咸水沽第一高中2022-2023学年高三上学期9月开学检测
数学试卷 原卷版
一、单项选择题（本大题共9小题，共45分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合， ， ，则
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
2. 已知条件，条件，则是的（ ）
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
3. 已知，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
4. 已知定义在R上奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于
A. B. C. D.
7. 为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（ ）
A. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
D. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
8. 已知中，且，则是
A. 正三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形或直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形
9. 曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
10. 是虚数单位，则的值为__________.
11. 经过两直线和的交点且与直线垂直的直线l的方程为___________.
12. 直线过点且与圆交于两点，如果，那么直线方程为_______________．
13. 函数的定义域为_____________．
14. 若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
15. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，若，则_____
三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知函数，．
（1）求使得的最大值时的集合；
（2）求在，上的单调减区间；
（3）若方程在上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．
17. 在中，角、、所对的边为、、．已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值.
18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求在上最大值.
19. 已知函数．
（1）求证：在上是单调递增函数；
（2）若在上的值域是，求a的值．
20. 如图，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角余弦值为，求线段的长.咸水沽第一高中2022-2023学年高三上学期9月开学检测
数学试卷 解析版
一、单项选择题（本大题共9小题，共45分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合， ， ，则
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
【分析】先求，再求．
【详解】因为，
所以.
故选D．
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2. 已知条件，条件，则是的（ ）
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中条件，由充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】若，，则满足，但不满足，即由不能推出；
若，，则满足，但不满足，即由不能推出；
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.
3. 已知，，，则的大小关系为
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】，
，
，故，
所以．
故选A．
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数单调性进行比较．
4. 已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得出函数的图象关于直线对称，这样得出函数在上是增函数，再由奇函数得出在上是增函数，利用奇函数得，从而得出，确定的值或范围后利用单调性可比较大小．
【详解】因为是定义在R上的奇函数且满足，
，所以的图象关于直线对称，
在上是减函数，则在上是增函数，
又是奇函数，所以在上是增函数，
所以在上是增函数，在上是减函数，
结合奇函数得，所以，
，，，
所以，即，
故选：C．
5. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出函数的奇偶性，可排除BC；再判断时的正负即可得出结论.
【详解】，是奇函数，图象关于原点对称，故BC错误；
又时，，故D错误.
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6. 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由题意知二次函数的对称轴为，则，所以函数的解析式为，.故选D.
考点：二次函数性质的应用.
【方法点晴】此题主要考查二次函数图象对称轴与单调区间等有关方面的知识与技能，属于中低档题型.二次函数的对称轴是二次函数图象增与减的分界线，若，即开口向上，则图象在对轴的左侧为单调递减，右侧为单调递增；若，即开口向下，则图象在对称轴的左侧为单调递增，右侧为单调递减.由题意知，二次函数的对称轴为，从而问题可得解.
7. 为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（ ）
A. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C. 各点横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
D. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数周期变换与相位变换的性质，逐一验证四个选项即可得结果.
【详解】图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，
得到的图象，
再向左平移个单位得，
所以，为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上，
各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，
故选：B.
8. 已知中，且，则是
A. 正三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形或直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由tanA+tanBtanAtanB，推导出C＝60°，由，推导出A＝60°或90°，从而得到△ABC的形状．
【详解】∵tanA+tanBtanAtanB，
即tanA+tanB（1﹣tanAtanB），
∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，
∴A+B＝120°，即C＝60°，
∵，∴
∴2B＝60°或120°，则A=90°或60°.
由题意知
∴△ABC等边三角形．
故选A．
【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．
9. 曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
10. 是虚数单位，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
【详解】．
【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.
11. 经过两直线和的交点且与直线垂直的直线l的方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出两直线的交点坐标，再根据直线l与直线垂直，可得直线l的斜率，再利用点斜式即可得出答案.
【详解】解：由方程组
得
又所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率，
∴直线方程为，
即.
故答案为：.
12. 直线过点且与圆交于两点，如果，那么直线的方程为_______________．
【答案】或．
【解析】
【分析】按直线的斜率存在与不存在分类，斜率不存在时直接写出直线方程求得其与圆的交点坐标，检验两点间距离符合题意，斜率存在时设直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得参数值得直线方程．
【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为与已知圆的交点为和，这两点间距离为8，满足题意，
当直线斜率存在时，设其方程为，即，
圆心坐标为，圆半径为5，
所以，解得，
直线方程为，即．
故答案为：或．
13. 函数的定义域为_____________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：,所以函数的定义域为.
考点：定义域.
14. 若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－2,1)
【解析】
【详解】试题分析：由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围．解：∵过点P（1-a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0， ，故答案为
考点：直线的斜率公式
点评：本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．
15. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，若，则_____
【答案】
【解析】
【分析】根据条件和正弦定理可得，然后变形可得答案.
【详解】依题由正弦定理得：,
即,∴
故答案为：
三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知函数，．
（1）求使得的最大值时的集合；
（2）求在，上的单调减区间；
（3）若方程在上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
【分析】
（1）化简得到，计算得到答案.
（2）设，根据单调区间得到计算得到答案.
（3）根据（2）得到在上单调递增，在上单调递减，计算最值得到答案.
【详解】（1）
设，函数取得最大值的集合为
，解得：
所以使得的最大值时的集合为：.
（2）设，
函数的单调减区间是
即，解得 所以函数的单调减区间是.
（3）由（2）可知在上单调递增，在上单调递减
且
若方程在上有两个不同的实数解，则.
【点睛】本题考查了三角函数的单调性，最值，方程解的个数问题，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.
17. 在中，角、、所对的边为、、．已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理和正弦定理可得出关于、的方程组，结合可求得的值；
（2）利用诱导公式以及二倍角公式可求得、的值，再利用两角和的余弦公式可求得结果.
【小问1详解】
解：由余弦定理得，所以，，
由正弦定理可得，且，则，
因为，则，
所以，，解得，.
【小问2详解】
解：因为，则为钝角，、为锐角，
，
，
因此，.
18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求在上的最大值.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义可知，和，求，的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，先求，再求 ，利用的正负，分析的单调性，并求的最小值，并判断的单调性，求函数的最大值.
【详解】（Ⅰ），
由题设得，，
解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，所以.
【点睛】本题考查函数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，重点考查了推理和计算能力，属于中档题型，本题的难点是第二问，需求函数的二阶导数，从二阶导数的正负，分析的单调性，
19. 已知函数．
（1）求证：在上是单调递增函数；
（2）若在上的值域是，求a的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
(1）利用函数单调性的定义，设，再将变形，证明差为正即可；
(2）)由(1) 在上是单调递增函数，从而在上单调递增，由可求得a的值.
【详解】，
在上是单调递增函数，
（2）在上是单调递增函数，
在上单调递增，
所以
.
【点睛】本题考查函数单调性的判断与证明，着重考查函数单调性的定义及其应用，属于中档题.
20. 如图，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；
(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.
【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，
可得.
设，则.
(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
(Ⅱ)依题意，，
设为平面BDE的法向量，
则，即，
不妨令z=1，可得，
因此有.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.
不妨令y=1，可得.
由题意，有，解得.
经检验，符合题意
所以，线段的长为.
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
