元氏县第四中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学 原卷版
一．选择题（共8小题）
1. 设是虚数单位，复数，复数，则在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 三棱锥，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为（ ）
A. B. C. D.
3. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有人，南面有人，这三面要征调人，而北面共征调人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）人．”
A. B. C. D.
4. 已知样本数据的平均数为4，则该样本的标准差是（ ）
A. B. C. 2 D.
5. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（ ）
A. 这五位同学年龄的平均数变为19 B. 这五位同学年龄的方差变为3.8
C. 这五位同学年龄的众数变为19 D. 这五位同学年龄的中位数变为19
6. 甲投篮球3次，首次投篮命中率为，在投篮过程中，若球被投中，则下次投篮的命中率为，若球未投中，则下次投篮命中率为，则在3次投篮中，恰好投中1次的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）
A
B.
C.
D.
8. 若空间四点 共面且则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
二．多选题（共4小题）
9. 已知向量，则（ ）
A.
B. 与向量共线的单位向量是
C.
D. 向量在向量上的投影向量是
10. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是（ ）
A. D1C∥平面A1ABB1 B. A1D1与平面BCD1相交
C. AD⊥平面D1DB D. 平面BCD1⊥平面A1ABB1
11. 已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B. 甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数
C. 甲组数据的方差大于乙组数据的方差
D. 甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
12. 随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（ ）
A. 可以排成9个不同的三位数 B. 所得的三位数是奇数的概率为
C. 所得的三位数是偶数的概率为 D. 所得的三位数大于400的概率为
三．填空题（共4小题）
13. 设复数，则下列命题中正确的是______填序号
①；
②；
③在复平面上对应的点在第一象限；
④虚部为2．
14. 如图所示，电路原件，，正常工作概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为______．
15. 已知长方体的顶点都在球O的表面上，且，则球O的表面积为___．
16. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.
四．解答题（共6小题）
17. 已知复数，（i为虚数单位）．
（1）当时，求复数值；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．
18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若，点D是边上的一点，且______，求线段的长．
①是的中线；②是的角平分线；③．
19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，E，F分别是PB，AC的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥体积．
20. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问名职工，根据这名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该单位其他部门的员工对后勤部门的评分的中位数；(保留小数点后一位)
（3）从评分在上受访职工中，随机抽取人，求此人的评分都在的概率．
21. 已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.3．
（1）若A，B互斥，求P（A∪B），P（AB）；
（2）若A，B相互独立，求P（A∪B），P（AB）．
22. 1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打4个球甲赢的概率；
（2）求该局打5个球结束的概率．元氏县第四中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学 解析版
一．选择题（共8小题）
1. 设是虚数单位，复数，复数，则在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据虚数单位的性质和复数的运算公式求出的代数形式，由此确定
【详解】
所以在复平面内对应的点的坐标为，该点在第二象限，
故选：B.
2. 三棱锥，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先由正弦定理求出底面外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，则，即可得解.
【详解】解：在中，，，所以，
设外接圆的半径为，则，所以，
因为平面，设三棱锥外接球的半径为，则，
即，所以.
故选：A
3. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有人，南面有人，这三面要征调人，而北面共征调人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）人．”
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分层抽样原则可直接构造方程求得结果.
【详解】设北面有人，则，解得：.
故选：A.
4. 已知样本数据的平均数为4，则该样本的标准差是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据样本的平均数,可求得的值.即可由标准差公式求解.
【详解】因为2,4,6,的平均数为4,所以,
解得,
所以该样本的标准差,
故选:B.
【点睛】本题考查了平均数的应用,标准差公式的应用,属于基础题.
5. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（ ）
A. 这五位同学年龄的平均数变为19 B. 这五位同学年龄的方差变为3.8
C. 这五位同学年龄的众数变为19 D. 这五位同学年龄的中位数变为19
【答案】B
【解析】
【分析】利用平均数、中位数、方差的定义及性质注意判断即可．
【详解】解：甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均为16，方差位0.8，
三年后，
这五位同学年龄的平均数变为，故A正确；
这五位同学的方差不变，仍为0.8，故B错误．
这五位同学年龄的众数变为，故C正确；
这五位同学年龄的中位数变为，故D正确；
故选：B．
6. 甲投篮球3次，首次投篮命中率为，在投篮过程中，若球被投中，则下次投篮的命中率为，若球未投中，则下次投篮命中率为，则在3次投篮中，恰好投中1次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意3次投篮中，恰好投中1次的概率
；
故选：D
7. 三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量的线性运算即可求解.
【详解】解：．
故选：B
8. 若空间四点 共面且则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】化简可得，由四点共面可知系数和，计算即可得解.
【详解】依题意，
由四点共面,则系数和，则.
故选：D
二．多选题（共4小题）
9. 已知向量，则（ ）
A.
B. 与向量共线的单位向量是
C.
D. 向量在向量上投影向量是
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意分别求得且，，利用向量概念、数量积和投影向量的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，
且，，
对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，与向量共线的单位向量是和，即为和，
所以B错误；
对于C中，由，可得，所以C正确；
对于D中，由向量在向量上的投影向量是，所以D错误.
故选：AC.
10. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是（ ）
A. D1C∥平面A1ABB1 B. A1D1与平面BCD1相交
C. AD⊥平面D1DB D. 平面BCD1⊥平面A1ABB1
【答案】AD
【解析】
【分析】A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误，∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误，其余选项正确.
【详解】正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面D1CD∥平面A1ABB1，
所以D1C∥平面A1ABB1，所以A选项正确；
A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误；
∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误；
因为BC⊥平面A1ABB1，BC包含于平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D选项正确.
故选：AD
11. 已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B. 甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数
C. 甲组数据的方差大于乙组数据的方差
D. 甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
【答案】BD
【解析】
【分析】根据统计图表提供的数据确定极差、平均数、方差、中位数然后判断各选项．
【详解】由题意，甲的极差不大于30，而乙的极差大于30，A错；
只有第2天数据甲比乙小，其他甲都比乙大，而小的很少，第一天数据甲比乙大得就很多，因此甲平均数大于乙平均数，B正确；
由折线图，甲数据与平均数偏差较小，乙数据与平均数偏差较大，甲方差应小于乙的方差，C错；
把各自数据按从小到大排列，知甲的中位数大于90，乙的中位数小于60，D正确．
故选：BD．
12. 随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（ ）
A. 可以排成9个不同的三位数 B. 所得的三位数是奇数的概率为
C. 所得的三位数是偶数的概率为 D. 所得的三位数大于400的概率为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用列举法列出所有的基本事件，再根据概率公式计算可得结果.
【详解】随机地排列数字1，5，6可以得到的三位数有：156，165，516，561，615，651，共6个，故A不正确；
其中奇数有：165，561，651，615，共4个，所以所得的三位数是奇数的概率为
，故B正确；
其中偶数有：156，516，共2个，所以所得的三位数是偶数的概率为，故C不正确；
其中大于400的有：516，561，615，651，共4个，所以所得的三位数大于400的概率为，故D正确.
故选：BD
三．填空题（共4小题）
13. 设复数，则下列命题中正确的是______填序号
①；
②；
③在复平面上对应的点在第一象限；
④虚部为2．
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，先对化简，依次求解即可．
【详解】解：，
对于①，，故①正确，
对于②，，故②正确，
对于③，在复平面上对应的点在第一象限，故③正确，
对于④，的虚部为1，故④错误．
故答案为：①②③
14. 如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为______．
【答案】##0.4375
【解析】
【分析】电路能正常工作的条件是：必须正常工作，，至少有一个正常工作，由此求解即可
【详解】由题意，电路能正常工作的条件是：
必须正常工作，，至少有一个正常工作，
所以电路能正常工作的概率为，
故答案为：
15. 已知长方体的顶点都在球O的表面上，且，则球O的表面积为___．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得长方体外接球的直径为长方体的体对角线，所以根据已知条件求出体对角线的长，从而可求出球的直径，进而可求出球的表面积
【详解】在长方体中，因为，所以．
因为为球O的一条直径，所以球O的半径，
所以球O的表面积为．
故答案为：
16. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值
【详解】因为，所以为的中点，
因为是的中点，
所以，
所以,
因为，
所以，
故答案：
四．解答题（共6小题）
17. 已知复数，（i为虚数单位）．
（1）当时，求复数的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．
【答案】（1）29 （2）
【解析】
【分析】（1）代入，根据复数乘法求解即可；
（2）根据第二象限实部为负，虚部为正求解不等式即可
【小问1详解】
当时，，故
【小问2详解】
若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则即，解得，故m的取值范围为
18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若，点D是边上的一点，且______，求线段的长．
①是的中线；②是的角平分线；③．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由条件变形结合余弦定理可得；
（2）选①或③：由向量的线性运算用表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；选②：根据，结合面积公式可得.
【小问1详解】
由，得，
即，
因为，所以．
【小问2详解】
选①，由，，
则
所以．
选②，因为，，
所以，
即，
解得．
选③，依题意，得，
由，，
则
.
故
19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，E，F分别是PB，AC的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中位线定理即可证明，从而得出平面；
（2）计算到平面距离和三角形的面积，代入棱锥的体积公式计算．
【小问1详解】
证明： 四边形是正方形，是的中点，
，，三点共线，且是的中点，
又是的中点，
，
又平面，平面，
平面．
【小问2详解】
解：平面，是的中点，
到平面的距离为，
四边形是正方形，，，
三棱锥的体积为：．
20. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问名职工，根据这名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该单位其他部门的员工对后勤部门的评分的中位数；(保留小数点后一位)
（3）从评分在上的受访职工中，随机抽取人，求此人的评分都在的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率直方图的性质计算即可求解；
（2）根据频率分布直方图计算中位数即可；
（3）根据频率分布直方图得出名职工中分别有2人、3人，利用列举法结合古典概型的概率公式即可求解.
【小问1详解】
由题意知，，解得.
【小问2详解】
由于，所以中位数为.
【小问3详解】
由（1）知：名职工中分别有2人、3人，
若为职工A、B，为职工1、2、3，
∴随机抽取人的可能组合、、、、、、、、、，共10种，其中人的评分都在有，即1种，
∴人的评分都在的概率为.
21. 已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.3．
（1）若A，B互斥，求P（A∪B），P（AB）；
（2）若A，B相互独立，求P（A∪B），P（AB）．
【答案】（1）P（A∪B）＝0.8，P（AB）＝0；
（2）P（A∪B）＝0.65，P（AB）＝0.15．
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的和事件和积事件的概率公式求解；
（2）利用独立事件的和事件和积事件的概率公式求解.
【小问1详解】
解：P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，
若A，B互斥，P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.5+0.3＝0.8，
P（AB）＝0.
【小问2详解】
解：若A，B相互独立，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.5+0.3﹣0.5×0.3＝0.65，
P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.3＝0.15．
22. 1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打4个球甲赢的概率；
（2）求该局打5个球结束的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲贏为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；
（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率．
【小问1详解】
设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，，∴，
∴，
∴该局打4个球甲赢的概率为．
【小问2详解】
设该局打5个球结束时甲贏为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，
，，，
∴
，
，
∴，
∴该局打5个球结束的概率为．
