上海市复旦附高2022-2023学年高一上学期9月开学考试
数学试题 原卷版
一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分．满分54分）
1. 使等式成立的的取值范围是________.
2. 若，则实数______．
3. 设集合，，若，则实数的取值范围__________．
4. 若对任意的，均有（、为常数），则________.
5. 一组数据，，，的中位数是，且是满足不等式组的整数，则这组数据的平均数是______．
6. 已知、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点对称点坐标为，则二次函数的最小值为______．
7. 设，则用含的最简分式形式表示代数式的值为______．
8. 小明想测量一棵树的高度，他发现谁的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图1），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米（如图2），则树的高度为________.
9. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为2，圆心角为，则图中阴影部分的面积是________.
10. 如图，矩形纸片，长，宽，将其折叠，使点与点重合，那么折叠后的长为______．
11. 一个三角形的边长分別为、、，另一个三角形的边长分別为、、，其中，若两个三角形的最小内角相等，的值等于______．
12. 从、、、、这个正整数中取出个正整数，要求满足：任何两个正整数的差的绝对值都不等于或，那么的最大值为______．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 已知集合，，则、间的关系为（ ）
A. B. C. D.
14. 已知，使代数式的值为有理数的的集合是（ ）
A. B. C. 使的集合 D. 使的集合
15. 设、、是实数，，，，则、、中至少有一个值（ ）
A. 大于 B. 等于 C. 不大于 D. 小于
16. 如图，扇形的半径，圆心角，是弧上不同于、的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且，设的长为，的面积为，下面表示与的函数关系式的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
三、解答题（本大题共有5题、满分76分）
17. 解方程：．
18. 已知，，.求：
（1）使， 的值；
（2）使的 的值.
19. 已知方程组（，为未知数）有两组不同的实数解，，
（1）求实数的取值范围；
（2）如果，求实数的值.
20. 已知集合.
（1）证明：若，则，；
（2）证明：若，则，并由此证明中元素若满足，则；
（3）设，试求满足所有的可能值.
21. 若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：①，；②若、，则，且时，．
（1）分別判断集合，有理数集否是“好集”，并说明理由；
（2）设集合是“好集”，求证：若、，则；
（3）对任意的一个“好集”，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若、，则必有．上海市复旦附高2022-2023学年高一上学期9月开学考试
数学试题 解析版
一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分．满分54分）
1. 使等式成立的的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】先化简得，再根据绝对值的意义即可得答案.
【详解】解：因为，
所以
因
所以，
所以，即
故满足条件的的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查根据根式化简结果求参数范围，是基础题.
2. 若，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】讨论或，解出的值，由集合的互异性即可得出答案.
【详解】当x＝-2时，，与互异性矛盾.
当时，解得x＝-1或x＝-2（舍去）．
当x＝-1时符合题意，
故答案为：.
3. 设集合，，若，则实数的取值范围__________．
【答案】
【解析】
【分析】
在数轴上表示出两个集合，然后根据集合的包含关系得出的取值范围.
【详解】，，又，在数轴上表示可得：
由图可知，.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数的范围，考查逻辑思维能力和数形结合思想，属于基础题.
4. 若对任意的，均有（、为常数），则________.
【答案】
【解析】
【分析】先化简方程，再根据等式恒成立列等量关系，解得、，即得结果.
【详解】
因为对任意的，恒成立，
所以或
故答案为：
【点睛】本题考查方程恒成立问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
5. 一组数据，，，的中位数是，且是满足不等式组的整数，则这组数据的平均数是______．
【答案】
【解析】
【分析】由平均数和中位数的定义即可得出答案.
【详解】解不等式组得，因为是整数，
数据3，6，8，的中位数是，所以．
这组数据的平均数是．
故答案为：.
6. 已知、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的对称点坐标为，则二次函数的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】用待定系数法求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质求出最值即可．
【详解】因为、两点关于轴对称，点的坐标为，所以点的坐标为，
又点在反比例函数的图象上，点在—次函数的图象上，
所以，整理得，所以，即，
所以，故二次函数，二次项系数为，故函数有最小值，最小值为．
故答案为：
7. 设，则用含的最简分式形式表示代数式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】已知式取倒数后求得，待求式变形为关于的式子，代入后化简可得．
【详解】由得，所以．
所以．
故答案为：．
8. 小明想测量一棵树的高度，他发现谁的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图1），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米（如图2），则树的高度为________.
【答案】米
【解析】
【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长,然后根据物长和影长的比值计算即可.
【详解】延长AC交BF延长线于D点，
则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，
在RtCFE中，∠CFE=30°， CF =4m，
所以CE=2 (米)，EF =4cos30°= (米)，
在RtCED中，
同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，米，CE：DE=1：2，
DE=4 (米)，
BD= BF+EF+ ED=12+ (米)，
在RtABD中， (米) .
故答案为： (+6)米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．
9. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为2，圆心角为，则图中阴影部分的面积是________.
【答案】
【解析】
【分析】先求扇形的面积，再求扇形在四边形内面积，最后相减得结果.
【详解】扇形的面积为,连接,设
因此
即扇形在四边形内面积等于内面积，即为，
因此图中阴影部分的面积是，
故答案为：
【点睛】本题考查扇形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
10. 如图，矩形纸片，长，宽，将其折叠，使点与点重合，那么折叠后的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】设DE长为x cm，利用矩形性质、勾股定理列方程求x值即可.
【详解】设DE长为x cm，则，BE＝x cm，
因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝90°，
由勾股定理得，即，解得x＝5，即DE长为5cm．
故答案为：
11. 一个三角形的边长分別为、、，另一个三角形的边长分別为、、，其中，若两个三角形的最小内角相等，的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】中，，，在中，，，．
过点作于点H，过作于点．设，利用勾股定理求得，然后在两个直角三角形中由建立的关系求得．
【详解】如图，中，，，
在中，，，．
过点作于点H，过作于点．设．
因为，所以，
所以，因为∠B＝∠E，所以，所以，
因为，，所以，所以，解得．
故答案为：．
12. 从、、、、这个正整数中取出个正整数，要求满足：任何两个正整数的差的绝对值都不等于或，那么的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知在任意相邻的个正整数中，要想选出符合条件的，可求出满组条件的数的最大个数，结合周期性可得解.
【详解】根据和互素可知，取、、、、这个整数，
按照、、、、、、、、、、排成一圈，
这样能确保任意相邻两个数的差的绝对值为或，
所以，在任意相邻的个正整数中，要想选出符合条件的，最多能选出个数，
因此，.
而且满足条件的一组数可以是：、、、、、、、、、，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于找出连续的1整数中所满足条件的最多的整数的个数，结合周期性求解.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 已知集合，，则、间的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合，即可得出结论.
【详解】因为，故.
故选：D.
14. 已知，使代数式的值为有理数的的集合是（ ）
A. B. C. 使的集合 D. 使的集合
【答案】B
【解析】
【分析】根据分母有理化化简后的结果判断可得．
详解】，则，
故选：B．
15. 设、、是实数，，，，则、、中至少有一个值（ ）
A. 大于 B. 等于 C. 不大于 D. 小于
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得，假设、、推出矛盾结论，即可得答案.
【详解】由
假设x、y、z都不大于0，即，，，则，显然出现矛盾．
所以假设不成立，即原命题的结论x、y、z中至少有一个大于0．
故选：A
16. 如图，扇形的半径，圆心角，是弧上不同于、的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且，设的长为，的面积为，下面表示与的函数关系式的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算得出与的函数关系式，由此可得出与的函数图象.
【详解】连接，则，，，
，
则关于的函数不是一次函数，
令，则，
内层函数在区间上单调递增，
外层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，即，，可得；
当时，即，，可得.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故符合条件的图象为选项A中的图象.
故选：A.
【点睛】本题考查函数图象的判断，结合题意建立函数解析式是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、解答题（本大题共有5题、满分76分）
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】方程变形为，然后按绝对值的定义分类讨论，去掉绝对值后平方求解．
【详解】由得，
当时，，所以，
所以（舍去）；
当时，，所以，
所以，又，所以．
18. 已知，，.求：
（1）使， 的 的值；
（2）使的 的值.
【答案】（1），或，；（2），或，
【解析】
【分析】（1）由元素与集合的关系和集合与集合的关系可得，，，联立方程即可得出结果.
（2）根据集合相等，集合中的元素相同，可得，解方程即可得出结果 。
【详解】（1）因为，所以
又因为 ，所以，解得或
当时，，解得
当时，，解得
所以，，或，；
（2），，解得或
所以，，或，.
【点睛】本题考查了集合的性质及元素与集合、集合与集合间的关系，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
19. 已知方程组（，为未知数）有两组不同的实数解，，
（1）求实数的取值范围；
（2）如果，求实数的值.
【答案】（1）且；（2）.
【解析】
【分析】（1）先化简方程组，再根据二次方程有两个不同解列条件，解得结果；
（2）先化简条件为关于等量关系，再利用韦达定理化简，解得的值.
【详解】（1）
因为方程组有两组不同的实数解，所以有两个不同的实数解
所以且；
（2）
因为，
所以
因且，所以.
【点睛】本题考查方程组有解问题、利用韦达定理求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.
20. 已知集合.
（1）证明：若，则，；
（2）证明：若，则，并由此证明中的元素若满足，则；
（3）设，试求满足的所有的可能值.
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）c＝7+4
【解析】
【分析】（1）若，则且，, ,得到 ， 均满足集合的性质，进而得到结论.
（2）构造函数，分析其单调性，进而得到中元素若满足，则.
（3）设，结合（1）（2）中的结论，可得值.
【详解】证明：（1）若a∈A，则a＝m+n且m2﹣3n2＝1，m，n∈Z，
则m+（﹣n）且m2﹣3（﹣n）2＝1，m，﹣n∈Z，
故∈A，
则（m+n）＝（2m﹣3n）+（2n﹣m），
此时（2m﹣3n）2﹣3（2n﹣m）2＝m2﹣3n2＝1，
故∈A；
（2）令f（x）＝x（x≥1），则在上的单调递增，
证明：设，
则
∵ ，
∴，，
故，即，在上的单调递增
∵1＜p≤q，f（1）＝2
∴2；
令b＝m+n且m2﹣3n2＝1，m，n∈Z，
∵1，
∴2＜b，
∴2＜2m≤4，
则m＝2，n＝1，则b＝2；
（3）∵c∈A，且2c≤（2）2，
∴∈A，且12，
由（2）得：2，
∴c＝（2）2＝7+4
【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系，对勾函数的单调性，是集合、函数、不等式的综合应用，是中档题.
21. 若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：①，；②若、，则，且时，．
（1）分別判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
（2）设集合是“好集”，求证：若、，则；
（3）对任意的一个“好集”，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若、，则必有．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）真命题，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“好集”的定义判断即可，
（2）根据“好集”的定义先证明，再可证得，
（3）由“好集”的定义可得当x、y中有0和1时，显然，当x、y均不含0，1，由定义得，，，然后由好集的定义证明即可.
【小问1详解】
集合B不是“好集”，理由是，，而，
所以B不是“好集”；
有理数集Q是“好集”，理由是，；
对任意，，有，且，时，；
所以有理数集Q是“好集”；
【小问2详解】
因为集合A是“好集”，所以，
若x、，则，即，
所以，即；
【小问3详解】
对任意一个“好集”A，任取x、，若x、y中有0和1时，显然，
下面设x、y均不含0，1，由定义得，，，
所以，所以，
由（2）得，同理，
若x＋y＝0．或x＋y＝1．显然，
若，且，则，所以，所以，
由（2）得，所以，
综上，．
