罗甸县2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学（试题） 解析版
一 选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若的夹角为，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由数量积的定义即可计算
【详解】.
故选：B
2. 若，则复数表示的点在（ ）
A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】通过配方判断与的正负即可得到答案.
【详解】因为，，
所以由复数的几何意义知该复数表示的点在第四象限.
故选：D
【点晴】本题主要考查复数的几何意义，考查学生基本计算能力，是一道容易题.
3. 一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为（ ）
A. 16 B. 14 C. 28 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据分层抽样方法的原理计算即可．
【详解】因为每个个体被抽到的概率等于，根据分层抽样方法的原理可得样本中男运动员的人数为，
故选：A．
4. 在正方体中，棱长为1，则等于（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简得，再利用空间向量的数量积的运算计算即得解.
【详解】解：由题得
.
故选：B
5. 已知，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量坐标运算法则直接求解．
【详解】解：，
故选：
【点睛】本题考查向量线性运算，考查空间向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．
6. 已知是异面直线，直线平行于直线，那么与
A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线
C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线
【答案】C
【解析】
详解】如图：
设，为两个相交于直线的平面，其中，平面；，平面，且.
A、D项，如图中满足题设条件，但与是相交直线，故A、D项错误；
B项，如图中满足题设条件，但与是异面直线，故B项错误；
C项，假设，则由可知，这与、异面矛盾，所以与不可能平行，
故选C.
7. 下列命题中，正确的有（ ）
①如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行．那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；
②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
③如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】由等角定理可判断①的真假；举反例可判断②的真假；由平行公理可判断③的真假.
【详解】由等角定理（如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补），可知①正确；
对于选项②：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故②错误；
对于③：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故③正确.
故选：C.
8. 甲 乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】解：依题意两人中恰有一人晋级，则甲晋级、乙未晋级或甲未晋级、乙晋级，
所以概率；
故选：A
二 多选题（本题共2小题，每小题4分，共8分）
9. 下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A 一条直线 B. 一条直线和一个点
C. 两条相交直线 D. 两条平行的直线
【答案】CD
【解析】
【分析】
逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】对于选项A：一条直线不能确定一个平面，故选项A不正确；
对于选项B：一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面，故选项B不正确；
对于选项C：两条相交的直线可以确定一个平面，故选项C正确；
对于选项D：两条平行的直线可以确定一个平面，故选项D正确；
故选：CD
10. 下列各对事件中,不是相互独立事件的有
A. 运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B. 甲 乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C. 甲 乙两运动员各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标”
D. 甲 乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据相互独立事件的概念以及判断，分析出是相互独立事件的选项.
【详解】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲 乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A B不独立,
故选：ACD
【点睛】本小题主要考查相互独立事件的判断，属于基础题.
三 填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11. 求__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得；
【详解】解：
；
故答案为：
12. 已知中，若角，，则角__________．
【答案】或
【解析】
【分析】由已知，根据已知条件，可直接使用正弦定理求解出，并根据，从而确定角的大小.
【详解】由已知，在中，若角，，，
有正弦定理可知，，所以，
因为，所以，
所以或.
故答案为：或.
13. 已知是虚数单位，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据复数的模的计算公式计算即可得答案.
【详解】解：根据复数模的计算公式得：.
故答案为：
【点睛】本题考查复数模的计算，是基础题.
14. 一组数据12，34，15，24，39，25，31，48，32，36，36，37，42，50的第25，75百分位数分别是______、________．
【答案】 ①. 25 ②. 39
【解析】
【分析】把数据从小到大排序，分别找出第25，75百分位数，即可得解.
【详解】解：把数据从小到大排序为12，15，24，25，31，32，34，36，36，37，39，42，48，50共14个数，
14×25%＝3.5， 14×75%＝10.5， 所以第25，75百分位数分别是第4，11项数据，即是25，39．
故答案为：25，39．
【点睛】本题主要考查数据的数字特征，属于基础题型.
15. 点关于平面的对称点是__________，关于轴的对称点__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用点关于面的对称点的概念和点关于轴的对称点的概念即可求解.
【详解】由点关于面的对称点可知，关于平面的对称点是；
不妨设关于轴的对称点为，
则点为线段的中点，
从而，，，即，，，
故点关于轴的对称点为.
故答案为：；.
四 解答题（本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
16. 已知在中，．求的大小．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理，进行边化角，根据二倍角公式，可得相等的两个正弦值，可得方程，可得答案.
【详解】由，根据正弦定理，则，即，
当时，即，由，不合题意；
当时，即，；
综上，.
17. 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4.
（1）他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率.
【答案】（1）0.7；（2）0.8；
【解析】
【分析】（1）根据概率的加法性质,可得解.
（2）根据对立事件概率求法,可得解.
【详解】（1）由题意可知,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4.
则他乘火车的概率为0.3,乘飞机去的概率为0.4
所以他乘火车或乘飞机去的概率为
（2）由题意,乘轮船去的概率为
由对立事件概率性质可知不乘轮船去的概率为
【点睛】本题考查了概率的加法性质应用,对立事件概率的求法,属于基础题.
18. 已知向量．
（1）求证：三点共线．
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）求出，由证明即可；
（2），，根据向量相等列方程组求解即可.
【小问1详解】
证明：∵，故三点共线；
【小问2详解】
，，
则有，即，解得
19. 记的内角的对边分别为，面积为，则求．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理求出，由求出，即可求出b.
【详解】由题，∵，∴，得.
又，∴，
由，∴.
20. 如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）见证明；（2）见证明
【解析】
【分析】（1）设与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面；
（2）由为线段中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面．再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面．
【详解】证明：（1）设与的交点为，连结，
∵四边形为平行四边形，∴为中点，
又是的中点，∴是三角形的中位线，则，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）∵为线段的中点，点是的中点，
∴且，则四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
又平面，，且平面，平面，
∴平面平面．
【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．罗甸县2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学（试题） 原卷版
一 选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若夹角为，则（ ）
A. B. C. D. 2
2. 若，则复数表示的点在（ ）
A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限
3. 一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为（ ）
A. 16 B. 14 C. 28 D. 12
4. 在正方体中，棱长为1，则等于（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知异面直线，直线平行于直线，那么与
A. 一定异面直线 B. 一定是相交直线
C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线
7. 下列命题中，正确的有（ ）
①如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行．那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；
②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
③如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
8. 甲 乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级概率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本题共2小题，每小题4分，共8分）
9. 下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A. 一条直线 B. 一条直线和一个点
C. 两条相交的直线 D. 两条平行的直线
10. 下列各对事件中,不是相互独立事件的有
A. 运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B. 甲 乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C. 甲 乙两运动员各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标”
D. 甲 乙两运动员各射击一次“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
三 填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11. 求__________．
12. 已知中，若角，，则角__________．
13. 已知是虚数单位，若，则________.
14. 一组数据12，34，15，24，39，25，31，48，32，36，36，37，42，50的第25，75百分位数分别是______、________．
15. 点关于平面的对称点是__________，关于轴的对称点__________．
四 解答题（本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
16. 已知在中，．求的大小．
17. 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4.
（1）他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率.
18. 已知向量．
（1）求证：三点共线．
（2）若，求的值．
19. 记的内角的对边分别为，面积为，则求．
20. 如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
