佳一中2022-2023学年高二上学期9月开学调研考试
数学试卷 解析版
一、单选题（共8道小题，每题5分，共40分）
1. 平面∥平面，，则直线和的位置关系（ ）
A. 平行 B. 平行或异面 C. 平行或相交 D. 平行或相交或异面
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面∥平面，可得平面与平面没有公共点，根据，可得直线，没有公共点，即可得到结论．
【详解】∵平面平面，∴平面与平面没有公共点
∵，，∴直线，没有公共点
∴直线，的位置关系是平行或异面，
故选：B.
2. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）
A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9
【答案】C
【解析】
【分析】由对立事件概率关系得到B发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求P(A + B).
【详解】因为，事件B与C对立，所以，又，A与B互斥，所以，故选C.
【点睛】本题考查互斥事件的概率，能利用对立事件概率之和为1进行计算，属于基本题.
3. 复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用复数的运算求出，再由共轭复数的定义求出，然后由虚部的定义可求.
【详解】解：，
，
，
所以的虚部为1.
故选：D.
4. 如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据斜二测画法求解.
【详解】直观图如图所示：
由图知：原图形的周长为,
故选：C
5. 8位居民的幸福感指为5、7、9、6、10、4、7、6，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得；
【详解】解：这组数据按照从小到大排列为：4，5，6，6，7，7，9，10，
因为，其比邻整数为7，故第80百分位数是第7个数为9，
故选：C
6. 某场羽毛球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人进行比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现用计算机产生1~5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下：
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
423 123 423 344 114 453 525 332 152 345
根据以上数据，利用随机模拟试验，估计该场比赛甲获胜概率为（ ）
A. 0.452 B. 0.6 C. 0.648 D. 0.65
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机数中出现1，2或3比4，5多的数的频率判断即可
【详解】由题意，表示甲获胜的数有512，125，432，334，151，314，423，123，423，114，332，152共12组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为
故选：B
7. 已知，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解．
【详解】，，
在上的投影向量为．
故选：A．
8. 平行四边形中，，，，为中点，点在对角线上，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，由题意可得出，由此可求得实数的值.
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、、，
，，，
所以，，
，，则，
因此，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用平面向量垂直求参数，解题的关键就是选择合适的位置建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来求解.
二、多选题（共4道小题，每题5分，共20分）
9. 已知某公司共有员工人，岁以下的员工有人，到岁的员工人，为了了解公司员工的身体情况，进行分层抽样，抽取一个容量为的样本，得到身体健康状况良好的比例如下：岁以下的员工占，到岁的员工占，其他员工占．下列说法正确的是（ ）
A. 从岁以上的员工抽取了人
B. 每名员工被抽到的概率为
C. 估计该公司员工身体健康状况良好率为（百分数保留一位小数）
D. 身体健康状况欠佳的人数最多的年龄层是岁到岁
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用分层抽样可判断A选项；计算出每名员工被抽到的概率，可判断B选项；计算出该公司员工身体健康状况良好率，可判断C选项；计算出三个年龄段的员工身体健康状况欠佳的人数，可判断D选项.
【详解】对于A选项，该公司岁以上员工人数为，
所以，样本中岁以上的员工人数为，A对；
对于B选项，每名员工被抽到的概率为，B对；
对于C选项，估计该公司员工身体健康状况良好率为，C错；
对于D选项，岁以下的员工身体健康状况欠佳的人数为，
岁到岁的员工身体健康状况欠佳的人数为，
岁以上的员工身体健康状况欠佳的人数为，
所以，身体健康状况欠佳的人数最多的年龄层是岁到岁，D对.
故选：ABD.
10. 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.
【详解】
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
11. 已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则O是外心 B. 若，则P是垂心
C. 若，则N是重心 D. 若，则I是内心
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.
【详解】根据外心的定义，易知A正确；
对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；
对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；
对D，由题意，，则I是垂心，故D错误.
故选：ABC.
12. 已知在平行四边形ABCD中，，，，把△ABD沿BD折起使得A点变为，则（ ）
A.
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 当时，三棱锥的外接球的半径为
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，利用余弦定理进行求解；B选项，先得到当平面平面BCD时，三棱锥的体积最大，利用等体积法求出点到平面BCD的距离，从而求出最大体积；C选项，对棱相等的三棱锥可补形为长方体，求出长方体的体对角线的一半即为外接球半径，设出长方体的长宽高，列出方程组，进行求解；D选项，由余弦定理进行求解.
【详解】对于选项A，由余弦定理得，
∴，故选项A正确；
对于选项B，当平面平面BCD时，三棱锥的体积最大，
设此时点到平面BCD的距离为h，则，
解得：
∴三棱锥体积的最大值，
故选项B错误；
对于选项C，当时，把三棱锥补成一个长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
设长方体的三条棱长分别为x，y，z，外接球的半径为R，
则，
∴，
解得，故选项C正确；
对于选项D，由，且，得，故选项D正确．
故选：ACD
【点睛】对于对棱相等的三棱锥的外接球问题，要将此三棱锥的棱长对应某一个长方体的面对角线，此时长方体的外接球即为次三棱锥的外接球.
三、填空题（共4道小题，每题5分，共20分）
13. 如图，在正方体中，，依次是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__．
【答案】
【解析】
【分析】连、、，利用平行四边形可得，可得是异面直线与所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果.
【详解】在正方体中，连、、，
，依次是和的中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以且，又且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
，是异面直线与所成角（或所成角的补角），
设正方体的棱长为2，则，
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理，属于基础题.
14. 如图中，已知点在边上，，，，，则长为____
【答案】
【解析】
【分析】通过诱导公式易知，利用余弦定理计算即得结论．
【详解】解：，，
，
又，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求三角形中某条线段的长度，利用三角函数的诱导公式、余弦定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
15. 已知样本数据的平均数与方差分别是和，若，且样本数据的平均数与方差分别是和，则________.
【答案】100
【解析】
【分析】首项根据平均数和方差的相关性质列出方程，求出，再利用平均数和方差的关系式求出.
【详解】由题意得：，解得：，
所以，
，
化简得：，
.
故答案为：100
16. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是___________．
①勒洛四面体被平面截得的截面面积是
②勒洛四面体内切球的半径是
③勒洛四面体的截面面积的最大值为
④勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
【答案】③④
【解析】
【分析】求出勒洛四面体被平面截得的截面面积判断①，③；求出勒洛四面体内切球的半径判断②，④作答.
【详解】观察几何体知，勒洛四面体的最大截面是经过正四面体的任意三个顶点的平面截勒洛四面体而得，
勒洛四面体被平面截得的截面是正及外面拼接上以各边为弦的三个弓形，
弓形弧是以正各顶点为圆心，边长为半径且所含圆心角为的扇形弧，如图，
因此，截面面积为：，①不正确，③正确；
由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体内切球、外接球球心，如图，
正外接圆半径，正四面体的高，
令正四面体的外接球半径为，在中，，解得，
因此，勒洛四面体内切球半径为，②不正确，
勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球，
所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，④正确.
故答案为：③④
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
四、解答题（共6道大题，共70分）
17. 已知.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设得，应用空间向量夹角的坐标表示求即可.
（2）根据已知向量垂直有，应用空间向量数量积的坐标表示列方程，求的值.
【详解】（1）由已知得：，，
.
（2）由，即，
∴，解得.
18. 某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．
（1）求实数的值；
（2）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）
（3）现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．
【答案】（1）；
（2）平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图所有频率和为1可求得；
（2）利用频率分布直方图中每组数据区间的中点值乘以相应频率相加可求得平均数，判断中位数对应的区间，求出频率0.5对应的值即为中位数；
（3）先算出从购车补贴金额的心理预期值在 的6人中，在 间的有4人，然后根据列举法列出所有可能的基本事件15种，选出都在预期值间的情况6种，利用古典概型公式计算即可。
【小问1详解】
由题意知，，解得．
【小问2详解】
平均数的估计值为
万元
因为，则中位数在区间（3，4）内．
设中位数为，则，
得，所以中位数的估计值为3.33万元．
【小问3详解】
从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为a，b，c，d，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，则基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15种情况．
其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种情况，所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率．
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为，O是中点，所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，设,
所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连结，则．
因为平面，所以平面，
为二面角的平面角．
因为，所以．
由已知得，故．
又，所以．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得．
如图可知，即有，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥的体积为．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.
20. 已知分别为锐角三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若，求周长取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简可得，即可求得结果.
（2）由正弦定理结合辅助角公式得，再由角的范围结合三角函数的性质求得的范围，即可求得周长的范围.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得
且
所以，且
则
所以
【小问2详解】
由正弦定理得，
则
，
又是锐角三角形，则，，
可得，
又周长为，且
故周长的取值范围为.
21. 甲、乙、丙三人进行摔跤比赛，比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，另一人当裁判，没有平局；②每场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；③累计负两场者被淘汰；④当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人累计负两场被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各局比赛的结果相互独立．经抽签，第一．场比赛甲当裁判．
（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率；
（3）求甲最终获胜的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况有2种①乙胜丙、乙胜甲、乙胜丙②乙胜丙、甲胜乙、甲胜丙，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
（2）首先分析出只需四场比赛就决出冠军的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
（3）首先分析出甲最终获胜的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
【小问1详解】
记事件A为甲胜乙，则，，
事件B为甲胜丙，则，，
事件C为乙胜丙，则，，
前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为
【小问2详解】
只需四场比赛就决出冠军的概率为
．
【小问3详解】
由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为，第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件D，甲当裁判为事件E，
．
22. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．
（1）延长交于点Q（图1），求的值；
（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．
（i）求证为定值；
（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值；
（2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可.
【小问1详解】
依题意，因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
设，则有，
因为三点共线，所以，解得，
即，所以，所以；
【小问2详解】
（i）根据题意,
同理可得：，
由（1）可知，，
所以，
因为三点共线，所以，
化简得，
即为定值，且定值为3；
（ii）根据题意，，
，
所以，
由（i）可知，则，
所以，
易知，当时，有最小值，此时.佳一中2022-2023学年高二上学期9月开学调研考试
数学试卷 原卷版
一、单选题（共8道小题，每题5分，共40分）
1. 平面∥平面，，则直线和的位置关系（ ）
A. 平行 B. 平行或异面 C. 平行或相交 D. 平行或相交或异面
2. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）
A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9
3. 复数满足，则的虚部为（ ）
A B. C. D.
4. 如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D.
5. 8位居民的幸福感指为5、7、9、6、10、4、7、6，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 某场羽毛球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人进行比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现用计算机产生1~5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下：
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
423 123 423 344 114 453 525 332 152 345
根据以上数据，利用随机模拟试验，估计该场比赛甲获胜的概率为（ ）
A 0.452 B. 0.6 C. 0.648 D. 0.65
7. 已知，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 平行四边形中，，，，为中点，点在对角线上，且，若，则（ ）
A B. C. D.
二、多选题（共4道小题，每题5分，共20分）
9. 已知某公司共有员工人，岁以下的员工有人，到岁的员工人，为了了解公司员工的身体情况，进行分层抽样，抽取一个容量为的样本，得到身体健康状况良好的比例如下：岁以下的员工占，到岁的员工占，其他员工占．下列说法正确的是（ ）
A. 从岁以上的员工抽取了人
B. 每名员工被抽到的概率为
C. 估计该公司员工身体健康状况良好率为（百分数保留一位小数）
D. 身体健康状况欠佳人数最多的年龄层是岁到岁
10. 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则O是外心 B. 若，则P是垂心
C. 若，则N是重心 D. 若，则I是内心
12. 已知在平行四边形ABCD中，，，，把△ABD沿BD折起使得A点变，则（ ）
A.
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 当时，三棱锥的外接球的半径为
D. 当时，
三、填空题（共4道小题，每题5分，共20分）
13. 如图，在正方体中，，依次是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__．
14. 如图中，已知点在边上，，，，，则的长为____
15. 已知样本数据的平均数与方差分别是和，若，且样本数据的平均数与方差分别是和，则________.
16. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是___________．
①勒洛四面体被平面截得的截面面积是
②勒洛四面体内切球的半径是
③勒洛四面体的截面面积的最大值为
④勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
四、解答题（共6道大题，共70分）
17. 已知.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值.
18. 某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．
（1）求实数的值；
（2）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）
（3）现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
20. 已知分别为锐角三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若，求周长取值范围.
21. 甲、乙、丙三人进行摔跤比赛，比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，另一人当裁判，没有平局；②每场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；③累计负两场者被淘汰；④当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人累计负两场被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各局比赛的结果相互独立．经抽签，第一．场比赛甲当裁判．
（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率；
（3）求甲最终获胜的概率．
22. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．
（1）延长交于点Q（图1），求的值；
（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．
（i）求证为定值；
（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．
