2.4 线段、角的轴对称性（3）
【学习目标】
基本目标：
1. 会用尺规作角的平分线
2．探索了解角平分线的性质定理及其逆定理并会简单应用
提高目标：熟练运用角平分线的性质定理及其逆定理
【重点难点】
重点：利用角的轴对称性探索角平分线的性质.
难点：理解“点在角平分线上”的证明方法．
【课堂导学】
想一想：
1．画∠AOB，折纸使OA、OB重合，折痕与∠AOB有什么关系？
2．在折痕上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D、E，那么PD与PE有什么关系？试证明你的结论.
3.反之，如图，若PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，则点P与∠AOB有何关系？试证明你的结论.
【新知归纳】
1.角是___________图形，_______________________是它的对称轴.
2.角平分线上的点到_________________________的距离相等.
符号语言：如图，
∵OP平分∠AOB，且_____________，______________
∴______________________
3.角的内部_________________________的点在角的平分线上.
符号语言：如图，
∵______________，_______________，且PD＝PE
∴______________________
【例题讲解】
例 1 如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点，⊥，⊥，⊥，垂足分别为．则
(1) 与相等吗？为什么？
(2) 点在∠ACB的平分线上吗？为什么？
例 2 尺规作图：
（1）作∠的平分线.（如图①）
（2）已知∠内有两点、.求作一点，使点到、的距离相等，且. （如图②）
图① 图②
【课堂检测】
1.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA＝1200，则（ ）
A. DE＞DF B. DE＜DF
C. DE＝DF D. 不能确定DE、DF的大小.
2.如图，点P是△ABC内角∠ABC与它外角∠ACD角平分线的交点，已知P到直线BC的距离为5cm，则P到直线AB的距离是 ；到直线AC的距离是 。
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E点，若AB＝36cm，BC＝24cm，△ABC的面积为144cm2,则DE＝ cm.
第1题 第2题 第3题
4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上．
【课后巩固】
夯实基础
1．下列说法正确的是（ ）
①角平分线上的任意一点到角的两边的线段长相等； ②角是轴对称图形；③线段不是轴对称图形； ④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
A．①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ②③④
2．到三角形三边的距离相等的点是三角形（ ）
A.三条边上的高线的交点 B. 三个内角平分线的交点
C.三条边上的中线的交点 D.以上结论都不对 题3
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是 .（用含m，n的式子表示）
4．利用网格线作图.
（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；（2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC.
5.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足，那么点D在∠A的平分线上吗？请说明理由.
二、加深理解
6．如图，点D，P在∠ABC的平分线上，PA⊥AB，PC⊥CB.
则AD=CD,∠ADB=∠CDB吗？为什么
三、拓展延伸
7.如图，已知BP,CP是△ABC的外角平分线，则点P必在∠BAC的平分线上，为什么？2.4线段、角的轴对称性（1）
【学习目标】
1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体会轴对称性的特征.
2.探索证明线段的垂直平分线的性质.
3.运用线段的垂直平分线的性质解决相关问题.
4.进一步体会轴对称性的特征，发展空间观念.
【重点难点】
重点：线段的轴对称性.
难点：线段的垂直平分线的性质及其应用.
【课堂导学】
一、情境创设
问题、线段是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
二、探究活动
1．在一张薄纸上任意画一条线段AB，折纸使两个端点A与B重合，
你将发现____________________________________.
2．在折痕上任意取一点P，连接PA、PB，再沿原折痕重新折叠，
你又发现________________________________________________.
归纳： 1:______________________________________________ __
2:___________
3.线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？为什么？
问题：题中已知________________条件？要说明_________________结论？
题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说道理
归纳总结
线段垂直平分线的性质：
即：如图，∵直线是线段AB的垂直平分线, 点P在直线上
∴ .
例题讲解
例1．已知：如图，AB=AC=12 ，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，
（1）若AD=9，求△ABD的周长。
（2）若△ABD的周长等于30，求DC的长.
例2．如图，有一条河，河岸的同一侧住着一个小孩和他的外婆。小孩每天上学前要到河边提一桶水送给外婆。他想，到河边哪一点去取水，所走的路程最短。请你画出取水点P的位置。
【课堂检测】
1．线段垂直平分线上的点到 的距离相等．
2．O为线段AB的垂直平分线MN上一点，OA=3 cm，则OB=_______．
3．如图，P是线段AB的垂直平分线MN上的点，O是MN与AB的交点，PA=5 cm，OB=3 cm，则PB=_________cm，△PAB的周长为__________cm．
4．如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、BA于点D、E，则△AEC的周长为 ( )
A．a+b B．a－b C．2a+b D．a+2b
5.已知：在△ABC中，AB＜AC， BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，
AC＝8 cm，△ABE的周长是14 cm，求AB的长．
【课后巩固】
夯实基础
1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果∠ECD=55°，那么下列说法错
误的是 （ ）
A．EC=ED B．EF⊥CD C．∠D=55° D．EC=CD
2．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm，BD=2.3cm，则四边形ACBD周长是 。
3．利用右边的网络画图中线段的垂直平分线
4．如图，AB是线段CD的垂直平分线，则图中全等三角形对数有 （ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．如图，在△ABC中，∠ABC=∠C,∠A=50°，DE是AB的垂直平分线，E为垂足，交AC于点D，则∠ABD= °，∠DBC= °。
6．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，交BC于E，交AC于D．若△ABD周长为10，AC=7，则AB长是 。
二、加深理解
7．如图，在△ABC中,AB的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D。AC的垂直平分线FG交BC于点G垂足为F. 若BC=15cm，求△AEG的周长.
三、拓展延伸
8．已知：如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线m、n相交于点O。
求证：点O到△ABC三个顶点的距离相等。课题：2.4 线段、角的轴对称性（2）
【学习目标】
1.探索线段的对称性，体验轴对称的特性，发展空间观念；
2.理解到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3.经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养
思考的严谨性和表达的条理性.
【重点难点】
理解到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
【课堂导学】
活动一
想一想: 线段的垂直平分线有什么性质？这个命题的条件和结论分别是什么？它的逆命题是什么？逆命题正确吗？
你能找出到已知线段AB两端距离相等的点吗？这样的点有多少个？你有什么猜想？
活动二：
用直尺和圆规作出线段的垂直平分线
如图，已知线段AB，按照下面的作法作出线段AB的垂直平分线．
(1)分别以点A、B为圆心， 的长为半径画弧，两弧相交于点C、D．
(2)过C、D两点作 ． 所以 就是线段AB的垂直平分线．
【新知归纳】.
1的点在线段的垂直平分线上.
即：如图，∵PA=PB
∴ .
2.线段的垂直平分线是 的集合.
巩固练习：
1.已知线段AB及一点P，PA＝PB，则点P在 上．
2.已知：PA＝PB,QA＝QB,
(1)由PA＝PB，则点P在线段AB的 ；
(2)由QA＝QB，则点Q在线段AB的 ；
(3)过点P、Q画一条直线，则直线PQ是线段AB的 ；
【例题教学】
例1.已知：如图，在△ABC中
（1）尺规作图：AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O.
（2）OA与OB、OC有什么关系？
例2. 如图，AB＝AC，DB＝DC，F在线段AD的延长线上，求证：BF＝CF．
【课堂检测】
1．利用网格在图中找一点O，使OA=OB=OC.
2．如图，AC=AD，线段AB经过线段CD的中点E，求证：BC=BD．
【课后巩固】
夯实基础
1．如图所示，是一块三角形的地，A、B、C是三个小区，现要建一菜场，要使菜场到三个小区的距离相等，菜场的位置应选在( )
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
2．已知：如图，四边形ABCD关于BD所在的直线MN对称，其中A，C是对称点，则直线MN与线段AC的关系是__________.
3．如图，在△ABC 中，∠C=900，AB的垂直平分线交AC于D点，垂足为E，且，∠1=2∠2，∠A= .
4．如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，AC与DB交于点M．
求证：(1)△ABC≌△DCB．
(2)点M在BC的垂直平分线上．
5．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．
求证：(1) ∠EDC＝∠ECD；
(2) OC＝OD；
(3) OE是线段CD的垂直平分线．
二、加深理解
6．分别作锐角、直角、钝角三角形的三条垂直平分线，并探索其交点有何规律。
三、拓展延伸
7．如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，
求证：BD＝AC＋CD.2.4线段、角的轴对称性（4）
【学习目标】
1.熟练利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有理有据；
2.经历运用线段和角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的
严谨性和表达的条理性．
3.在问题解决过程中，灵活地使用分析法和综合法的思考方法。
【重点难点】
重点：综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题。
难点：解决问题过程中表达的条理性。
【课堂导学】
1.想一想：任意画∠O,在∠O的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB,过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设两条垂线相交于点P,点P在∠A0B的平分线上吗？为什么？
2.如图1，△ABC中，∠B＝900，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠CAD＝4：1，则∠C＝_______.
3．如图2，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若∠1＝20 ，
则∠3＝____ ；若PD＝1cm，则PE＝_________cm.
【例题讲解】
例1.如图，已知在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN垂直于AB于点N，PM垂直于AC于点M，求证：BN＝CM．
例2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE⊥AB,DF⊥AC垂足分别为E、F，且DE＝DF.
求证：D是BC的中点
【课堂检测】
如图，△ABC中，∠C＝90°,BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15cm，且CD：AD＝2：3，则点D到AB的距离为__________cm.
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点E，交AB于点D，△ACE的周长为11cm，AB＝4cm，则△ABC的周长为__________cm.
3.如图，八（1）班与八（2）班这两个班的学生分别在M、N两处参加劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，你能利用尺规作图找出符合条件的点P，并简要说明理由吗？
【课后巩固】
夯实基础
1.到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ）
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
2.如图,△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C＝150, ∠BAD＝600，则△ABC是__________三角形.
3.（1）利用网格线画出图中四边形ABCD的任意两个内角的平分线，设它们相交于点O；
（2）观察点O是否在另两个内角的平分线上。
二、加深理解
4.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DFAC，垂足为E、F．
求证：AD垂直平分EF．
三、拓展延伸
5. 画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC.
把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F.度量PE、PF的长度，这两条线段相等吗？
把三角尺绕点P旋转，PE与PF相等吗？
通过实验可以得到PE=PF的结论，现在请你证明这个结论.
6．如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？
