宁朔县中2022-2023学年高三上学期8月开学考试
数学（文） 原卷版
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1. 设集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若点在角的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设数列中，（且），则（ ）
A. B. C. 2 D.
6. 设为等差数列的前项和，，，则
A. -6 B. -4 C. -2 D. 2
7. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像
A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位
D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位
8. 设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 66 B. 65 C. 64 D. 63
9. 已知函数为奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. 4 D.
10. 已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知数列是递增的等差数列，是与的等比中项，且.若，则数列的前项和（ ）
A. B.
C D.
12. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.
14. 已知函数的图像在点的处的切线过点，则 ________.
15. 函数（）的最大值是__________．
16. 关于函数在有_______个零点.
三、解答题（本大题共6个小题，其中17题为10分，其它小题为12分，共70分）
17. 已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
18. 在中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcos C＝（2a－c）cos B，
（1）求∠B的大小；
（2）若b＝，a＋c＝4，求的面积.
19. 已知函数 的部分图像如图所示.
（1）求解析式及对称中心；
（2）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间.
20. 在中，、、分别是角、、的对边，且.
（1）求角的值；
（2）若，且为锐角三角形，求取值范围.
21. 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
22. 2018年新课标I卷文】已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．宁朔县中2022-2023学年高三上学期8月开学考试
数学（文） 解析版
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：B.
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
3. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.
【详解】由于，所以命题为真命题；
由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选：A．
4. 若点在角的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题首先可根据题意得出，然后根据二倍角公式得出结果.
【详解】因为点在角的终边上，
所以，
则，
故选：B.
5. 设数列中，（且），则（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据递推关系求前4项，易知数列周期为3，进而求.
【详解】由已知得：，可求，
∴数列周期为3，
，
故选：A．
6. 设为等差数列的前项和，，，则
A. -6 B. -4 C. -2 D. 2
【答案】A
【解析】
【详解】由已知得
解得．
故选A．
考点：等差数列的通项公式和前项和公式．
7. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像
A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位
D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】由条件利用 的图像变换规律，得到结论．
【详解】把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数，再将函数的图像上所有点向右平移个单位得到函数．
故选A
【点睛】解决本题的关键在于 的图像变换规律的掌握，要灵活运用，一般分为两种：（1）先相位变换再周期变换；（2）先周期变换再相位变换．
8. 设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 66 B. 65 C. 64 D. 63
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列前项和的片段和性质求解即可.
【详解】解：由题知：，，
，
所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，
所以，解得.
故选：B.
9. 已知函数为奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由奇函数的性质有，结合的函数解析式即可求值.
【详解】由题设知：.
故选：B
10. 已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对函数求导，判断导函数的奇偶性，排除部分答案，接着将代入导函数即可解得答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴
∴是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，
将代入得：，排除C．
故选：A．
11. 已知数列是递增的等差数列，是与的等比中项，且.若，则数列的前项和（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】因为是递增的等差数列，所以先假设，接着利用题意得到的方程组，解出的值，就可以得到的通项公式，然后代入，进而求出的前项和
【详解】因为数列是递增的等差数列，所以数列的公差.
由题意得即
解得或（舍去）.
所以.
所以.
所以
故选：A.
12. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据可得为奇函数，由时，，可得时，，进而根据不等式即可求解.
【详解】由题意，因为，所以函数为奇函数，当时，，
所以当时，，所以函数在上单调递减，在上也单调递减，
又，所以由得或解得： 或
所以，
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.
【答案】；
【解析】
【详解】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝ an 1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1．
考点:等比数列的通项公式．
14. 已知函数的图像在点的处的切线过点，则 ________.
【答案】1
【解析】
【详解】试题分析：
.
考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.
【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得
15. 函数（）的最大值是__________．
【答案】1
【解析】
【详解】化简三角函数的解析式，
可得
，
由，可得，
当时，函数取得最大值1．
16. 关于函数在有_______个零点.
【答案】3
【解析】
【分析】根据解析式，结合三角函数的性质判断的奇偶性，再确定上的零点，由对称性即可知在上的零点个数.
【详解】，则函数是偶函数，
当，
由有，可得或，
由是偶函数，得在上还有一个零点，
∴函数上有3个零点.
故答案为：3
三、解答题（本大题共6个小题，其中17题为10分，其它小题为12分，共70分）
17. 已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求通项公式．
【答案】（1），，；（2）是首项为，公比为的等比数列．理由见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据题中条件所给的数列的递推公式，将其化为，分别令和，代入上式求得和，再利用，从而求得，，；
（2）利用条件可以得到，从而 可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列；
（3）借助等比数列的通项公式求得，从而求得.
【详解】（1）由条件可得．
将代入得，，而，所以，．
将代入得，，所以，．
从而，，；
（2）是首项为，公比为的等比数列．
由条件可得，即，又，
所以是首项为，公比为的等比数列；
（3）由（2）可得，所以．
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.
18. 在中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcos C＝（2a－c）cos B，
（1）求∠B的大小；
（2）若b＝，a＋c＝4，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，根据正弦定理可对条件进行边角转化，进而结合 ∠B的范围求解；
（2）由第（1）问∠B，结合b＝，a＋c＝4，借助余弦定理可以求解出ac，然后带入面积公式即可完成求解.
【小问1详解】
由已知及正弦定理可得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，
∴ 2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin（B＋C）．
又在三角形ABC中，sin（B＋C）＝sin A，
因为，所以sin A≠0，
∴ 2sin Acos B＝sin A，即cos B＝，
因为，B＝．
【小问2详解】
∵ b2＝7＝a2＋c2－2accos B，∴ 7＝a2＋c2－ac，
又 （a＋c）2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ ac＝3，
∴，
即.
19. 已知函数 的部分图像如图所示.
（1）求的解析式及对称中心；
（2）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间.
【答案】（1），对称中心为，.
（2）.
【解析】
【分析】(1) 由函数的图像的顶点坐标求出,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得的解析式,再利用三角函数的图像的对称性,得出结论.
(2)由题意利用函数的图像变换规律，求得的解析式,再利用余弦函数的单调性,定义域得出结论.
【小问1详解】
解：根据函数，，的部分图像，
可得，，．
再根据五点法作图，，，故有．
根据图像可得，是的图像的一个对称中心，
故函数的对称中心为，.
故答案为：，对称中心为，.
【小问2详解】
解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，再向右平移个单位，得到的图像，
即，令，，解得，，
可得减区间为，，结合，可得在上的单调递减区间为．
故答案为：.
20. 在中，、、分别是角、、的对边，且.
（1）求角的值；
（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1) .(2) .
【解析】
【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；
（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）由题意知，∴，
由余弦定理可知，，
又∵，∴.
（2）由正弦定理可知，，即
∴
，
又∵为锐角三角形，∴，即，
则，所以，
综上的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
21. 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.
22. 【2018年新课标I卷文】已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.
【解析】
【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；
(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.
详解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=．
从而f（x）=，f ′（x）=．
当02时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥时，f（x）≥．
设g（x）=，则
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当时，．
点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.
