三明市重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学适应性考试
数学 解析版
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. 空间向量与的长度相等
B. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C. 空间向量就是空间中的一条有向线段
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【解析】
【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C.
【详解】对于A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确，
对于B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误，
对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误，
对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误，
故选：A
2. 已知点，向量，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的坐标，再由向量的坐标表示得出点坐标．
【详解】由题意，∴，
即点坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查向量的坐标表示．属于基础题．
3. 已知向量，则与同向共线的单位向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得模，再根据与同向共线的单位向量求解.
【详解】解：因为向量，
所以已知向量，
所以与同向共线单位向量，
故选：C
4. 如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；
【详解】．
故选：C．
5. 在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可
【详解】建立空间直角坐标系，如图，
则，，，所以，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离.
故选：C.
【点睛】此题考查空间中点到线的距离，考查空间向量的应用，属于基础题
6. 如图，已知平面，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中，余弦定理可得,由平面可得，进而得为直角三角形，再由勾股定理即可求得的值.
【详解】解:因为在中，,
由余弦定理可得，
又因为平面，
所以，
所以为直角三角形，
又因为,
所以在直角三角形中由勾股定理可得：,
所以.
故选：C.
7. 已知空间非零向量，，满足，，，与方向相同，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线定理及向量数量积的定义可得，进而即得.
【详解】由题可设，由可知，
所以，
所以，
∵，
∴，即.
故选：C.
8. 正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取的中点为，，可得当的长度最小时，取得最小值，求出球心到点的距离，可得点到的距离为.
【详解】因为四面体是棱长为1的正四面体，
所以其体积为.
设正四面体内切球的半径为，
则，得.
如图，取的中点为，则
.
显然，当的长度最小时，取得最小值.
设正四面体内切球的球心为，可求得.
因为球心到点的距离，
所以球上的点到点的最小距离为，
即当取得最小值时，点到的距离为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点到的距离为球心到点的距离减去半径.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A. 点的坐标为，5，
B. 点关于点对称的点为，8，
C. 点关于直线对称的点为，5，
D. 点关于平面对称的点为，5，
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，根据图示分析即可；
对B，设点关于点对称的点为，再根据为的中点列式求解即可；
对C，根据四边形为正方形判断即可；
对D，根据平面求解即可
【详解】对A，由图可得，的坐标为，5，，故A正确；
对B，由图，，，设点关于点对称的点为则 ，解得，故，故B错误；
对C，在长方体中，
所以四边形为正方形，与垂直且平分，
即点关于直线对称的点为，选项C正确；
对D，因为平面，故点关于平面对称的点为，即，选项D正确；
故选：ACD.
10. 已知点是平行四边形所在平面外的一点，，，，则（ ）
A.
B. 是平面的法向量
C.
D. 直线与平面所成角的余弦值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐标形式可判断A的正误，求出的值可判断B的正误，求出的坐标后可判断C的正误，再求出平面的法向量后可判断D的正误.
【详解】因为四边形为平行四边形，故.
而，
所以，故成立，故A正确.
，而，
故不成立，故B错误.
，而，故不成立，故C错误.
因为，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
设直线与平面所成角为，则，
而，故，
故选：AD.
11. 在三棱锥中，以下说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，分别为，的中点，则
D. 若为的重心，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A选项，根据条件，可推得，故A错误；
对于B选项，因为，代入，利用，，可证，故B正确；
对于C选项，根据题意，可得，以为基底表达，运算可得，故C错误；
对于D选项，由为的重心，可得，进行恒等变形可得，故D正确.
【详解】对于A选项，由，得，整理可得，，所以，即，故A错误；
对于B选项，由，，因为，所以，故B正确；
对于C选项，因为，，由勾股定理逆定理可得，，因为分别为，的中点，所以，所以
，所以，故C错误；
对于D选项，若为的重心，
则
，
所以，
所以，
所以，
即，故D正确.
故选：BD.
12. 已知正方体的棱长为2，点P满足，则下列选项正确的为（ ）
A. 若，，，则二面角为
B. 若，则三棱雉的体积为定值
C. 若，，，且直线AP与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹长度为
D. 若，则点P轨迹与正方体表面交线的总长度为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法、锥体、球的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则，，
平面，也即平面的法向量为，
对于A选项，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设二面角为，则，所以A选项错误.
对于B选项，，则，
即到平面也即平面的距离为定值，而三角形的面积是定值，
所以三棱锥的体积为定值，所以B选项正确.
对于C选项，当时，，且，
依题意直线与平面所成角为，
所以，
两边平方并化简得.
所以点的轨迹是线段，，C选项正确.
对于D选项，，表示到的距离为定值，
所以的轨迹是以为球心，半径的球，
注意到，，
所以球与正方形，正方形，正方形相交形成的轨迹是如下图中的弧形，三段弧长和为.
球与正方形，正方形，正方形相交形成的轨迹是如下图中的弧形，三段弧长和为，
所以点P的轨迹与正方体表面交线的总长度为，D选项正确.
故选：BCD
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，，则 ____________
【答案】
【解析】
【分析】求出，即可求出模.
【详解】因为，，所以，
所以.
故答案为：.
14. 设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则k＝________.
【答案】－8
【解析】
【分析】根据向量共线定理求解即可.
【详解】
又A，B，D三点共线，所以，
即
所以：，
解得.
故答案为：－8
15. 点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出．
【详解】1，，2，，
的夹角为锐角，，且不能同向共线．
解得，．则的取值范围为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16. 如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】以为原点，为轴、轴、为轴建立空间直角坐标系，设，且，其中，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，求得的范围，即可求解.
【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
易得不重合，设，其中，且，
所以，所以，，
因为平面，所以，可得，所以，，
因为平面，所以的一个法向量为，
设与平面所成角为，
则，
当，可得，因为，所以
当，可得，因为，所以，
所以与平面所成的角的范围是为.
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量表示，；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）作出图形，根据平面向量的基本定理求解即可；
（2）由平面向量的基本定理表示即可求解
【详解】（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
（2）
18. 已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）7；（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据题意，偶，列出方程求得的值，求得，得到，利用模的公式，即可求解；
（2）由，求得，又由，求得，分类讨论，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】（1）由，则存在实数，使，即，
所以，解得，所以.
则，所以.
（2）由，可得，即，解得，
又由，可得，解得，
当时，，，
所以.
当时，，，
所以.
19. 已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
（1）求，为邻边的平行四边形的面积S；
（2）求，夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用算出答案即可；
（2）分别求出、、的值即可.
【小问1详解】
根据条件，，∴；
∴；
【小问2详解】
；
，
；
∴.
20. 如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，，分别为，的中点．
（1求异面直角与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】(1) 以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系．利用向量与的夹角公式计算可得;
(2) 设直线与平面所成的角为，利用计算可得答案.
【详解】（1）∵，平面平面，平面平面，平面，
∴平面．
∵，∴平面．
如图所示，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系．
∵，∴，，，，
∴，.
∴，
∴异面直线与所成角的大小为.
（2）由（1）知，，，∴，，.
设平面的法向量为，
则由，可得，令，则，，
∴．
设直线与平面所成角为，则
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线所成角,求直线与平面所成角,正确建立空间直角坐标系是解题关键,本题属于中档题.
21. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，为的中点．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，点为线段的靠近点的三等分点
【解析】
【分析】（1）根据题意证得平面，进而证得平面，得到平面，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）设点，求得平面的法向量为，结合向量的距离公式列出方程，求得的值，即可得到答案.
【小问1详解】
解：因为四边形为正方形，则，，
由，，，所以平面，
因为平面，所以，
又由，，，所以平面，
又因为平面，所以，
因为且平面，所以平面，
由平面，且，不妨以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
易得平面的法向量为，
则，
由平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值．
【小问2详解】
解：设点，可得，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，所以，
所以点到平面的距离为，
解得，即或
因为，所以
故当点为线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为.
22. 已知梯形和矩形. 在平面图形中，，. 现将矩形沿进行如图所示的翻折.
（1）当二面角的大小为时.求的长；
（2）设是中点.
①当二面角的大小为时，若，且点在平面内，求实数的值；
②求在翻折的过程中，直线与平面所成最大角的正弦值
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】(1)根据二面角的定义可知为所求二面角，利用空间向量的数量积的定义计算即可；
(2)①建立如图坐标系，设，利用空间向量的坐标运算和基本定理即可求出；
②当、时，易求直线与平面所成角的正弦值；当且时，利用空间向量法求出直线的方向向量和平面的法向量，结合数量积的定义求出线面角的正弦值关于的表达式，利用基本不等式计算即可.
【小问1详解】
∵，∴，
即，且，
∴为二面角的平面角，
由题意得，∵，
∴
，
∴；
【小问2详解】
①由题意得，，
以为原点，、、所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，
D（0,0,0），A（1,0,0），E（0,0,1），C（0,2,0），B（1,1,0），M，
设点，∴,
由，得，得
∵点在平面内，
∴，其中R，
∴，解得；
②设直线与平面所成角为，
设点，则，
当时，直线与平面所成角的正弦值为；
当时，直线与平面所成角的正弦值为；
当且时，
由题意得A（1,0,0），故，
∵C（0,2,0），∴，
即直线的方向向量，
设平面的法向量为，
，，由，，
得，取，则．
则，
令，则且，
则，
当且仅当即时，等号成立，
故，
∵，∴.三明市重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学适应性考试
数学 原卷版
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. 空间向量与的长度相等
B. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C. 空间向量就是空间中的一条有向线段
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
2. 已知点，向量，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，则与同向共线的单位向量（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
5. 在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知平面，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 已知空间非零向量，，满足，，，与方向相同，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A. 点的坐标为，5，
B. 点关于点对称点为，8，
C. 点关于直线对称的点为，5，
D. 点关于平面对称的点为，5，
10. 已知点是平行四边形所在平面外的一点，，，，则（ ）
A.
B. 是平面的法向量
C
D. 直线与平面所成角的余弦值为
11. 在三棱锥中，以下说法正确的有（ ）
A. 若，则
B 若，，则
C. 若，，分别为，的中点，则
D. 若为的重心，则
12. 已知正方体棱长为2，点P满足，则下列选项正确的为（ ）
A. 若，，，则二面角为
B. 若，则三棱雉的体积为定值
C. 若，，，且直线AP与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹长度为
D. 若，则点P的轨迹与正方体表面交线的总长度为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，，则 ____________
14. 设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则k＝________.
15. 点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______．
16. 如图所示，在棱长为1正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量表示，；
（2）若，求实数的值．
18. 已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值.
19. 已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
（1）求，为邻边的平行四边形的面积S；
（2）求，夹角的余弦值．
20. 如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，，分别为，的中点．
（1求异面直角与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，为的中点．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
22. 已知梯形和矩形. 在平面图形中，，. 现将矩形沿进行如图所示的翻折.
（1）当二面角的大小为时.求的长；
（2）设是中点.
①当二面角的大小为时，若，且点在平面内，求实数的值；
②求在翻折的过程中，直线与平面所成最大角的正弦值
