宁朔县中2022-2023学年高三上学期8月开学考试
数学（理）试题 解析版
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合，再求集合与的并集
【详解】由题意得，则．
故选：C
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由全称命题的否定即可选出答案.
【详解】命题“，”的否定是 “，”
故选：C.
3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A. 是假命题 B. 是真命题
C. 是真命题 D. 是真命题
【答案】D
【解析】
【分析】先分别判断命题、的真假，再利用逻辑联结词“或”与“且”判断命题的真假.
【详解】由题意，判断得命题为真命题，命题为假命题，所以是假命题，为真命题，所以是真命题，是假命题，是假命题，是真命题.
故选：D
4. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】这个题的意思是要求不同函数的交集.
【详解】要使函数有意义，则，得，得，
即函数的定义域为，
故选：B.
5. 下列命题中，真命题是（ ）
A. “”是“”的必要条件 B. ，
C. D. 的充要条件是
【答案】B
【解析】
【分析】利用举反例可判断A，C，D，再根据指数函数的性质可判断B
【详解】解：对于A，当时，满足，但不满足，故“”不是“”的必要条件，故错误；
对于B，根据指数函数的性质可得，对于，，故正确；
对于C，当时，，故错误；
对于D，当时，满足，但不成立，故错误；
故选：B
6. 下列函数是偶函数且在上单调递增的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据选项，逐个判断奇偶性和单调性，然后可得答案.
【详解】对于选项A，，为奇函数，不合题意；
对于选项B，，偶函数，且当时，为增函数，符合题意；
对于选项C，的定义域为，既不是奇函数又不是偶函数；
对于选项D，的定义域为，既不是奇函数又不是偶函数；
故选：B.
7. 下列函数中，值域是的是（ ）
A. y=2x+1(x>0) B. y=x2
C. D. y=
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件逐一求出各选项中函数值域，从而得结论.
【详解】对于A，函数y=2x+1在上的值域为，A不是；
对于B，二次函数的值域为，B不是；
对于C，函数值域为，C是；
对于D，函数y=的值域为，D不是.
故选：C
8. 若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.
【详解】函数的对称轴为，由于在上是减函数，
所以.
故选:A
9. 已知奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A. （－∞，－2）∪（0，2） B. （－2，0）∪（2，＋∞）
C. （－∞，－2）∪（2，＋∞） D. （－2，0）∪（0，2）
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意得到函数在上单调递减，且，再结合单调性解不等式即可.
【详解】因为奇函数在上单调递减，且，
所以函数在上单调递减，且，
所以当，，，满足，
当，，，不满足，
当，，，不满足，
当，，，满足，
综上：的解集为.
故选：C
10. 函数的单调递增区间是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数定义域，进而根据“同增异减”求得答案.
【详解】由题意，，，按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是.
故选：A.
11. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
12. 已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断的奇偶性与单调性，由题意列不等式后求解
【详解】由得定义域为，
，故为偶函数，
而，在上单调递增，
故在上单调递增，
则可化为，得
解得
故选：D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，且，则等于__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：设，则，所以，所以.
考点：函数的解析式.
14. 已知函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.
【详解】当时，，解得，于是得：，
当时，，解得，于是得，
所以的解集为．
故答案为：
15. 定义在R上的奇函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：
①是周期函数；
②的图象关于直线对称；
③在上是减函数；
④．
其中正确命题的序号是_____．(写出所有正确命题的序号)
【答案】①②③④
【解析】
【分析】由可得，即可判断①；结合奇函数可得，即可判断②；易得，结合题意可得在上为增函数，根据对称性即可判断③；令即可判断④
【详解】因为，所以，所以，所以的周期为，即为周期函数，故①正确；
因为，所以，又因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，故②正确；
因为是定义在R上的奇函数，所以,因为在上为增函数，且为奇函数，所以在上为增函数，
因为关于直线对称，所以在上为减函数，故③正确；
由，令得，故④正确，
故答案为：①②③④
16. 若函数为偶函数，则_____．
【答案】1
【解析】
【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，
．
考点：函数的奇偶性．
【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．
三、解答题（本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知二次函数的最小值为3，且.
（1）求的解析式；
（2）若的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意设，代求出参数即可得出函数解析式；
（2）原不等式等价于恒成立，将二次函数函数配成顶点坐标式求出最小值即可得出其范围.
【详解】解：（1）因为二次函数中，所以对称轴为
又二次函数的最小值为3，故可设
所以
所以
（2）的图像恒在直线的上方
等价于即恒成立
因为
所以，即实数的取值范围.
【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
18. 已知在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线交曲线于，两点．
（1）求曲线与曲线的直角坐标方程；
（2）试判断曲线与曲线公共点的个数．
【答案】（1）；；（2）公共点的个数为．
【解析】
【分析】（1）利用极坐标转化公式，对曲线和曲线的极坐标进行转化，即可求出结果；
（2）根据（1）的直角坐标方程，将其联立，求解，即可判断曲线与曲线公共点的个数．
【详解】解：（1），
，，
即曲线的直角坐标方程为
，即曲线的直角坐标方程为．
（2）据（1）求解，得，
解得或，
所以曲线与曲线公共点的个数为．
19. 在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
由,得.
两边同乘,即.
由,得曲线的直角坐标方程为
【小问2详解】
将代入,得,
设A,B对应的参数分别为
则
所以.
由参数的几何意义得
20. 设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）画出图像，求函数最小值.
【答案】（1）
（2）图见解析，1
【解析】
【分析】（1）按，，分类讨论，画出图象，观察即可得的解集；
（2）由图像可知的最小值.
【小问1详解】
如图所示，
当时，解得；由解得，
由图可知不等式的解集为
【小问2详解】
由图可知当时，，
21. 已知
(1)解不等式；
(2)恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】（1）对分类讨论去绝对值号，然后根据分段函数的性质去解不等式即可；
（2）作出的图象，根据图象找出，要使得恒成立，则必有.
【详解】(1)，不等式可化为：或或，
解得：或或，综上：
(2)作出的图象如图：
要使得恒成立，则，由图可知：，即：
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，属于常考题.
22. 以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.
【答案】（1）（2）2
【解析】
【详解】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标互化公式，根据可得，所以曲线C的直角坐标方程为 ；（2）本问考查直线参数方程标准形式下的几何意义，即将直线参数方程的标准形式，代入到曲线C的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，设两点对应的参数分别为，列出，，，于是可以求出的最小值.
试题解析：（I）由由，得
曲线的直角坐标方程为
（II）将直线的参数方程代入，得
设两点对应的参数分别为则，，
当时，的最小值为2.
考点：1.极坐标方程；2.参数方程.宁朔县中2022-2023学年高三上学期8月开学考试
数学（理）试题 原卷版
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A. 是假命题 B. 是真命题
C. 真命题 D. 是真命题
4. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列命题中，真命题是（ ）
A. “”是“”的必要条件 B. ，
C. D. 的充要条件是
6. 下列函数是偶函数且在上单调递增的为（ ）
A. B. C. D.
7. 下列函数中，值域是的是（ ）
A. y=2x+1(x>0) B. y=x2
C. D. y=
8. 若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A （－∞，－2）∪（0，2） B. （－2，0）∪（2，＋∞）
C （－∞，－2）∪（2，＋∞） D. （－2，0）∪（0，2）
10. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
11. 设函数，则下列函数中为奇函数是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，且，则等于__________．
14. 已知函数，则不等式的解集为__________．
15. 定义在R上的奇函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：
①是周期函数；
②的图象关于直线对称；
③在上是减函数；
④．
其中正确命题的序号是_____．(写出所有正确命题的序号)
16. 若函数为偶函数，则_____．
三、解答题（本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知二次函数的最小值为3，且.
（1）求的解析式；
（2）若的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.
18. 已知在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线交曲线于，两点．
（1）求曲线与曲线的直角坐标方程；
（2）试判断曲线与曲线公共点的个数．
19. 在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．
20. 设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）画出图像，求函数最小值.
21. 已知
(1)解不等式；
(2)恒成立，求的取值范围.
22. 以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求最小值.
