风化店中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试题 原卷版
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，若与方向相同，则等于（ ）
A. 1 B. C. D.
2. 已知复数，则
A. B. C. D.
3. 某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数
B. 甲班平均成绩高于乙班平均成绩
C. 甲班学生比乙班学生发挥稳定
D. 甲班不及格率高于乙班不及格率
4. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
5. ABC中，BC＝1，AB＝，C＝，则A＝（ ）
A. 或 B. C. 或 D.
6. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，，则四棱锥的外接球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某人射箭9次，射中的环数依次为：7，8，9，7，6，9，8，10，8，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 这组数据的众数是8
B. 这组数据的平均数是8
C. 这组数据的中位数是6
D. 这组数据的方差是
10. 为不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
A. 若，那么
B. 若，那么
C 若，那么
D. 若，则
11. 函数的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.下列说法正确的是（ ）
A. 在上增函数
B. 的图象关于对称
C. 是奇函数
D. 的最小正周期为
12. 点分别是正方体的棱的中点，如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；
②过点的截面是正方形；
③点在直线上运动时，总有；
④点在直线上运动时，三棱锥的体积是定值；
⑤点是正方体的面内的到点和的距离相等的点，则点的轨迹是一条线段.
A. ①③ B. ③④ C. ②⑤ D. ③⑤
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为______________，80%分位数是______________.
14. 如图所示，圆柱高为2，底面半径为1，则在圆柱侧面上从A出发经过母线到达的最短距离为___________.
15. ，，当时，的值域为___________.
16. 如图所示，在中，在边上，延长到，使得，若为非零常数，则的长度是___________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 在锐角中，设角，，所对的边长分别为，，，且.
（1）求的大小；
（2）若，，点在边上，___________，求的长.
请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面横线上，并完成解答(如选多个条件作答，按排列最前的解法评分).
18. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．
（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；
（II）求事件B发生的概率；
（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率．
19. 已知函数
（1）求最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求的值域.
20. 哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.
（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；
（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
21. 如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
22. 平面内一组基底及任一向量，若点在直线上或在平行于的直线上，我们把直线以及与直线平行的直线称为“等和线”，此时为定值，请证明该结论.风化店中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试题 解析版
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，若与方向相同，则等于（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题知，解方程即可得答案.
【详解】解：向量，
若与方向相同，则，解得．
故选：D．
2. 已知复数，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先将复数化简，再利用模长公式即可求解.
【详解】，
，
故选：A.
3. 某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数
B. 甲班平均成绩高于乙班平均成绩
C. 甲班学生比乙班学生发挥稳定
D. 甲班不及格率高于乙班不及格率
【答案】D
【解析】
【分析】根据条形统计图和扇形图，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.
【详解】：因为每个班的总人数不确定，故无法比较；
：甲班及格人数占比，乙班及格人数占比，
故甲班平均成绩显然高于乙班平均成绩；
：无法确定甲班和乙班学生成绩的方差，故错误；
：甲班不及格率为，乙班不及格率为，故正确.
故选：.
【点睛】本题考查条形统计图和扇形图，属简单题.
4. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
5. 在ABC中，BC＝1，AB＝，C＝，则A＝（ ）
A. 或 B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理求出或，再检验即得解.
【详解】由正弦定理得
因,所以或，
因为BC＝1＜AB＝，
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
6. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】将多面体放置于正方体中，借助正方体分析多面体的结构，由此求解出异面直线AB与CD所成角的大小.
【详解】如图所示：将多面体放置于正方体中，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2
则
，，设异面直线AB与CD所成角为
所以，故
故选：C
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.
【详解】由，得，所以，
从而
故选：B
8. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，，则四棱锥的外接球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据四边形为矩形和，利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用面面垂直的判定定理得到平面平面，然后由，得到是等腰直角三角形，进而得到四棱锥的外接球的球心为AC，BD的交点，然后求得半径即可.
【详解】因为四边形为矩形，
所以 又，且，
所以 平面
所以 平面平面
又，
所以是等腰直角三角形，
所以其外接圆的圆心是CD的中点，又四边形为矩形的外接圆的圆心为AC，BD的交点，
所以四棱锥的外接球的球心为AC，BD的交点，
所以外接球的半径为,
所以四棱锥的外接球的体积为.
故选：D
【点睛】本题主要考查四棱锥的外接球的半径及体积的求法以及线面垂直，面面垂直的判定定理的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某人射箭9次，射中的环数依次为：7，8，9，7，6，9，8，10，8，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 这组数据的众数是8
B. 这组数据的平均数是8
C. 这组数据的中位数是6
D. 这组数据的方差是
【答案】ABD
【解析】
【分析】先将数据从小到大排列，再求得这组数据的众数、中位数、平均数和方差.
【详解】数据从小到大排列为：，
所以众数，A选项正确；中位数为，C选项错误；
平均数为，所以B选项正确；
方差为，所以D选项正确.
故选：ABD
【点睛】本小题主要考查样本众数、中位数、平均数和方差的计算，属于基础题..
10. 为不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
A. 若，那么
B. 若，那么
C. 若，那么
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据线面平行的性质可判断A，根据线面的位置关系及面面的位置关系可判断BD，根据面面平行及线面平行的概念可判断C.
【详解】对于A，因为，由线面平行的性质可知存在直线且，由，可得，，故A正确；
对于B，若，则与可能平行，也可能相交，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则与可能平行，也可能相交，故D错误.
故选：AC
11. 函数的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.下列说法正确的是（ ）
A. 在上是增函数
B. 的图象关于对称
C. 是奇函数
D. 的最小正周期为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用图象可确定最小正周期，由此可得，结合五点作图法可确定，利用可求得，从而得到解析式；根据三角函数平移变换可得；利用代入检验法、奇偶性定义和正弦型函数周期性，依次验证各个选项即可.
【详解】由图象可知：最小正周期，，
由五点作图法可知：，解得：，
又，，，
，，
，；
对于A，当时，，此时单调递减，A错误；
对于B，当时，，是的对称轴，B正确；
对于C，，奇函数，C正确；
对于D，由正弦型函数周期性知：的最小正周期，D正确.
故选：BCD.
12. 点分别是正方体的棱的中点，如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；
②过点的截面是正方形；
③点在直线上运动时，总有；
④点在直线上运动时，三棱锥的体积是定值；
⑤点是正方体的面内的到点和的距离相等的点，则点的轨迹是一条线段.
A. ①③ B. ③④ C. ②⑤ D. ③⑤
【答案】BD
【解析】
【分析】以三棱锥为例判断①，根据四边形的形状判断②，根据棱锥的体积公式判断③；根据平面判断④，根据平面，且，判断⑤．
【详解】解：对于①，以三棱锥为例，则此三棱锥的4个面均为直角三角形，故①错误；
对于②，连接，
因为点分别的棱的中点，所以，
所以四边形即为截面，
又，所以过点、、的截面为矩形，故②错误；
对于③，连接，
因为平面，平面，
所以，
因为分别为的中点，所以，
所以，所以，
所以，
所以，
又平面，
所以平面，
当在直线上运动时，平面，
所以，故③正确；
连接，则四边形为矩形，当在直线上运动时，△的面积为定值，到平面即平面的距离为定值，
所以的体积是定值，故④正确；
对于⑤， 因为平面，且，
所以线段上的点到点和的距离相等，
所以的轨迹是线段，故⑤正确．
故选：BD．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为______________，80%分位数是______________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用极差和百分位数的概念求解.
【详解】由题意知：
数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是；
所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位数是.
故答案为：7，8.5.
【点睛】本题主要考查极差和百分位数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14. 如图所示，圆柱高为2，底面半径为1，则在圆柱侧面上从A出发经过母线到达的最短距离为___________.
【答案】
【解析】
【分析】把圆柱侧面母线剪开摊平为一个矩形，矩形的对角线长妈为所求最短距离．由此计算可得．
【详解】把圆柱侧面沿母线剪开摊平为一个矩形，如图，
，所求最短距离为．
故答案为：．
15. ，，当时，的值域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】由平面向量数量积的坐标运算可得，
其中为锐角且，，
因为，所以，，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，又因为，，
因此，函数的值域为.
故答案为：.
16. 如图所示，在中，在边上，延长到，使得，若为非零常数，则的长度是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出的坐标，再把的坐标用表示，由列方程可求出，然后分类求得点的坐标，从而可求出的长.
【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，
由，得
,
，
因为，
所以，解得，或（舍去）
所以直线的方程为，直线的方程为，
两方程联立，解得，
所以点的坐标为，
所以，
即的长度是，
故答案为：
四 解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 在锐角中，设角，，所对的边长分别为，，，且.
（1）求的大小；
（2）若，，点在边上，___________，求的长.
请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答(如选多个条件作答，按排列最前的解法评分).
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，化简可得；
（2）若选①由余弦定理可求的值，在，中，分别用余弦定理，结合，可求得的值；若选②，由，利用三角形的面积公式即可求解的值；若选③，由余弦定理可求得的值，利用三角形的面积公式可得，进而可得的值.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得.
因为为锐角三角形，所以，所以.
所以.
又因为，所以.
（2）若选①.
在中，由余弦定理，得
，
所以，所以.
在中，由余弦定理，得，
即，
在中，由余弦定理，得，
即.
又，所以.
所以，
所以.
若选②.
在中，，
即，
即，
解得.
若选③.
在中，由余弦定理，得
，所以.
因为，又，
所以，解得.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
18. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．
（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；
（II）求事件B发生的概率；
（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率．
【答案】（I）||=36，P（A）= （II）（III）
【解析】
【分析】（I）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（II）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（III）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件与事件至少有一个发生的概率.
【详解】（I）所有可能的基本事件为：
共种.
其中“两数之和为”的有共种，故.
（II）由（I）得“两数之和是的倍数”的有共种，故概率为.
（III）由（I） “两个数均为偶数”的有种，“两数之和为”的有共种，重复的有 三种，故事件与事件至少有一个发生的有种，概率为.
【点睛】本小题主要考查古典概型的计算公式，考查列举法求解古典概型问题，属于基础题.
19. 已知函数
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求的值域.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦的和差公式展开，再利用倍角公式与逆用正弦的和差公式化简得，进而求得其最小正周期和单调递增区间；
（2）利用的图像性质，即可求得的值域.
【小问1详解】
，
所以的最小正周期为，
由，得，
所以的单调增区间为，
【小问2详解】
当时，，故，
所以的值域为.
20. 哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.
（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；
（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
【答案】（1），；中位数为；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人列式求解a，b的值，再根据中位数左右两边的面积均为计算即可.
（2）在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，
在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，再利用枚举法求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图的面积和为1，则
，得，
又由100人中分数段的人数比分数段的人数多6人
则，解得，
中位数中位数为
（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A，
由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，
在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种
抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，，，，，，，，共8种
所以抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.
21. 如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】(1)如图所示，连结，
等边中，，则，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合 平面，故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.
设，则，,，
据此可得：，
由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，
故直线EF的方向向量为：
设平面的法向量为，则：
，
据此可得平面的一个法向量为，
此时，
设直线EF与平面所成角为，则.
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
22. 平面内一组基底及任一向量，若点在直线上或在平行于的直线上，我们把直线以及与直线平行的直线称为“等和线”，此时为定值，请证明该结论.
【答案】见解析
【解析】
【分析】如图，为直线上的点，若，过点作直线，再根据平面向量共线定理及推理即可得出结论.
【详解】解：如图，为直线上的点，若，
那么，
从而有，即，
另一方面，过点作直线，在上任作一点，
连接，则，
以为基底时，
，
所以，即，
综上，为定值.
