三沙源上游高级中学校2022-2023学年高三上学期9月开学检测
数学试题（文科）解析版
时间：120分钟 分值：150分
班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，则下列式子中正确的是（ ）
A. M＝N
B. M N
C. N M
D. M∩N＝
【答案】C
【解析】
【分析】求得两个集合的元素，由此确定正确选项.
【详解】，所以，
，所以，所以.
故选：C
2. 若命题，则命题p的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据特称命题的否定的定义得到答案.
【详解】命题 p的否定是：.
故选：A.
3. 若．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
故选：D.
4. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导数，由导数大于0即可得增区间.
【详解】因为，，
所以，
令，解得，即函数的单调递增区间是，
故选：C.
5. 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2-x+a=0无实根的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2-x+a=0无实根，∴△=1-4a＜0，∵0＜a＜1，
∴∴事件“关于x的一元二次方程x2-x+a=0无实根”的概率为.
故选C．
考点：几何概型意义;模拟方法估计概率．
6. 若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为
A. 8 B. 15 C. 16 D. 32
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：样本数据，，，的标准差为，所以方差为64，由可得数据，，，的方差为，所以标准差为
考点：方差与标准差
7. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取（人）,故选B.
考点：茎叶图
【名师点睛】系统抽样是指当总体中个数较多时，将总体分成均衡的几部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本的抽样方法，其实质为等距抽样. 茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．缺点为不能直接反映总体的分布情况. 由数据集中情况可以估计平均数大小，再根据其分散程度可以估测方差大小．
8. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】理解程序框图功能后由茎叶图数据求解
【详解】由题意得为成绩大于等于80的学生人数，为成绩大于等于60且小于80的学生人数，
再由茎叶图数据得
故选：B
9. 当时，函数取得最大值，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
10. 已知偶函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件可以得出的周期，结合奇偶性和单调性化简，得出大小关系．
【详解】对于任意都有，，即周期为，偶函数在区间上是单调递增，，，，即
故选：D
11. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，，所以，函数为偶函数，
排除BC选项；
当时，，则，排除D选项.
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
12. 已知,若函数有四个零点,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意得函数是偶函数，
所以要使函数有四个零点，只需要方程有两个正根，
即有两个正根．
设，则
∴当时，单调递增；当时，单调递减．
∴当
故要使有两个正根，即和有两个交点，需满足．
∴实数的取值范围是选D．
点睛：
本题考查由函数的零点个数求参数的取值范围，解题时先根据函数为偶函数，将问题转化为方程有两个正根的问题处理．然后在此基础上又将问题转化为两函数的的图象在上有两个交点的问题，最后利用导数得到函数的单调性，并进一步得到函数图象的大体形状，利用数形结合的方法求得参数的取值范围．解答本题时要注意转化和数形结合的应用．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 若复数满足，则的虚部为______.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即可.
【详解】由题.故虚部为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了复数的除法与模长的计算和虚部的概念等.属于基础题型.
14. 已知：式中变量满足的束条件则z的最大值为______．
【答案】5
【解析】
【详解】依题意，画出可行域（如图示），
则对于目标函数y＝2x﹣z，
当直线经过A（2，﹣1）时，
z取到最大值，Zmax＝5．
故答案为：5．
15. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【答案】##0.3
【解析】
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
16. 已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【详解】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17. 为进一步推进全国文明城市创建工作，营造浓厚的创建氛围，确保创建工作高质量达标．某市物业主管部门决定在市区住宅小区开展文明城市创建工作满意度测评，现从某小区居民中随机抽取若干人进行评分，绘制出如下的频率分布直方图（分组区间为，，，，，），并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
（1）求表中a的值；若用A表示事件“满意度评分不低于80分”，将频率视为概率，求事件A发生的概率．
（2）若居民的满意指数不低于0.9，则该小区可获得“最美小区”称号．根据你所学的统计知识，判断该小区是否能获得“最美小区”称号？并说明理由．
（注：满意指数）
【答案】（1）；概率估计值为0.6
（2）该小区不可获得“最美小区”称号；理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据每个矩形的面积之和为1，即可求得的值；计算最后两个矩形的面积和即为事件A发生的概率；
（2）根据频率分布直方图，计算满意度的平均分，再计算满意指数，即可作出判断.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知：
，
解得，
“满意度评分不低于80分”的频率为：．
因此，事件A发生的概率估计值为0.6．
【小问2详解】
满意度的平均分为：,
所以居民的满意指数,
所以该小区不可获得“最美小区”称号.
18. 2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话.会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全.因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵.国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 40
注射疫苗 60
总计 100 100 200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.
（1）求列联表中的数据，，，的值；
（2）能否有把握认为注射此种疫苗有效？
（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率.
附：，.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1），，，，（2）没有把握认为注射此种疫苗有效.（3）.
【解析】
【分析】（1）结合题表，列出方程，即可得出答案．（2）利用卡方计算公式计算（3）先列出所有可能的情况，列举出满足条件的个数，然后利用古典概型计算公式．
【详解】（1）由题意，易得，，，，
（2）由
得，
所以没有把握认为注射此种疫苗有效.
（3）由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例为，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，用，，表示，2只已注射疫苗，用，表示，从这五只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况共有以下10种：
，，，，，，，，，.
其中至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下7种：，，，，，，
所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为.
【点睛】本道题目考查了卡方公式和古典概型计算公式，注意公式牢记，同时明白利用古典概型计算公式，计算结果，即可得出答案．
19. 足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球．为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
年份x 2014 2015 2016 2017 2018
足球特色学校y（百个） 0.30 0.60 1.00 1.40 170
（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱．
（已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较弱）：
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）．
参考公式和数据：， ，，．
【答案】（1），y与x线性相关性很强
（2）；244个
【解析】
【分析】（1）根据公式求解相关系数r，再根据判断即可；
（2）先根据公式求得回归方程，再代入求解即可.
【小问1详解】
由题得，
.
所以，
∴y与x线性相关性很强．
【小问2详解】
，，
∴y关于x线性回归方程是．当时，
，
即该地区2020年足球特色学校有244个．
20. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
（1）求a，b，c的值;
（2）求y＝f(x)区间[－3，1]上最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义列方程组，即可得解；
（2）求导，确定函数的单调性和极值，再和端点值比较即可得解.
【详解】（1）由题意，，
因为曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，
所以，，
又当时，y＝f(x)有极值，所以，
所以；
（2）由（1）得，，
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
又，，，，
所以在[－3,1]上的最大值为，最小值为.
21. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）对任意，求证：
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论和时，函数的单调性；（2）首先将不等式变形，转化为证明构造函数，然后利用二次导数求函数的最小值大于0，即可证明.
【详解】（1）函数定义域是
当时，恒成立，故函数)在上单调递增
当时，令，得令，得.
故函数在上递减，在递增
（2）要证，即证
即证，又，所以，即证
令，则
令，则
容易得在递增，且
所以存在唯一的实数，使得
所以在递减，在递增
因为
所以当时，当时
所以在上递减，在上递增
所以
综上，即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.
（1）若，求线段中点的坐标；
（2）若，其中，求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程，当时，设点对应参数为．直线方程为代入曲线的普通方程，得，由韦达定理和中点坐标公式求得，代入直线的参数方程可得点的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得，求得的值即得斜率.
试题解析：设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．
（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．
代入曲线的普通方程，得，则，
所以，点的坐标为．
（2）将代入，得，
因为，，所以．
得．由于，故．
所以直线的斜率为．
考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，，进而分和两种情况讨论求解即可；
（2）由题知在上恒成立，进而根据绝对值三角不等式将问题转化为恒成立，进而解不等式即可得答案.
【小问1详解】
解：当时，
所以当时，，此时的解集为；
当时，，此时的解集为，
所以当时，求不等式的解集为
【小问2详解】
解：因为当时，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为由绝对值三角不等式得：，
所以恒成立，即，解得
所以实数a的取值范围是三沙源上游高级中学校2022-2023学年高三上学期9月开学检测
数学试题（文科） 原卷版
时间：120分钟 分值：150分
班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，则下列式子中正确的是（ ）
A. M＝N
B. M N
C. N M
D. M∩N＝
2. 若命题，则命题p的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若．则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数单调递增区间是（ ）
A B. C. D.
5. 利用计算机产生0～1之间均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2-x+a=0无实根的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为
A. 8 B. 15 C. 16 D. 32
7. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的分别是（ ）
A. B. C. D.
9. 当时，函数取得最大值，则（ ）
A. B. C. D. 1
10. 已知偶函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
11. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知,若函数有四个零点,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 若复数满足，则虚部为______.
14. 已知：式中变量满足的束条件则z的最大值为______．
15. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
16. 已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17. 为进一步推进全国文明城市创建工作，营造浓厚的创建氛围，确保创建工作高质量达标．某市物业主管部门决定在市区住宅小区开展文明城市创建工作满意度测评，现从某小区居民中随机抽取若干人进行评分，绘制出如下的频率分布直方图（分组区间为，，，，，），并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
（1）求表中a的值；若用A表示事件“满意度评分不低于80分”，将频率视为概率，求事件A发生的概率．
（2）若居民的满意指数不低于0.9，则该小区可获得“最美小区”称号．根据你所学的统计知识，判断该小区是否能获得“最美小区”称号？并说明理由．
（注：满意指数）
18. 2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话.会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全.因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵.国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 40
注射疫苗 60
总计 100 100 200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.
（1）求列联表中的数据，，，的值；
（2）能否有把握认为注射此种疫苗有效？
（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率.
附：，.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
19. 足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球．为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
年份x 2014 2015 2016 2017 2018
足球特色学校y（百个） 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70
（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱．
（已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较弱）：
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）．
参考公式和数据：， ，，．
20. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
（1）求a，b，c的值;
（2）求y＝f(x)在区间[－3，1]上最大值和最小值．
21. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）对任意，求证：
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.
（1）若，求线段中点的坐标；
（2）若，其中，求直线的斜率.
选修4-5：不等式选讲
23 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围．
