
B
见习题
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B
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见习题
10
见习题
11
见习题
12
见习题
13
见习题
12
1．理解线段垂直平分线上的点的性质要注意两点：
(1)点一定在线段的______________上；
(2)距离指的是点到线段的两个________的距离．
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垂直平分线
端点
2．【2021·淮安】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
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C
3．【2020·益阳】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为( )
A．25° B．30°
C．35° D．40°
B
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4．【教材P65习题T6变式】【2021·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是________．
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12
【点拨】∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC.
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC
＝AB＋AC＝12.
5．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的______________上．
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垂直平分线
6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确
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A
7．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段( )的垂直平分线上．
A．AB
B．AC
C．BC
D．不确定
B
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8．【2021·河北】如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且OP＝2.8，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是( )
A．0 B．5
C．6 D．7
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【点拨】如图，连接OP1，OP2，P1P2.
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP2＝OP＝2.8.
∵OP1＋OP2>P1P2，∴0
【答案】 B
9．【教材P62练习T2变式】如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在线段AD上，且∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AD垂直平分BC.
【点易错】易因对线段垂直平分线的判定定理理解不透彻而出错．要说明一条直线是已知线段的垂直平分线，需要知道这条直线上的两个点，且这两个点到已知线段两个端点的距离相等，这样才能保证这条直线是已知线段的垂直平分线．而在实际做题时，有时会把一个点在线段的垂直平分线上与一条直线是线段的垂直平分线混为一谈．
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证明：作△BEC的角平分线ED′，则∠BED′＝∠CED′.
又∵∠1＝∠2，ED′＝ED′，∴△EBD′≌△ECD′.
∴EB＝EC. ∴点E在线段BC的垂直平分线上．
又∵∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB.
同理可证AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∴AD垂直平分BC.
10．如图，已知点P为∠MON内一点，点P与点A关于直线ON对称，点P与点B关于直线OM对称．若AB的长为15 cm，求△PCD的周长．
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解：∵点P与点A关于直线ON对称，
点P与点B关于直线OM对称，∴DA＝DP，CP＝CB.
∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝
AD＋DC＋CB＝AB＝15 cm.
11．【教材P62练习T2拓展】已知如图，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP.
证明：连接BC.
∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∴直线AD是线段BC的垂直平分线．
∵点P在直线AD上，∴PB＝PC.
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在△ABP和△ACP中，
∴△ABP≌△ACP(SSS)．
∴∠ABP＝∠ACP.
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE，BC交于点F.求证：
(1)AD＝FC；
证明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF.
∵E为CD的中点，∴DE＝CE.
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)．∴AD＝FC.
(2)AB＝BC＋AD.
证明：由(1)知△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE.
又∵BE⊥AF，∴AB＝FB.
∵CF＝AD，∴FB＝BC＋CF＝BC＋AD.
∴AB＝BC＋AD.
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13．如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G.求证：
(1)BF＝CG；
【思路点拨】构造以BF，CG为对应边的全等三角形；
【点方法】化分为倍法即将要证的含几分之几的式子转化为倍数关系的式子，再运用证倍数关系的方法解决问题.
证明：如图，连接BE，CE.
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG.
∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE.
在Rt△EBF和Rt△ECG中，
∴Rt△EBF≌Rt△ECG(HL)．∴BF＝CG.
(2)AF＝ (AB＋AC)．
【思路点拨】采用“化分为倍法”，将结论转化为证2AF＝AB＋AC即可．
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证明：AB＋AC＝(AF－BF)＋(AG＋CG)＝AF＋AG.
在Rt△AEF和Rt△AEG中，
∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)．∴AF＝AG.
∴2AF＝AB＋AC，即AF＝ (AB＋AC)．(共10张PPT)
第3课时 作线段的垂直平分线
13.1 轴对称
第十三章 轴对称
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5
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7
D
垂直平
分线
见习题
见习题
见习题
见习题
B
1．作线段AB的垂直平分线的方法：
(1)分别以__________为圆心，____________为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
(2)作__________，即CD就是所求作的直线．
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点A和点B
直线CD
大于 AB的长
2．【中考·安顺】已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( )
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D
3．画对称轴就是作对称点所连线段的___________．
垂直平分线
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4．【教材P64练习T1变式】图中的四个图形，对称轴的条数为4的图形有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
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B
5．【中考·天门】请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD，画出四边形ABCD的对称轴m；
(2)如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n.
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【点方法】作轴对称图形的对称轴的两种方法．
一是折叠法，将轴对称图形对折，折痕所在的直线为对称轴；二是先找到轴对称图形的一对对应点，再作连接这对对应点的线段的垂直平分线.
解：(1)如图①，直线m即为所求．
(2)如图②，直线n即为所求．
6．如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等(不写作法，保留作图痕迹)．
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解：如图，点M即为所求．
正多边形的边数 3 4 5 6 7 8
对称轴的条数
7．试找出如图所示的每个正多边形对称轴的条数，并填入表格中．
3 4 5 6 7 8
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根据上表，请就一个正n边形对称轴的条数提出一个猜想：_________________________.
正n边形有n条对称轴(共22张PPT)
第1课时 画轴对称图形
13.2 画轴对称图形
第十三章 轴对称
答案显示
1
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3
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B
135°
B
B
B
D
8
见习题
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见习题
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见习题
11
见习题
12
见习题
13
见习题
见习题
1．下面图形中，把左边的图形通过轴对称变换能得到右边的图形的是( )
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D
2．如图，与正六边形ABCDEF关于直线l成轴对称的图形是六边形A′B′C′D′E′F′，则下列判断错误的是( )
A．AB＝A′B′
B．BC∥B′C′
C．直线l⊥BB′
D．∠A′＝120°
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B
··
3．【2021·资阳】将一张圆形纸片(圆心为点O)沿直径MN对折后，按图①分成六等份折叠得到图②，将图②沿虚线AB剪开，再将△AOB展开得到如图③的一个六角星，若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为________．
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【答案】 135°
【点拨】由题知，∠AOB＝ ×180°＝30°.
由折叠知∠OAB＝ ∠DCE，CD＝CE.
∵∠CDE＝75°，∴∠DCE＝180°－75°－75°＝30°.
∴∠OAB＝ ∠DCE＝ ×30°＝15°.
∴∠OBA＝180°－∠AOB－∠OAB＝135°.
4．由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的________、________完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的____________；连接任意一对对应点的线段被对称轴____________．
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形状
大小
对称点
垂直平分
5．作已知点关于某直线的对称点的第一步是( )
A．过已知点作一条直线与已知直线相交
B．过已知点作一条直线与已知直线垂线
C．过已知点作一条直线与已知直线平行
D．不确定
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B
6．下面是四名同学作△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′，其中正确的是( )
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B
7．【2021·江西】如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形(忽略拼接线)，小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置(摆放时无缝隙不重叠)，还能拼接成不同轴对称图形的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【点拨】观察图形可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．故选B.
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B
8．【教材P68练习T1变式】如图所示的两个轴对称图形分别只画了一半，请画出它们的另一半(直线l为对称轴)．
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解：如图所示．
9．【教材P71习题T1拓展】【2020·吉林】图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点，在给定的网格中，按下列要求画图．
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点；
(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点；
(3)在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
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解：(1)如图①，MN即为所求．(答案不唯一)
(2)如图②，PQ即为所求．(答案不唯一)
(3)如图③，△DEF即为所求．(答案不唯一)
10．如图，正三角形网格中已有两个小三角形被涂黑．
(1)再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个图形构成一个轴对称图形(画出两种即可)；
解：如图①所示．(答案不唯一)
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(2)再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个图形构成一个轴对称图形(画出两种即可)．
解：如图②所示．(答案不唯一)
11．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E.
(1)若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角(虚线也视为角的边)有多少个？
解：图中45°的角有5个．
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(2)你认为图中有全等三角形吗？如果有，请写出图中一对全等三角形，并说明理由；如果没有，也请说明理由．
解：有．△ABE≌△C′DE.理由略．(答案不唯一)
12．【2021·深圳】如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
(1)过直线m作四边形ABCD的对称图形；
解：如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求．
(2)求四边形ABCD的面积．
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13．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE.
(1)在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
【思路点拨】根据轴对称图形的定义画图即可，注意排查同一种图形．
解：如图所示，△AEF即为所求．
(2)请写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
返回(共21张PPT)
第2课时 坐标平面中的轴对称
13.2 画轴对称图形
第十三章 轴对称
答案显示
1
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C
C
(1，－2)
见习题
D
见习题
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见习题
11
见习题
12
见习题
13
见习题
C
1．点(x，y)关于x轴对称的点的坐标的特征是：__________相等，__________互为相反数，其坐标是__________．
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横坐标
纵坐标
(x，－y)
2．【教材P70练习T1变式】【2021·成都】在平面直角坐标系xOy中，点M(－4，2)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(－4，2) B．(4，2)
C．(－4，－2) D．(4，－2)
返回
C
3．【2021·贵港】在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
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4．【2021·荆州】若点P(a＋1，2－2a)关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为( )
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C
5．【2021·宜昌】如图，在平面直角坐标系中，将点A(－1，2)向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是__________．
返回
(1，－2)
6．点(x，y)关于y轴对称的点的坐标的特征是：________互为相反数，纵坐标________，其坐标是__________．
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横坐标
相等
(－x，y)
【点方法】考查关于坐标轴对称的点的坐标特征．解题时可以利用关于坐标轴对称的点的坐标变化规律直接写出对称点的坐标，也可以在直角坐标系中先画出图形，再确定对称点的坐标.
7．【教材P71习题T2变式】【2021·兰州】在平面直角坐标系xOy中，点A(－3，4)关于y轴对称的点B的坐标是( )
A．(3，－4) B．(－3，－4)
C．(－3，4) D．(3，4)
返回
D
8．【2021·泸州】在平面直角坐标系中，将点A(－3，－2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B′的坐标为( )
A．(2，2)
B．(－2，2)
C．(－2，－2)
D．(2，－2)
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C
9．【2021·丽水】四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是(－1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是( )
A．将B向左平移4.5个单位
B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位
D．将C向左平移3.5个单位
C
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10．已知点M(2a－b，5＋a)，N(2b－1，－a＋b)．
(1)若点M，N关于x轴对称，试求a，b的值；
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(2)若点M，N关于y轴对称，试求(b＋2a)99的值．
11．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是(－1，1)，(0，0)和(1，0)．
(1)如图①，添加棋子C，四颗棋子A，O，B，C成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；
解：如图，直线l即为所求．
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(2)如图②，在其他格点位置添加一颗棋子P，使四颗棋子A，O，B，P成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标(写出2个即可)．
解：点P的坐标为(0，－1)或(－1，－1)．
(答案不唯一)
12．【教材P72习题T4变式】【中考·广西】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3)．
(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求．
(2)请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
解：如图，△A2B2C2即为所求．
(3)请写出A1，A2的坐标．
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解：A1(2，3)，A2(－2，－1)．
13．已知点A1，A2，A3，…，An中，A1与A2关于x轴对称，A2与A3关于y轴对称，A3与A4关于x轴对称，A4与A5关于y轴对称……
(1)如果A1在第二象限，那么点A100在第几象限？
【思路点拨】找出循环的规律是每四个点为一个循环，本题便可得解．
解：∵A1在第二象限，∴A2在第三象限，A3在第四象限，A4在第一象限，A5在A1的位置，A6在A2的位置……如此循环，则A100的位置与A4的位置相同，在第一象限．
(2)如果A1在第二象限，那么点A2 022在第几象限？
解：∵A1在第二象限，2 022÷4＝505……2，
∴点A2 022的位置与A2的位置相同，在第三象限．
(3)如果A1在第一象限，那么点A2 023在第几象限？
解：∵A1在第一象限，2 023÷4＝505……3，
∴点A2 023的位置与点A3的位置相同，在第三象限．
返回(共28张PPT)
第1课时 等腰三角形的性质
13.3 等腰三角形
第十三章 轴对称
答案显示
1
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提示：点击 进入习题
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B
A
33°
见习题
D
见习题
8
B
9
见习题
10
见习题
11
67.5°
或72°
12
见习题
13
见习题
34°
14
见习题
1．等腰三角形的两个________相等(简写成“等边对等角”)．注意：“等边对等角”是在__________三角形中．
返回
底角
同一个
2．【2021·赤峰】如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为( )
A．85° B．75°
C．65° D．30°
返回
B
3．【2021·自贡】如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是( )
A．72° B．36°
C．74° D．88°
A
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4．【教材P76例1变式】【2021·滨州】如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为________．
返回
34°
5．【2021·广州】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为________．
返回
【点拨】∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝38°.
∵∠B′D∥AC，∴∠ADB′＝∠A＝38°.
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝ (38°＋180°)＝109°，
∴∠BCD＝180°－∠B－∠CDB＝180°－38°－109°＝33°.
【答案】 33°
6．等腰三角形的顶角________、底边上的______、底边上的______相互重合(简写成“__________”)．
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平分线
中线
高
三线合一
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，有以下结论：
①△ABD≌△ACD；②D为边BC的中点；
③∠B＝∠C；④AD是△ABC的一条角平分线．
其中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
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8．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20° B．35°
C．40° D．70°
返回
B
9．【教材P82习题T6变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE，AF.
求证：AD平分∠EAF.
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC，∠ABD＝∠ACD.
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠ACF.
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF(SAS)．∴∠BAE＝∠CAF.
∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAF＋∠CAD，
即∠EAD＝∠FAD.∴AD平分∠EAF.
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10．【2021·无锡】已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO.求证：
(1)△ABO≌△DCO；
证明：在△ABO和△DCO中，
∴△ABO≌△DCO(AAS)．
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(2)∠OBC＝∠OCB.
证明：由(1)知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC.∴∠OBC＝∠OCB.
11．【2021·鞍山】如图，∠POQ＝90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动(点A，B不与点O重合)，C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA′C，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为________．
【点拨】作AE⊥OA交OC的延长线于点E.
∵AE⊥OA，∴∠OAE＝90°.
又∵∠POQ＝90°，∴∠OAE＝∠POQ.∴AE∥OB.
∴∠OBC＝∠CAE.
∵C为AB的中点，∴BC＝AC.
又∵∠BCO＝∠ACE，∴△BCO≌△ACE.
∴OC＝CE，OB＝EA.
在△BOA和△EAO中，OB＝AE，OA＝AO，∠BOA＝∠EAO＝90°，∴△BOA≌△EAO，∴AB＝OE.
∴OC＝AC＝BC.∴∠COA＝∠BAO，∠OBC＝∠BOC.
又由折叠性质可得∠COA＝∠COA′.
∴∠COA＝∠COA′＝∠BAO.
设∠COA＝∠COA′＝∠BAO＝x，则∠BCO＝2x，∠A′OB＝90°－2x，∠OBD＝90°－x，∠BDO＝∠AOD＋∠BAO＝3x.
返回
①当OB＝OD时，∠OBD＝∠BDO.∴90°－x＝3x.
解得x＝22.5°. ∴∠OBD＝90°－22.5°＝67.5°.
②当BD＝OD时，∠OBD＝∠A′OB.
∴90°－x＝90°－2x，方程无解．∴此情况不存在．
③当OB＝DB时，∠BDO＝∠A′OB. ∴3x＝90°－2x.
解得x＝18°.∴∠OBD＝90°－18°＝72°.
综上，∠OBD的度数为67.5°或72°.
【答案】 67.5°或72°
12．【中考·苏州】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
(1)求证：EF＝BC；
证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠EAF＝∠BAC.
又∵AE＝AB，AF＝AC，
∴△EAF≌△BAC(SAS)．∴EF＝BC.
(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°.
∵∠CAF＝∠BAE，∴∠FAG＝50°.
∵△EAF≌△BAC，∴∠F＝∠ACB＝28°.
∴∠FGC＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78°.
返回
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°.
又∵∠C＝42°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°.
(2)若点E在边AB上，EF∥AC，且EF交AD的延长线于点F，求证：AE＝FE.
证明：如图，过点E作EH⊥AF于点H，
则∠EHA＝∠EHF＝90°.
由(1)知∠BAD＝∠CAD.
∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD，∴∠EAH＝∠F.
又∵∠EHA＝∠EHF，EH＝EH，
∴△EHA≌△EHF.∴AE＝FE.
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14．【2020·绍兴】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
【点方法】对于等腰三角形，只要知道它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果条件中没有确定这个角是顶角还是底角，就要分两种情况讨论．
解：∠DAC的度数不会改变．
理由如下：∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠C.∴∠AED＝2∠C.
∵∠BAE＝90°，BA＝BD，
∴∠BAD＝ (180°－∠B)＝ [180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C.
∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C.
∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°－∠C＋∠C＝45°.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
【思路点拨】 设∠B＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
解：设∠B＝m°.∵BA＝BD，
∴∠BAD＝ (180°－m°)＝90°－ m°.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝n°－90°＋ m°.
∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C.∴∠AEB＝2∠CAE.
∵∠AEB＝180°－n°－m°，
∴∠CAE＝ ∠AEB＝90°－ n°－ m°.
∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝n°－90°＋ m°＋90°
－ n°－ m°＝ n°.
返回(共28张PPT)
第2课时 等腰三角形的判定
13.3 等腰三角形
第十三章 轴对称
答案显示
1
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4
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B
C
①③
见习题
C
相等；
等边
8
C
9
见习题
10
见习题
11
见习题
12
见习题
13
见习题
B
1．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也________(简写成“等角对________”)．
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相等
等边
2．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是( )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是锐角三角形
C．△ABC是等腰三角形
D．∠A和∠B互余
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B
3．【教材P83习题T14变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中等腰三角形共有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．2个
C
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4．【2021·扬州】如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
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【点方法】分情况讨论：
①AB为等腰直角三角形ABC的底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角三角形ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.
【答案】 B
5．如图，在△ABC(不是等腰三角形)中，BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC分别交AB于点D，交AC于点E，那么有下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②∠DFB＝∠EFC；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF＝CF.
其中，正确的是________(填序号)．
①③
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6．在同一个三角形中，由边________可得出它所对的________相等；反过来，由角________也能得出它所对的边________．
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相等
角
相等
相等
7．【教材P79练习T1改编】【2020·南充】如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝( )
A. B.
C．a－b D．b－a
C
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8．【中考·青岛】如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为( )
A．35° B．40°
C．45° D．50°
【点拨】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF.
∴AB＝BE. 根据等腰三角形的性质得到AF＝EF，
由线段垂直平分线的性质得AD＝ED，
∴∠DAF＝∠DEF.∴∠BAD＝∠BED.
∵∠BAD＝180°－35°－50°＝95°，∠BED＝∠CDE＋50°，∴∠CDE＝95°－50°＝45°.
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【答案】 C
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于点P，交AC于点Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论．
解：△APQ是等腰三角形．证明如下：
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵PD⊥BC，∴∠BDP＝∠PDC＝90°.
∴∠P＋∠B＝90°，∠DQC＋∠C＝90°.
∵∠B＝∠C，∴∠P＝∠DQC.
∵∠DQC＝∠AQP，∴∠AQP＝∠P.
∴△APQ为等腰三角形．
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10．【2021·淄博】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E.
(1)求证：BE＝DE；
【点方法】“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等.
证明：∵在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.
∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE.
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(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
解：∵∠A＝80°，∠C＝40°，∴∠ABC＝60°.
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝30°.
由(1)知∠BDE＝∠CBD，∴∠BDE＝30°.
11．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BD为△ABC的一条角平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，过点D作DH⊥BE，垂足为H，连接DE.
(1)求证：H为BE的中点；
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4.
∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2.
∵CE＝CD，∴∠3＝∠E.
∵∠4＝∠3＋∠E，∠ABC＝∠1＋∠2，
∴∠2＝∠E，
∴BD＝ED，即△BDE为等腰三角形．
又∵DH⊥BE，∴H为BE的中点．
(2)探究：当∠A为多少度时，AD＝HC？请加以证明．
解：当∠A＝90°时，AD＝HC.证明如下：
由题知，在△ABD和△HBD中，
∴△ABD≌△HBD(AAS)，∴AD＝DH.
∵AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形．
返回
∴∠4＝45°.
∵∠DHC＝90°，∴△DHC为等腰直角三角形，
∴DH＝HC，∴AD＝HC.
12．如图，点E在△ABC的边AC的延长线上，点D在边AB上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：在BF上找到点C关于点F的对称点G，
连接DG，如图，则GF＝CF.
在△GDF和△CEF中，
返回
∴△GDF≌△CEF(SAS)，
∴GD＝CE，∠DGF＝∠ECF. ∴∠DGB＝∠ACB.
∵BD＝CE，∴BD＝GD.
∴∠B＝∠DGB.∴∠B＝∠ACB.
∴△ABC是等腰三角形．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠ABC交AC于点E.
(1)求证：BC＝BE＋AE；
【思路点拨】要证BC＝BE＋AE，联想到等量代换和截长补短法，可考虑构造等腰三角形来证明．
证明：在BC上截取BD＝BE，连接DE，如图所示．
∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°.
∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.
又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，
∴∠CED＝40°＝∠C.∴DE＝DC.
过点E作EM⊥BA交BA的延长线于点M，EN⊥BC于点N.
∵BE平分∠ABC，EM⊥BA，EN⊥BC，∴EM＝EN.
∵∠BAC＝100°，∴∠EAM＝180°－100°＝80°.
在△EMA和△END中，
∴△EMA≌△END(AAS)．∴EA＝ED.
又∵DE＝DC，∴EA＝DC. ∴BC＝BD＋DC＝BE＋AE.
(2)探究：若∠A＝108°，则BC的长等于哪两条线段长的和呢？试说明理由．
解：BC＝CE＋AB.理由如下：
在CB上截取CP＝CE，连接PE，如图所示．
∵AB＝AC，∠A＝108°，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－108°)÷2＝36°.
∵CP＝CE，∴∠CPE＝(180°－36°)÷2＝72°.
∴∠BPE＝180°－72°＝108°.
返回
∴∠BPE＝∠A.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠PBE.
在△ABE和△PBE中，
∴△ABE≌△PBE(AAS)．∴BA＝BP.
∴BC＝CP＋BP＝CE＋AB.(共27张PPT)
第3课时 等边三角形的性质和判定
13.3 等腰三角形
第十三章 轴对称
答案显示
1
2
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D
A
C
相等；
60°
C
相等；
60°
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A
10
B
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见习题
12
见习题
13
见习题
C
14
见习题
1．等边三角形的三个内角都________，并且每一个角都等于________．
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相等
60°
2．下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是( )
A．三条边相等
B．三个内角相等
C．有三条对称轴
D．是轴对称图形
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D
3．【中考·福建】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
A
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4．【2021·益阳】如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于( )
A．40°
B．30°
C．20°
D．15°
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C
5．【2021·福建】如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于( )
A．108°
B．120°
C．126°
D．132°
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C
6．三个角都________的三角形是等边三角形；有一个角是________的等腰三角形是等边三角形．
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相等
60°
7．如图，等边三角形ABC的边长为2，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC，则△ADE的周长为( )
A．2
B．2.5
C．3
D．4
C
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8．如图，D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是( )
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
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A
9．【中考·内江】如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为( )
A．1.6 B．1.8
C．2 D．2.6
A
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10．【2020·巴中】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为( )
A．9 B．8
C．6 D．7
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B
11．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.
(1)求证：AD＝CE；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠EAC＝∠B＝60°，AC＝BA.
又∵AE＝BD，∴△AEC≌△BDA(SAS)．
∴AD＝CE.
(2)求∠DFC的度数．
解：由(1)知△AEC≌△BDA，
∴∠ACE＝∠BAD.
∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACE＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC
＝60°.
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12．【2020·烟台】如图，在等边三角形ABC中，点E是AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.
【问题解决】
如图①，若点D在BC上，求证：CE＋CF＝CD.
【点方法】证明一个三角形是等边三角形的思路：
1．若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定．
2．若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定．
3．若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
证明：在CD上截取CH＝CE，连接EH，如图①所示．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°.
∴△CEH是等边三角形．∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°.
∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°.
∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°.
∴∠DEH＝∠FEC.
在△DEH和△FEC中，
∴△DEH≌△FEC(SAS)．∴DH＝CF.
∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF，
即CE＋CF＝CD.
【类比探究】
如图②，若点D在BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
解：线段CE，CF与CD之间的数量关系是FC＝CD＋CE.
理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°.
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，
如图②所示．
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝∠DCG＝60°.
∴△GCD为等边三角形．∴DG＝CD＝CG.
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝FD，∠EDF＝∠GDC＝60°.
∴∠EDG＝∠FDC.
返回
在△EGD和△FCD中，
∴△EGD≌△FCD(SAS)．∴EG＝CF.
∵EG＝CG＋CE＝CD＋CE，
∴CF＝CD＋CE.
13．如图，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边作等边三角形EDC，连接AE.
(1)求证：AE∥BC；
证明：∵△ABC和△EDC均为等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠BCD＋∠ACD＝∠ACD＋∠ACE.
∴∠BCD＝∠ACE.
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS)．∴∠B＝∠CAE.
又∵∠B＝∠ACB，
∴∠CAE＝∠ACB.∴AE∥BC.
(2)当点D运动到什么位置时，BC⊥EC 为什么？
解：当点D运动到AB的中点时，BC⊥EC.理由如下：
∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，
∴CD⊥AB.∴∠BDC＝90°.
由(1)知△BCD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠BDC＝90°.∴AE⊥EC.
又∵AE∥BC，∴BC⊥EC.
返回
14．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，并且使AE＝BD，连接CE，DE.求证：EC＝ED.
【思路点拨】先以∠B为内角，BE为边构造等边三角形，再根据等边三角形的性质找判定三角形全等的条件．
【点方法】本题还可以延长BD到F，使BF＝BE，连接EF，或过点E作EF∥AC，交BD的延长线于点F，其终极目的是构造以线段EC，ED为边的全等三角形，再利用全等三角形的性质证明EC与ED相等．
证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，AB＝BC.
如图，以BE为边，∠B为内角作等边三角形BEF.
∴BE＝BF＝EF，∠F＝60°.
∵AE＝BD，∴BE－AE＝BF－BD，
返回
即AB＝DF.∴BC＝DF.
在△ECB和△EDF中，
∴△ECB≌△EDF(SAS)．∴EC＝ED.(共26张PPT)
第4课时 含30°角的直角三角形的性质
13.3 等腰三角形
第十三章 轴对称
答案显示
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5
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2
C
D
C
见习题
斜边的
一半
8
直角
9
A
10
D
11
见习题
12
见习题
13
见习题
C
14
见习题
1．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于______________．
返回
【点易错】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半，而不是另一条直角边是斜边的一半.
斜边的一半
2．【2021·广州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D、E，连接BD.若CD＝1，则AD的长为________．
返回
2
3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC，若BE＝1，则AC的长为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
C
返回
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为( )
A．8 B．4
C．12 D．6
返回
C
5．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.若CD＝2，则DF的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
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D
6．【中考·海南】如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为( )
A．12 B．15 C．18 D．21
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C
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是边AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分边AB，垂足为D，若EC＝3 cm，求AE的长．
解：∵DE垂直平分边AB，∴AE＝BE，∴∠2＝∠A.
∵∠1＝∠2，∴∠A＝∠1＝∠2.
∵∠C＝90°，∴∠A＝∠1＝∠2＝30°.
∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，∴CE＝DE＝3 cm.
在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝2×3＝6(cm)．
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8．实际中有关测量的应用问题，常常要建立直角三角形模型，用________三角形的性质解决．
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直角
9．【教材P81例5变式】如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB＝8 m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为( )
A．4 m B．8 m C．10 m D．16 m
A
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10．【2021·福建】如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( )
A．2 km B．3 km
C．2 km D．4 km
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D
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：DE＝DF；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)．∴DE＝DF.
(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
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解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形．∴∠B＝60°.
∵∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°. ∴BE＝ BD.
∵BE＝1，∴BD＝2.∴BC＝2BD＝4.
∴△ABC的周长为12.
12．如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.求证：BP＝2PQ.
【点方法】在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2倍，一是证明是直角三角形；二是证明较短的直角边所对的锐角等于30°.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，∠C＝∠BAC＝60°.
在△ACD和△BAE中，
∴△ACD≌△BAE(SAS)．
∴∠CAD＝∠ABE.
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∵∠CAD＋∠BAP＝∠BAC＝60°，
∴∠ABE＋∠BAP＝60°.
∴∠BPQ＝60°.
∵BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°.
∴∠PBQ＝90°－∠BPQ＝30°.
∴BP＝2PQ.
13．【2021·兰州市三十五中期中】如图，等边三角形ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；
解：由题意知AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠A＝∠C＝60°.
∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
∵DE⊥BC，∴∠BDE＝90°－60°＝30°.
∴BE＝ BD＝3.∴EC＝8－3＝5.
∵EF⊥AC，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.
(2)当AD取何值时，DE＝EF
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解：当DE＝EF时，易证△BDE≌△CEF，
∴BE＝CF，BD＝CE.
14．【实践创新】如图，轮船从A港出发，以28海里/时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上．
(1)求轮船在B处时与灯塔M的距离；
【思路点拨】用三角形外角的性质和等腰三角形的性质求解；
解：根据题意，得∠CBM＝60°，∠BAM＝30°.
∵∠CBM＝∠BAM＋∠BMA，
∴∠BMA＝30°.
∴∠BMA＝∠BAM.∴AB＝BM.
∵AB＝28×0.5＝14(海里)，∴BM＝14海里．
答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里．
(2)轮船从B处继续沿正北方向航行 ，又经半小时后到达C处．此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？
【思路点拨】用含30°角的直角三角形的性质求解．
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解：∵BC＝28×0.5＝14(海里)，∴BM＝BC.
又∵∠CBM＝60°，∴△BMC是等边三角形．
∴∠BCM＝60°.∴∠AMC＝90°.
∴CM＝BC＝14海里．
答：轮船与灯塔M的距离是14海里，
灯塔M在轮船的南偏东60°方向上．(共13张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题
第十三章 轴对称
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1．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条水沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河岸l的何处开口才能使水沟最短？找出开口处的位置并说明理由.
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【点拨】过点A作l的垂线，垂线段的长度即为水沟的长度．
解：图略．理由：垂线段最短．
2．【教材P85问题1变式】如图，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：
①作点B关于直线l的对称点B′；
②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．
在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
【点方法】利用轴对称设计最短路径时，主要运用转化思想，将直线同侧的两点转化为异侧的两点，利用“两点之间，线段最短”设计，理由是三角形的两边之和大于第三边.
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A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
【点拨】 D
3．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3.
(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN；
解：边AB的垂直平分线MN如图所示．
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(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长．
解：如图，点D为MN与BC的交点．
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD.
∴△ADC的最小周长为AC＋BC＝3＋4＝7.
4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN的周长的最小值是5 cm，求∠AOB的度数．
解：分别作点P关于射线OB，OA所在直线的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN，如图所示．
∵点P关于射线OA所在直线的对称点为D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA.
∵点P关于射线OB所在直线的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB.
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD.
∵△PMN的周长的最小值是5 cm，∴PM＋PN＋MN＝5 cm.
∴DM＋CN＋MN＝5 cm，即CD＝5 cm＝OP.
∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形．
∴∠COD＝60°.∴∠AOB＝30°.
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5．如图，点P为马厩，AB为草地边缘(下方为草地)，CD为一河流，牧马人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩．请帮他确定一条最佳行走路线．
【点方法】解决“一点两线”型最短路径问题的方法分别以两线为对称轴，作已知点的对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为连接两个对称点的线段.
解：作法：①分别作点P关于AB，CD的对称点P′，P″；
②连接P′P″，分别交AB，CD于点M，N；
③分别连接MP，NP.(图略)
则PM＝P′M，PN＝P″N，
∴PM＋MN＋NP＝P′P″，
∴P′P″的长即为最小路程，
∴PM→MN→NP为最佳行走路线．
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6．【教材P93复习题T15变式】如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？
【点方法】解决“两点两线”型最短路径问题的方法：以两线为对称轴，分别作靠近线的点的对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为连接两个对称点的线段．
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解：如图，作A关于射线OM所在直线的对称点E，再作B关于射线ON所在直线的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，BD，则四边形ABDC即为所求．(共39张PPT)
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第十三章 轴对称
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57.5°或56°或50°
1．【2021·天津】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
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A
2．如图所示的各组图形中，成轴对称的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
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C
3．如图，将一张三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是( )
A．AD＝BD
B．AE＝AC
C．ED＋EB＝DB
D．AE＋CB＝AB
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4．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是( )
A．25°
B．20°
C．30°
D．15°
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5．【2020·凉山州】如图，点P，Q分别是等边三角形ABC的边AB，BC上的动点(端点除外)，点P，Q以相同的速度，同时从点A，B出发．
(1)如图①，连接AQ，CP.求证：△ABQ≌△CAP.
【点方法】动态问题是以点、线、面运动为情境，探索和发现其中的规律或结论的题型．由于图形运动，导致题目的条件不断改变，相应的数量关系和结论可能不改变，也可能改变，一般要根据条件进行探索．
若得到不变的值或结论，就求出了不改变的值或得到不变的结论；若不能得到不变的值或结论，就相当于说明了理由．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA.
∵点P，Q同时出发且运动速度相同，
∴AP＝BQ.∴△ABQ≌△CAP(SAS)．
(2)如图①，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
解：∠QMC的大小不变．
∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP.
∵∠QMC是△ACM的一个外角，
∴∠QMC＝∠ACP＋∠MAC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC.
∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°.
(3)如图②，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
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解：∠QMC的大小不变．
易证得△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP.
∵∠QMC是△APM的一个外角，
∴∠QMC＝∠BAQ＋∠APM.
∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°－∠PAC
＝180°－60°＝120°.
6．【2020·成都】如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN交AC于点D，连接BD.若AC＝6，AD＝2，则BD的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
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C
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
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C
8．【2020·台州】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
【点方法】三角形全等和等腰三角形的性质和判定是密不可分的，等腰三角形的性质为三角形全等提供边、角相等的条件，而三角形全等的性质为等腰三角形的判定创造边或角相等.
证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
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(2)判断△BOC的形状，并说明理由．
解：△BOC是等腰三角形．理由如下：
∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE.
∴∠OBC＝∠OCB.
∴BO＝CO.∴△BOC是等腰三角形．
9．下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是此腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
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D
10．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M.
求证：AD垂直平分EF.
证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠FAD＝∠EAD，DE＝DF.
∴点D在线段EF的垂直平分线上．
在△AFD和△AED中，
∴△AFD≌△AED(AAS)．∴AF＝AE.
∴点A在线段EF的垂直平分线上．
∴AD为EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF.
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11．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上(除B，C外)的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC的外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：
(1)∠1＝∠2；
证明：∵△ABC是等边三角形，∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠B＝60°.
又∵∠ADC＝∠2＋∠ADE＝∠1＋∠B，∴∠1＝∠2.
(2)AD＝DE.
证明：如图，在AB上取一点M，使BM＝BD，连接MD，
则∠BMD＝∠BDM.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC.
∴∠BMD＝60°. ∴∠AMD＝120°.
∵CE是∠ACF的平分线，∠ACF＝180°－∠ACB＝120°，
∴∠ECA＝60°.∴∠DCE＝120°.
∴∠AMD＝∠DCE.
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∵BA－BM＝BC－BD，∴MA＝CD.
在△AMD和△DCE中，
∴△AMD≌△DCE(ASA)．∴AD＝DE.
12．【教材P82习题T6改编】如图，已知AD＝AE，BD＝CE.试探究AB和AC的大小关系，并说明理由．
解：AB＝AC.理由如下：
∵AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形．
取线段DE的中点F，连接AF，
则AF既是△ADE的中线又是底边DE上的高，
即AF⊥DE，DF＝EF.
又∵BD＝CE，∴BD＋DF＝CE＋EF，即BF＝CF.
∴AF是线段BC的垂直平分线．∴AB＝AC.
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13．【2021·成都市树德实验中学期末】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，BD＝CD，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC.
(1)求证：∠APO＋∠DCO＝30°；
证明：如图，连接OB.
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴OB＝OC，AB＝AC.
∴∠DCO＝∠DBO，∠BAD＝ ∠BAC＝ ×120°＝60°.
∴∠ABC＝90°－∠BAD＝30°.
∵OP＝OC，∴OB＝OP.∴∠APO＝∠ABO.
∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°.
解：△OPC是等边三角形．
理由：∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∠PBC＝30°，
∴∠APC＋∠DCP＝150°.
∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°.
∴∠POC＝180°－(∠OPC＋∠OCP)＝60°.
又∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形．
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(2)判断△OPC的形状，并说明理由．
14．两个城镇A，B与两条公路l1，l2的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出所有符合条件的点C(不写作法，保留作图痕迹)．
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解：如图，点C1，C2即为所求．
15．如图，A，B两点在直线l的两侧．在l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大，并说明理由．
【点方法】求解“距离和最短”与“距离差最大”的问题时不能用同一方法解决，“距离和最短”依据的是“两边之和大于第三边”，而“距离差最大”依据的是“两边之差小于第三边”.
解：如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，
连接A′B并延长交l于点C，则点C即为所求．
理由：如图，在直线l上任找一点C′(异于点C)，
连接CA，C′A，C′A′，C′B.
∵点A，A′关于直线l对称，
∴l为线段AA′的垂直平分线．
∵点C在l上，∴CA＝CA′.
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∴CA－CB＝CA′－CB＝A′B.
又∵点C′在l上，∴C′A＝C′A′.
在△A′BC′中，C′A′－C′B＜A′B，
∴C′A－C′B＜CA－CB.
即点C到点A，B的距离之差最大．
16．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．
解：∵△ADB和△ACE都是等边三角形，
∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝60°＋
∠BAC＋60°＝120°＋∠BAC，∠DBC＝60°＋∠ABC.
又∵∠DAE＝∠DBC，
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∴120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，
即∠ABC＝60°＋∠BAC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝60°＋∠BAC.
设∠BAC＝x°.∵∠BAC＋2∠ABC＝180°，
∴x＋2(x＋60)＝180，解得x＝20. ∴∠BAC＝20°.
∴∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC＝60°＋20°＝80°.
∴△ABC三个内角的度数分别为20°，80°，80°.
17．在等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，则∠B的度数为________________．
【点方法】本题要求的是等腰三角形的内角，这类问题通常要分类讨论．怎样分类是解题的重点和难点．本题巧妙地采用设未知数的方法，使得三个角都能用含未知数的式子来表示，再根据等腰三角形顶角、底角的情况进行分类讨论.
【点拨】设∠B＝x°.
∵∠A比∠B的2倍少50°，∴∠A＝2x°－50°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠C＝180°－(2x°－50°)－x°＝230°－3x°.
当AB＝AC时，有∠B＝∠C，则x＝230－3x，解得x＝57.5；
当AB＝BC时，有∠A＝∠C，则2x－50＝230－3x，解得x＝56；
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当AC＝BC时，有∠A＝∠B，则2x－50＝x，解得x＝50.
综上所述，∠B为57.5°或56°或50°.
【答案】 57.5°或56°或50°(共21张PPT)
轴对称及其性质应用的六种常见题型
素养集训
第十三章 轴对称
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1．【教材P60练习T2变式】【2020·天津】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
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【点方法】判断轴对称图形的方法：
根据图形的特征，如果能找到一条直线，沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则就不是轴对称图形.
【答案】C
解：(1)B和D，C和E.(答案不唯一)
(2)AC＝AE，AB＝AD，BC＝DE，BF＝DF，CF＝EF.
(3)△AFB和△AFD，△AEF和△ACF.
2．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
(1)指出图中的两对对称点；
(2)指出图中相等的线段；
(3)指出图中其他关于直线MN对称的三角形．
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3．如图所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的．
(1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？
(2)如图②，③所示的图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
(3)请你推断，按此规律进行下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
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解：(1)是轴对称图形，有4条对称轴．
(2)都是轴对称图形，都有2条对称轴．
(3)是轴对称图形，有2条对称轴．
4．如图，点A在直线l上，△ABC与△AB′C′关于直线l对称，连接BB′分别交AC，AC′于点D，D′，连接CC′，则下列结论不一定正确的是( )
A．∠BAC＝∠B′AC′
B．CC′∥BB′
C．BD＝B′D′
D．AD＝DD′
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5．【教材P91复习题T2变式】如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确作出它的一条对称轴(保留作图痕迹)．
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解：答案不唯一，比如连接BD，CE，相交于点F，再过点A，F作直线，如图①所示；或者延长CB，EA，相交于点G，过点D，G作直线，如图②所示．
6．如图，在4×4的正方形网格中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．△ABC是一个格点三角形，请你在图①，图②，图③中分别画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影．
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解：如图所示．(答案不唯一)
解：∵两个四边形关于直线l对称，
∴四边形ABCD≌四边形EFGH.
∴∠C＝∠G＝90°，∠A＝∠E＝80°，a＝5 cm，b＝4 cm.
∴∠H＝360°－∠E－∠F－∠G
＝360°－80°－135°－90°＝55°.
7．如图，两个四边形关于直线l对称，∠C＝90°，试写出线段a，b的长度，并求出∠H的度数．
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8．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6 cm.
(1)求BC的长；
解：由线段垂直平分线的性质知AD＝BD，AE＝CE.
∵△ADE的周长为6 cm，
∴BC＝BD＋DE＋CE＝AD＋DE＋AE＝6 cm.
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16 cm，求OA的长；
解：由线段垂直平分线的性质知OA＝OB，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC.
∵△OBC的周长为16 cm，
∴OB＋OC＋BC＝16 cm.∴OB＝OC＝5 cm.
∴OA＝5 cm.
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(3)若∠BAC＝110°，则∠DAE＝________．
40°
9．将长方形纸片ABCD(如图①)按如下步骤操作：
(1)以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与原BC边交于点E(如图②)；
(2)以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在EC边上，折痕EF交原AD边于点F(如图③)．
【点思路】根据题意，可知第一次折叠后，
题图②中的∠EAD＝45°，∠AEC＝135°；
第二次折叠后，题图③中的∠AEF＝67.5°，∠FAE＝45°，
∴∠AFE＝67.5°.
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那么∠AFE的度数为( )
A．60° B．67.5°
C．72° D．75°
B
10．【2022·苏州高新区实验初级中学月考】阅读下题及其解题过程：已知△ABC，如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
求证：点P到三边AB，BC，AC的距离相等．
证明：如图②，过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，AC，垂足分别为D，E，F.
∵BP是∠ABC的平分线，PE⊥BC，PD⊥AB，
∴PD＝PE.
同理可得PE＝PF.∴PD＝PE＝PF.
∴点P到三边AB，BC，AC的距离相等．
探究下列问题：
(1)如图③，若点P是∠ABC和△ABC的外角∠ACE的平分线的交点，上述结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
解：成立．证明如下：
过点P作PD，PM，PN分别垂直于BA，BC，AC，
垂足分别为D，M，N，如图①所示．
∵BP是∠ABC的平分线，PM⊥BC，PD⊥BA，
∴PD＝PM.
同理可得PM＝PN.∴PD＝PM＝PN.
∴点P到三边AB，BC，AC的距离相等．
(2)如图④，当点P是△ABC的外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点时，点P到三边AB，BC，AC的距离是否相等？若相等，给出证明；若不相等，请说明理由．
解：点P到三边AB，BC，AC的距离相等．
证明如下：
过点P作PD，PM，PN分别垂直于直线AB，BC，AC，
垂足分别为D，M，N，如图②所示．
∵BP是∠FBC的平分线，PM⊥BC，PD⊥BF，∴PD＝PM.
同理可得PM＝PN.∴PD＝PM＝PN.
∴点P到三边AB，BC，AC的距离相等．
返回(共12张PPT)
1．用特殊角构造含30°角的直角三角形的三种常用技巧
素养集训
第十三章 轴对称
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1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC，AE＝8.求CE的长．
解：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝ ×120°＝60°.
在Rt△ADE中，∵∠CAD＝60°，
∴∠ADE＝30°.∴AD＝2AE＝16.
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.
∴∠B＝∠C＝30°.∴AC＝2AD＝2×16＝32.
∴CE＝AC－AE＝32－8＝24.
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2．【教材P82习题T7改编】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E.求证：CE＝2BE.
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证明：连接AE.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.
∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.
∴∠BAE＝∠B＝30°.
∴∠EAC＝120°－30°＝90°.
∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.
又∵BE＝AE，∴CE＝2BE.
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.求CD的长．
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解：如图，延长AD，BC交于点E.
∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，AE＝2BE.
又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝180°－120°＝60°.
∴∠E＝∠EDC＝∠ECD＝60°.
∴△DCE是等边三角形．
设CD＝CE＝DE＝a，则有2(1＋a)＝4＋a，
解得a＝2.∴CD的长为2.
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠BAD，∠DAB＝30°.求证：AD＝2BC.
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证明：如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
∵DC∥AB，∠DAB＝30°，
∴∠DCA＝∠BAC，∠CDE＝∠DAB＝30°.
在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE.
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA.∴AD＝CD.∴AD＝2CE.
∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠BAD，
∴BC＝CE.∴AD＝2BC.
5．如图，在△ABC中，BD＝DC，AD⊥AC，∠BAD＝30°.求证：AC＝ AB.
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证明：如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，则∠AEB＝90°.
∵∠BAD＝30°，∴BE＝ AB.
∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°. ∴∠DEB＝∠DAC.
又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，
∴△BED≌△CAD(AAS)．
∴BE＝CA.∴AC＝ AB.(共21张PPT)
2．等腰三角形中作辅助线的八种常用方法
素养集训
第十三章 轴对称
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1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．
(1)连接OA，直接写出点O到△ABC的三个顶点A，B，C的距离OA，OB，OC的大小关系；
解：OA＝OB＝OC.
(2)若点M，N分别是AB，AC上的点，且BM＝AN，试判断△OMN的形状，并证明你的结论．
解：△OMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB＝AC，O为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴AO⊥BC，∠B＝∠C＝45°，
∠OAM＝ ∠BAC＝45°.
∵BM＝AN，∴AB－BM＝AC－AN，即AM＝CN.
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在△OAM和△OCN中，
∴△OAM≌△OCN(SAS)．
∴OM＝ON，∠AOM＝∠CON.
又∵∠CON＋∠AON＝90°，
∴∠AOM＋∠AON＝90°，即∠MON＝90°.
∴△OMN是等腰直角三角形．
【点方法】几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAC＝2∠DBC.
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证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∴∠CAE＋∠C＝90°.
∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE.
∵BD⊥AC，∴∠DBC＋∠C＝90°.
∴∠CAE＝∠DBC.
∴∠BAC＝2∠DBC.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF.求证：DE＝DF.
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证明：如图，过点E作EG∥AC，交BC于点G，
∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.
∴∠B＝∠EGB.∴BE＝EG.
又∵BE＝CF，∴EG＝CF.
在△EGD和△FCD中，
∴△EGD≌△FCD(AAS)．∴DE＝DF.
4．【教材P93复习题T13变式】如图，在等边三角形ABC中，点D在AC上，延长BC至点E，使CE＝AD，DG⊥BC于点G.求证：
(1)DB＝DE；
证明：如图，过点D作DF∥BC，交AB边于点F.
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，
∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°.
∴△ADF是等边三角形．∴AD＝DF＝AF.∴CD＝BF.
∵AD＝CE，∴FD＝CE.
又∵∠DFB＝∠DCE＝120°，
∴△BFD≌△DCE(SAS)．∴DB＝DE.
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(2)BG＝EG.
证明：∵DB＝DE，DG⊥BC，∴BG＝EG.
5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.
【点方法】遇到三角形的中线时，往往将中线延长一倍，构造全等三角形．
证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，
则CF＝2CE.
∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.
在△BEF和△AEC中，
∴△BEF≌△AEC(SAS)．
∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.
∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.
又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝AB＝BD.
在△CBF和△CBD中，
∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.
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6．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.
证明：如图，延长BA，CD，交于点E.
∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，
∴∠CBD＝∠EBD，∠BDC＝∠BDE＝90°.
又∵BD＝BD，∴△BDC≌△BDE(ASA)．
∴CD＝ED，∴CE＝2CD.
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∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∠AFB＝∠DFC，
∴∠ABF＝∠DCF.
又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，
∴△ABF≌△ACE(ASA)．
∴BF＝CE.∴BF＝2CD.
【点方法】延长CB构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明.
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点．求证：DM＝ AB.
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证明：如图，延长CB到点E，使BE＝BA，连接AE，
则∠E＝ ∠ABC.
∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C. ∴AE＝AC.
∵AD⊥BC，∴CD＝DE.
∵点M为BC的中点，∴BM＝MC.
∴DE＝EB＋BD＝AB＋BD＝AB＋(BM－DM)，
CD＝DM＋MC＝DM＋BM.
∵CD＝DE，∴AB＋(BM－DM)＝DM＋BM. ∴DM＝ AB.
8．【2021·贵阳17中期末】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.
证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.
∵∠ABE＝60°，BE＝AB，
∴△ABE为等边三角形．
∴∠AEB＝60°，AB＝AE.
又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.
∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.
∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，
即BD＋DC＝AB.
返回(共17张PPT)
3．分类讨论思想在等腰三角形中应用的六种常见类型
素养集训
第十三章 轴对称
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1．若等腰三角形中有一个角等于40°，求这个等腰三角形的顶角度数．
【点方法】分类讨论思想是一种常用的、重要的解题思想，它在解决叙述过程复杂或条件不确定的问题时使用，分类的标准是：不重复、不遗漏．分类一方面可将复杂问题分解成若干个简单问题来解决；另一方面，恰当的分类可以避免漏解，从而提高全面考虑问题的能力，培养周密严谨的数学素养.
解：分两种情况讨论：
(1)顶角为40°；
(2)若底角为40°，则顶角为180°－40°×2＝100°.
综上可知，这个等腰三角形的顶角度数为40°或100°.
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2．若x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，求以x，y的值为边长的等腰三角形的周长．
解：∵|x－4|＋(y－8)2＝0，
∴x－4＝0，y－8＝0.∴x＝4，y＝8.
下面分两种情况讨论：
(1)当腰长为4，底边长为8时，
∵4＋4＝8，∴此时不能构成三角形；
(2)当腰长为8，底边长为4时，
易知可以构成三角形，此时等腰三角形的周长为8＋8＋4＝20.
综上可知，等腰三角形的周长为20.
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3．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．
【点方法】由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形的内部和在三角形的外部．
解：设在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.
(1)若高与底边的夹角为25°，高一定在△ABC的内部，
如图①所示．
∵∠DBC＝25°，
∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°.
∴∠ABC＝∠C＝65°.∴∠A＝180°－2×65°＝50°.
(2)若高与另一腰的夹角为25°，如图②，
当高在△ABC的内部时，
∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°.
∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°.
如图③，当高在△ABC的外部时，
∵∠ABD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°.
∴∠BAC＝180°－65°＝115°.
∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°.
故三角形各个内角的度数为65°，65°，50°或65°，
57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.
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4．△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°.求∠B的度数．
解：此题分两种情况讨论：
(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，
∠ADE＝40°，则∠A＝50°.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝(180°－50°)÷2＝65°.
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(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，
∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，
∴∠BAC＝130°.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝(180°－130°)÷2＝25°.
故∠B的度数为65°或25°.
5．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其周长分为差为3 cm的两部分，求腰长．
解：∵BD为△ABC的AC边上的中线，
∴AD＝CD.
(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，AB－BC＝3 cm.
∵BC＝5 cm，∴AB＝5＋3＝8(cm)．
(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，
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BC－AB＝3 cm.
∵BC＝5 cm，∴AB＝5－3＝2(cm)．
但是当AB＝2 cm时，△ABC的三边长分别为2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不能构造成三角形，应舍去．故腰长为8 cm.
6．【2022·合肥168中学月考】已知O为等边三角形ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上的动点，且∠EOF＝120°.若AF＝1，求BE的长．
【点方法】当点的位置不确定时，需分类讨论，本题AF＝1，点F可能在DA上，也可能在DA的延长线上．
解：分两种情况讨论：
(1)当点F在边DA上时，如图①，作OM∥AB交AD于点M.
∵△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠ABD＝∠D＝60°，AD＝BD＝AB＝4.
∵OM∥AB，
∴∠DMO＝∠A＝60°，∠DOM＝∠ABD＝60°.
∴△DOM为等边三角形，∠OMF＝∠BOM＝120°.
∴MO＝OD＝MD.
∵OD＝OB＝2，∴OM＝OB＝DM＝2.∴AM＝2.
∵∠EOF＝120°，∴∠EOF－∠BOF＝∠BOM－∠BOF，
即∠BOE＝∠MOF.
又∵∠OBE＝180°－60°＝120°，
∴∠OBE＝∠OMF.
∴△OMF≌△OBE(ASA)．∴MF＝BE.
∵AF＝1，∴FM＝1.∴BE＝1.
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(2)当点F在线段DA的延长线上时，如图②，作OM∥AB交AD于点M，同(1)可得△OMF≌△OBE，DM＝AM＝2，
∴BE＝FM.
∵AF＝1，∴FM＝3.∴BE＝3.
综上所述，BE的长为1或3.