北京市第四中学2022-2023学年高三上学期9月开学测试
数学 解析版
一 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）
1. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式可得,进而根据集合的补运算和交运算即可求解.
【详解】由题意得或，，
所以，
故选：B
2. 复数的虚部是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可得虚部.
【详解】，故虚部为：
故选：A
3. 已知命题 p： x∈R，cosx≤1，则（ ）
A. ￢p： x0∈R，cosx0≥1 B. ￢p： x∈R，cosx≥1
C. ￢p： x∈R，cosx＞1 D. ￢p： x0∈R，cosx0＞1
【答案】D
【解析】
【分析】对于全称命题的否命题，首先要将全称量词“ ”改为特称量词“ ”，然后否定原命题的结论，据此可得答案.
【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p： x∈R，cosx≤1，￢p： x0∈R，cosx0＞1．
故选D．
【点睛】本题考查了命题中全称量词和存在量词，解题的关键是要知晓全称命题的否定形式是特称命题.
4. 设，，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由已知，，且，,， 而<1，所以c
考点：指数的幂运算.
5. 对于直线，和平面，，使成立的一个充分条件是
A. ，∥ B. ∥，
C. ，， D. ，，
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由，，选C.
考点：线面垂直的条件.
6. 在下列关于四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是：（ ）
①
②；
③；
④.
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式、三角函数的图像与性质以及正弦定理，结合三角形图像进行处理.
【详解】对于①，因为，所以或，故①错误；
对于②，因为在上单调，所以角被唯一确定，
故②正确；
对于③，因为，，所以，
所以，所以，又，由正弦定理有
，所以，所以角被唯一确定，故③正确；
对于④，因为，
所以，所以如图，不唯一，故④错误.故A，C，D错误.
故选：B.
7. 已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.
【详解】当时，，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成立；
，所以若数列为等差数列，则或，即必要性不成立，
综上，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，
故选A
【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题.
8. 某购物网站在2017年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先算出一张订单需要多少件，再根据总数计算即可得解.
【详解】为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．
由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最多需要下的订单张数为3张．
【点睛】本题是一道应用题，解题关键是要读懂题目意思，根据题目给出的条件，找出合适的解法.
9. 已知圆的方程，过作直线与圆交于点，且关于直线对称，则直线的斜率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直线、关于直线对称，故两直线斜率互为相反数，所以假设直线方程为：，与圆进行联立可得点坐标，同理可得到点坐标，即得到答案
【详解】解：设，， 易得在圆上，
因为直线、关于直线对称，故两直线斜率互为相反数，
设直线方程的斜率为，则直线斜率为，
所以直线方程为：，
整理得：，
所以： ，
即：，，
所以，同理，
所以，
故选：
10. 已知函数，在下列结论中：
①是的一个周期；
②在上单调递减；
③的图象关于直线对称；
④的图象关于点对称.
正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用判定①错误；利用导数的符号判定②正确；通过证明判定③正确；通过证明判定④正确.
【详解】对于①：因为
，
所以不是的一个周期，即①错误；
对于②：
当时，，，
所以，，，
则，
即，所以在上单调递减，即②正确；
对于③：因为，
且，
所以，
即的图象关于直线对称，即③正确；
对于④：因为
，
且
，
所以，
即的图象关于直线对称，故④正确；
即正确结论个数3个.
故选：C.
二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 若双曲线的离心率为2，则___________，双曲线的渐近线方程为___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率公式即可，进而可求渐近线方程.
【详解】由题可知，渐近线方程为：，即，
故答案为：，
12. 设多项式，则___________，___________.
【答案】 ①. -10 ②. 528
【解析】
【分析】利用二项式定理的展开式、通项以及分类讨论进行处理.
【详解】因为，
所以是展开式中的系数，设的展开式的通项为，
所以当时，.
同理设的展开式的通项为，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故.
故答案为：-10，528.
13. 数列满足，且对任意的，都有，则___________；的前项和___________.
【答案】 ①. 8 ②.
【解析】
【分析】根据已知条件，利用等比数列的通项公式以及求和公式进行求解.
【详解】由题意可得，对任意的，都有，即，
又，令，有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，所以.
故答案为：8，.
14. 已知函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得需使指数函数部分与轴有一个交点，抛物线部分与轴有两个交点，由函数图像的平移和二次函数的顶点可得关于的不等式，解之可得答案．
【详解】由题意可知：函数图像的左半部分为单调递增指数函数的部分，
函数图像的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为，最多两个零点，
如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与轴相交，
由指数函数过点，故需下移至多1个单位，故，
还需保证抛物线与轴由两个交点，故最低点，
解得或，综合可得，
故答案为： .
15. 已知函数，任取，定义集合：
，点，满足
设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则
（1）函数的最大值是______；
（2）函数的单调递增区间为______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】
作出函数的图象，分当点P在A点时，当点P在曲线上从A接近B时，当点P在B点时，当点P在曲线上从B接近C时，当点P在C点时，当点P在曲线上从C接近D时，当点P在D点时，当点P在曲线上从D接近E时，分析的值和变化，从而得出的值和变化，可得答案.
【详解】函数，函数的最小正周期为T=4，点P(),Q()，如图所示：
当点P在A点时，点Q在曲线OAB上，,；
当点P在曲线上从A接近B时，减小，所以逐渐增大；
当点P在B点时，,，
当点P在曲线上从B接近C时，减小，所以逐渐减小；
当点P在C点时，，；
当点P在曲线上从C接近D时，增大，所以逐渐增大；
当点P在D点时，，；
当点P在曲线上从D接近E时，增大,逐渐减小，
依次类推，得函数的最大值是， 的单调递增区间为，
故答案为：2；.
【点睛】本题考查正弦函数的周期性，最值，单调性，关键在于理解题目所给的条件，属于较难题.
三 解答题（本大题共6小题，共85分.）
16. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值和函数的单调递减区间；
（2）求函数图像的对称轴方程和对称中心坐标.
【答案】（1）；单调递减区间为，.
（2）对称轴方程为，；对称中心坐标为，.
【解析】
【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式将函数表达式化为，再利用周期公式求出值，再利用求其单调递减区间；
（2）分别令、进行求解即可.
【小问1详解】
因为
，
因为函数的最小正周期为，
所以，解得，
即，
令，，
解得，，
即的单调递减区间为，.
【小问2详解】
令，，
解得，，
所以函数图像的对称轴方程为，；
令，，
解得，，
所以函数图像的对称中心坐标为，.
17. 汽车租赁公司为了调查两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 5 10 30 35 15 3 2
B型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 14 20 20 16 15 10 5
（1）从出租天数为3天的汽车（仅限两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（2）根据这个星期的统计数据（用频率估计概率），求该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（3）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
【答案】（1）0.6 （2）
（3）,理由见解析.
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（2）该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为4天分为以下三种情况：型车1天型车3天；型车型车都2天；型车3天型车1天，利用互斥事件和独立事件的概率计算公式即可得出；
（3）从数学期望和数据的集中程度分析即可得出结论．
【小问1详解】
出租天数为3天的汽车型车有30辆，型车20辆．从中随机抽取一辆，这辆汽车是型车的概率约为．
【小问2详解】
设“事件表示一辆型车在一周内出租天数恰好为天”，
“事件表示一辆型车在一周内出租天数恰好为天”，其中，，2，，7．
则该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
．
该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为．
【小问3详解】
设为型车出租的天数，则的分布列为
1 2 3 4 5 6 7
005 010 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02
设为型车出租的天数，则的分布列为
1 2 3 4 5 6 7
0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05
．
．
一辆类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天．
从出租天数的数据来看，型车出租天数为3，4，5占比0.8，型车出租天数为3，4，5占比0.51，根据数据的集中程度看，型车比型车出租天数更集中，综合分析，选择类型的出租车更加合理．
18. 如图，在直三棱柱中，，，是中点.
（1）求证：平面；
（2）若棱上存在一点，满足，求的长；
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解.
（2）1. （3）.
【解析】
【分析】（1）利用中位线以及线面平行的判定定理；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；
（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.
【小问1详解】
连接，交于点N，连接，如图
直三棱柱中，是的中点，又是中点，
所以，又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
设，所以，，
因为，所以，解得，所以.
【小问3详解】
因为，，设平面的法向量为，
则有，得，
令，则，，所以取，
因为平面，取平面的法向量为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于、两点，直线、与直线分别交于点、.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出椭圆的标准方程，利用点在椭圆上、离心率进行求解；
（2）设出直线方程为，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，写出直线，的方程并求出、的坐标，再利用数量积的坐标表示求出，利用分离常数法求其取值范围.
【小问1详解】
由题意设椭圆的标准方程为（），
由题意，得，解得，，
即椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）得，
设，，，
联立，得，
即，则，，
直线，的方程分别为，，
令，则，，
则，
，
所以
因为，所以，，
即的取值范围为.
20. 已知函数，点为一定点，直线分别与函数的图象和轴交于点，，记的面积为．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间;
（Ⅱ）当时，若，使得，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）在，上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）由已知可得：，分别对和时的进行求导分析即可；
（Ⅱ）当，时，，由已知可得当时，，求导，得：，由此可得当时，，当，，问题得解.
【详解】（Ⅰ）由已知可得：当时，
当时，，则
显然此时，所以在上单调递增；
当时，，则
当时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）当，时，
因为，使得，所以当时，.
求导，得：
由可得，
①当，即时，对成立，
所以在上单调递增，故
由，解得
所以满足题意；
②当，即时，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故
由，解得，
所以满足题意.
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了导数求单调区间和最值，考查了分类讨论思想，属于难题.
21. 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②.
（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”（不必说明理由）；
（2）若等差数列是15阶“期待数列”，求的通项公式；
（3）记阶“期待数列”的前项和为，证明：
（i）；
（ii）.
【答案】（1）一个单调递增的3阶“期待数列”：，，；一个单调递增的4阶“期待数列”：，，，；
（2）当时，；当时，；
（3）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助新定义，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（2）利用等差数列是15阶“期待数列”，通过公差为0，大于0，小于0，分别求解该数列的通项公式；
（3）（i）利用反证法假设，分别对和进行讨论即可推出矛盾；（ii）通过数列求和，绝对值三角不等式，放缩法和裂项相消即可证明
【小问1详解】
通过题意可得到， 3阶“期待数列”满足：①；②，易得，，满足一个单调递增的3阶“期待数列”的定义；
4阶“期待数列”满足：①；②，易得，，，满足一个单调递增的4阶“期待数列”的定义；
【小问2详解】
设等差数列，，，，公差为，
∵，
∴，
∴，即，
∴
当时，则与②矛盾；
当时，由①②得：，
∴，即，
由得，即，
∴，
令，∴，
当时，同理得，即，
由得即，
∴，
∴令，所以；
【小问3详解】
（i）假设，
若则，
，，
，
与矛盾；
若则，
，，
，
与矛盾；
所以不成立，
所以得证；
（ii）
.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式基本量运算，考查的新定义问题以及转化思想的应用，属于难题.新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.北京市第四中学2022-2023学年高三上学期9月开学测试
数学 原卷版
一 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）
1. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的虚部是（ ）
A. B. 1 C. D.
3. 已知命题 p： x∈R，cosx≤1，则（ ）
A. ￢p： x0∈R，cosx0≥1 B. ￢p： x∈R，cosx≥1
C ￢p： x∈R，cosx＞1 D. ￢p： x0∈R，cosx0＞1
4. 设，，，则
A. B. C. D.
5. 对于直线，和平面，，使成立的一个充分条件是
A. ，∥ B. ∥，
C. ，， D. ，，
6. 在下列关于的四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是：（ ）
①
②；
③；
④.
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④
7. 已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 某购物网站在2017年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
9. 已知圆的方程，过作直线与圆交于点，且关于直线对称，则直线的斜率等于（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，在下列结论中：
①是的一个周期；
②在上单调递减；
③的图象关于直线对称；
④的图象关于点对称.
正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 若双曲线的离心率为2，则___________，双曲线的渐近线方程为___________.
12. 设多项式，则___________，___________.
13. 数列满足，且对任意的，都有，则___________；的前项和___________.
14. 已知函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
15. 已知函数，任取，定义集合：
，点，满足
设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则
（1）函数的最大值是______；
（2）函数的单调递增区间为______．
三 解答题（本大题共6小题，共85分.）
16. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值和函数的单调递减区间；
（2）求函数图像的对称轴方程和对称中心坐标.
17. 汽车租赁公司为了调查两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 5 10 30 35 15 3 2
B型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 14 20 20 16 15 10 5
（1）从出租天数为3天的汽车（仅限两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（2）根据这个星期的统计数据（用频率估计概率），求该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（3）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
18. 如图，在直三棱柱中，，，是中点.
（1）求证：平面；
（2）若棱上存在一点，满足，求的长；
（3）求平面与平面所成锐二面角余弦值.
19. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于、两点，直线、与直线分别交于点、.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围.
20. 已知函数，点为一定点，直线分别与函数的图象和轴交于点，，记的面积为．
（Ⅰ）当时，求函数单调区间;
（Ⅱ）当时，若，使得，求实数取值范围．
21. 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②.
（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”（不必说明理由）；
（2）若等差数列是15阶“期待数列”，求的通项公式；
（3）记阶“期待数列”的前项和为，证明：
（i）；
（ii）.