仁寿第一中学校2022-2023学年高一上学期9月开学考试
数学试题 解析版
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接计算即可.
【详解】，
故选：A.
2. 要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要是二次根式有意义，只需要即可.
【详解】根据二次根式有意义的条件，得，解得.
故选：B
3. “五一”期间，某景点接待海内外游客共688000人次，688000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此解答即可．
【详解】解：688000=
故选：C
4. 已知，则（ ）
A. 38 B. 36 C. 34 D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】对进行平方即可得到答案
【详解】解：对进行平方可得，
所以.
故选：C
5. 设集合 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合A的补集，根据集合的交集运算求得答案.
详解】由题意得， ,
故选：C．
6. 命题“，”的否定形式为（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】依据全称命题的否定规则即可得到命题“，使”的否定形式.
【详解】命题“，”的否定形式为，
故选：A
7. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】解不等式得：或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的解析式可计算出的值.
【详解】因为，则.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 命题“，使得”的否定是“，均有”
B.
C. “”是“”的必要不充分条件
D. 如果，那么
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用存在命题的否定变换形式即可得出答案；根据全称量词命题的真假即可得出答案；利用充分性和必要性的定义，逐个选项判断求解即可；利用不等式的性质即可得出答案.
【详解】对于A，命题“，使得”的否定是“，
均有”，所以，A错误；
对于B，，，所以，B正确；
对于C，，所以，“”不一定能得到“”，
充分性不成立，而“”成立，则“”成立，所以，必要性成立，C正确；
对于D，如果，则，所以，，所以，D正确；
故选：BCD
10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的解集判断的关系，判断ABC的正误，然后根据参数间的关系将不等式转化为，求得解集即可.
【详解】由题知，方程的两个根为，4，且，故A正确；
由韦达定理知，，解得，，故B正确；
，故C错误；
不等式等价于，即，
解得解集为，故D正确；
故选：ABD
11. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】CD
【解析】
【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；
对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；
对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；
对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.
故选：CD
12. 已知函数，则（ ）
A. B. 若，则或
C. 函数在上单调递减 D. 函数在的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可
【详解】函数的图象如左图所示．
，故A错误；
当时，，此时方程无解；当时，或，故B正确；
由图象可得，在上单调递增，故C错误；
由图象可知当时，，，故在的值域为，D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 计算：______.
【答案】.
【解析】
分析】将，代入计算即可.
【详解】原式.
故答案为:.
14. 分解因式：______.
【答案】
【解析】
【分析】提取公因式3，再逆用完全平方公式，即可写出答案.
【详解】
故答案为：
15. 若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是________.
【答案】或
【解析】
【分析】求出函数的对称轴，由或即可求解.
【详解】因为的对称轴为，
若函数在上具有单调性，
则或，解得：或.
故答案为：或.
16. 设函数，则函数的最大值为______；函数与的图象的交点个数是______.
【答案】 ①. 1 ②. 4
【解析】
【分析】作出函数与的图象，即可求解
【详解】作出函数与的图象，如图：
由图象可知：
函数的最大值为1，
函数与的图象的交点个数是4个，
故答案为：1；4
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）解关于的不等式
（2）解关于不等式．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）将不等式转化为即可得解；（2）等价转化为，可求解集.
【详解】（1）由可得：，所以，故解集为：；
（2），等价转化为，
解得
所以不等式的解集为．
18. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）-2； （2）.
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即得解;
（2）利用分数指数幂的运算法则计算即得解
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
19. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集的概念进行运算可得结果；
（2）根据子集关系列式可求出结果.
【小问1详解】
当时，，
因此.
【小问2详解】
因，，，
所以，
经计算得，
故实数的取值范围是
20. 求证函数在区间上单调递减．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据减函数的定义即可证明.
【详解】，且，
，，
，，
在区间上单调递减.
21. 某公司计划从甲 乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销件.已知产销两种产品的有关信息如表：
产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件）
甲 6 20 200
乙 20 10 80
其中为常数，且
（1）若产销甲 乙两种产品的年利润分别为万元 万元，直接写出与的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由.
【答案】（1），，
（2）万元，440万元
（3）生产乙产品利润较高，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据表中的数据直接可得与的函数关系式，
（2）根据函数的单调性可求得产品的最大年利润，
（3）分，和三种情况结合分析求解即可.
【小问1详解】
，，
【小问2详解】
对于，因为，所以当时，取得最大值万元，
对于，所以当时，取得最大值440万元，
【小问3详解】
①当时，解得，
②当时，解得，
③当时，解得，
∵，
∴当时，生产甲乙两种产品的利润相同.当时，生产甲产品利润比较高.当时，生产乙产品利润较高.
22. 如图，已知抛物线过点.
（1）求抛物线C的解析式；
（2）如图1，在第一象限内抛物线C上有一点，使，求值；
（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求的最小值，并求出此时点P的坐标.
【答案】（1）
（2）
（3）最小值为55，
【解析】
【分析】（1）将A点代入抛物线方程，即可求出抛物线解析式；
（2）根据题意求出线段OT和OA、AT的长度，根据勾股定理列式求出t值即可求解；
（3）设P点坐标，求出AP和OP长度，即可求出表达式为二次函数，最小值在对称轴处取得.
【小问1详解】
因为抛物线过点，
所以，解得，
则抛物线C的解析式为.
【小问2详解】
由（1）知，则 ，因为x轴、y轴相互垂直，
根据勾股定理可得、、
根据可得，则，
即，整理得，
又因为T点在第一象限，所以，
解得，则.
【小问3详解】
设，则，，
所以，
其最小值在处取得，即，最小值为55.仁寿第一中学校2022-2023学年高一上学期9月开学考试
数学试题 原卷版
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3. “五一”期间，某景点接待海内外游客共688000人次，688000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则（ ）
A. 38 B. 36 C. 34 D. 32
5. 设集合 ，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 命题“，”的否定形式为（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题是真命题是（ ）
A. 命题“，使得”的否定是“，均有”
B.
C. “”是“”的必要不充分条件
D. 如果，那么
10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. D. 不等式的解集为
11. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C 与 D. 与
12 已知函数，则（ ）
A. B. 若，则或
C. 函数在上单调递减 D. 函数在的值域为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 计算：______.
14. 分解因式：______.
15. 若函数在上具有单调性，则实数取值范围是________.
16. 设函数，则函数的最大值为______；函数与的图象的交点个数是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）解关于的不等式
（2）解关于的不等式．
18. 计算：
（1）；
（2）.
19. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
20. 求证函数在区间上单调递减．
21. 某公司计划从甲 乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销件.已知产销两种产品的有关信息如表：
产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件）
甲 6 20 200
乙 20 10 80
其中为常数，且
（1）若产销甲 乙两种产品年利润分别为万元 万元，直接写出与的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由.
22. 如图，已知抛物线过点.
（1）求抛物线C的解析式；
（2）如图1，在第一象限内抛物线C上有一点，使，求的值；
（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求的最小值，并求出此时点P的坐标.
