人教B版（2019）数学选择性必修第一册 2.4曲线与方程（新课讲义）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）数学选择性必修第一册 2.4曲线与方程（新课讲义） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 276.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-16 15:36:34 | ||
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文档简介
2.4曲线方程（新课）
知识梳理
曲线方程的定义
在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程上的解为坐标的点都在曲线上；
那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
求轨迹方程的基本流程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1．五种轨迹方程求法：
（1）直接法：当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；
（2）定义法：当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；
（3）代入法（相关点法）：当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法；
（4）消参法：求动点轨迹方程时借助中间参量得到横纵坐标关系，进一步得到方程；
（5）交轨法：求两条动曲线交点轨迹方程时可由方程直接消去参数，得到轨迹方程。
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
典例解析
考点一：曲线的方程
例1．下列点在曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2．若曲线经过点和，则________，________.
考点二：方程的曲线
例2．方程的曲线是（ ）
A． B． C． D．
变式1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对
变式2．方程（3x-y+1）（y-）=0表示的曲线为（ ）
A．一条线段和半个圆 B．一条线段和一个圆
C．一条线段和半个椭圆 D．两条线段
例3．已知直线l的方程是，点不在直线l上，则方程表示的曲线是（ ）
A．直线l B．与l垂直的一条直线
C．与l平行的一条直线 D．与l平行的两条直线
变式1．已知圆C的方程为，点在圆外，点在圆上，则表示的曲线是（ ）
A．就是圆C B．过点A且与圆C相交的圆
C．可能不是圆 D．过点A且与圆C同心的圆
变式2．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题，下列命题中是真命题为（ ）
A．方程表示的曲线是C B．方程是曲线C的方程
C．方程的曲线不一定是C D．以方程的解为坐标的点都在曲线C上
考点三：直接法
例4．已知曲线上任意一点到原点的距离与到的距离之比为，求曲线的方程．
变式1．动点P到点A(6，0)的距离是到点B(2，0)的距离的倍，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．(x+2)2+y2=32 B．x2+y2=16
C．(x-1)2+y2=16 D．x2+(y-1)2=16
变式2．与点和点连线的斜率之和为的动点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
考点四：定义法
例5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．以和为端点的线段的方程是________.
变式2．已知A(－2,0)，B(2,0)，△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是( )
A．一个点 B．两个点
C．一条直线 D．两条直线
考点五：代入法（相关点法）
例6．已知定点，点是圆上一动点，点是的中点，求点的轨迹方程．
变式1．点与圆上任一点连结的中点轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若，点是圆上的动点，求线段中点的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
考点六：消参法
例7．设A，B分别是直线y＝2x和y＝﹣2x上的动点，满足|AB|＝4，则A的中点M的轨迹方程为_____．
变式1.过曲线y2=2x的顶点，作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB中点的轨迹。
变式2．一曲线顶点M坐标为，当m变化时，顶点M的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
考点七：交轨法
例8．已知三点A（-4，0）、B（4，0）、F（8，0），直线l的方程为x=2，过F作互相垂直的两条直线，分别交l于M、N点，直线AM、BN交于P点，求P点的轨迹方程．
变式1.A、B是曲线与x轴的两个交点，P是曲线异于A、B的动点，直线l1过A点垂直于AP，直线l2过B点垂直于BP，求l1 、l2的交点Q的轨迹方程．
变式2．已知点A（-1，0），B（1，0），C、D为圆上不同两点，且CD⊥轴，则直线AC和BD的交点M的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
巩固练习
1．“以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
2．若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.
3．已知方程①；②；③；④，其中能表示直角坐标系的第一 三象限的角平分线C的方程的序号是________.
4．方程表示的曲线是________.
5．方程所表示的图形是________.
6．平面内有两定点,且 ，动点 满足 ，则点轨迹是( )
A．线段 B．半圆 C．圆 D．直线
7．设动点P是曲线上任意一点，定点，点M分PA所成的比为，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．（）和
C．（） D．（）和（）
10．由动点向圆引两条切线，切点分别为，，则动点的轨迹方程为________．
11．一个动点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为________.
12．已知点到两个顶点，距离的比为，求动点的轨迹的方程
13．已知曲线是动点到两个定点、距离之比为的点的轨迹.
（1）求曲线的方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
14．已知圆，点，点M在圆O上移动，且动点P满足，求动点P的轨迹方程.
15．圆，过原点作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程.
16．已知圆的方程为，过点作圆的弦，求弦的中点的轨迹．
2.4曲线与方程答案
例1．B
变式1．B
变式2． 2
例2．D
变式1．C
变式2．A
例3．C
变式1．D
变式2．C
例4．（1）；
变式1．A
变式2．B
例5．D
变式1．
变式2．D
例6． (x―2)2+y2=1
变式1.A
变式2．（Ⅰ）圆C的方程为：（Ⅱ）表示以（1，1）为圆心，为半径的圆
例7．
变式1.
变式2.D
例8．
变式1 .
变式2.A
巩固练习
1．必要不充分
2．
3．①
4．射线和直线
5．两条射线和
6．C
7．A
8．D
10．
11．
12．（1）x2+y2―6x+1=0；
13．（1）；(2），．
14．
15．
16．以为圆心，半径长为的圆
知识梳理
曲线方程的定义
在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程上的解为坐标的点都在曲线上；
那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
求轨迹方程的基本流程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1．五种轨迹方程求法：
（1）直接法：当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；
（2）定义法：当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；
（3）代入法（相关点法）：当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法；
（4）消参法：求动点轨迹方程时借助中间参量得到横纵坐标关系，进一步得到方程；
（5）交轨法：求两条动曲线交点轨迹方程时可由方程直接消去参数，得到轨迹方程。
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
典例解析
考点一：曲线的方程
例1．下列点在曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2．若曲线经过点和，则________，________.
考点二：方程的曲线
例2．方程的曲线是（ ）
A． B． C． D．
变式1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对
变式2．方程（3x-y+1）（y-）=0表示的曲线为（ ）
A．一条线段和半个圆 B．一条线段和一个圆
C．一条线段和半个椭圆 D．两条线段
例3．已知直线l的方程是，点不在直线l上，则方程表示的曲线是（ ）
A．直线l B．与l垂直的一条直线
C．与l平行的一条直线 D．与l平行的两条直线
变式1．已知圆C的方程为，点在圆外，点在圆上，则表示的曲线是（ ）
A．就是圆C B．过点A且与圆C相交的圆
C．可能不是圆 D．过点A且与圆C同心的圆
变式2．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题，下列命题中是真命题为（ ）
A．方程表示的曲线是C B．方程是曲线C的方程
C．方程的曲线不一定是C D．以方程的解为坐标的点都在曲线C上
考点三：直接法
例4．已知曲线上任意一点到原点的距离与到的距离之比为，求曲线的方程．
变式1．动点P到点A(6，0)的距离是到点B(2，0)的距离的倍，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．(x+2)2+y2=32 B．x2+y2=16
C．(x-1)2+y2=16 D．x2+(y-1)2=16
变式2．与点和点连线的斜率之和为的动点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
考点四：定义法
例5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．以和为端点的线段的方程是________.
变式2．已知A(－2,0)，B(2,0)，△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是( )
A．一个点 B．两个点
C．一条直线 D．两条直线
考点五：代入法（相关点法）
例6．已知定点，点是圆上一动点，点是的中点，求点的轨迹方程．
变式1．点与圆上任一点连结的中点轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若，点是圆上的动点，求线段中点的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
考点六：消参法
例7．设A，B分别是直线y＝2x和y＝﹣2x上的动点，满足|AB|＝4，则A的中点M的轨迹方程为_____．
变式1.过曲线y2=2x的顶点，作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB中点的轨迹。
变式2．一曲线顶点M坐标为，当m变化时，顶点M的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
考点七：交轨法
例8．已知三点A（-4，0）、B（4，0）、F（8，0），直线l的方程为x=2，过F作互相垂直的两条直线，分别交l于M、N点，直线AM、BN交于P点，求P点的轨迹方程．
变式1.A、B是曲线与x轴的两个交点，P是曲线异于A、B的动点，直线l1过A点垂直于AP，直线l2过B点垂直于BP，求l1 、l2的交点Q的轨迹方程．
变式2．已知点A（-1，0），B（1，0），C、D为圆上不同两点，且CD⊥轴，则直线AC和BD的交点M的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
巩固练习
1．“以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
2．若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.
3．已知方程①；②；③；④，其中能表示直角坐标系的第一 三象限的角平分线C的方程的序号是________.
4．方程表示的曲线是________.
5．方程所表示的图形是________.
6．平面内有两定点,且 ，动点 满足 ，则点轨迹是( )
A．线段 B．半圆 C．圆 D．直线
7．设动点P是曲线上任意一点，定点，点M分PA所成的比为，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．（）和
C．（） D．（）和（）
10．由动点向圆引两条切线，切点分别为，，则动点的轨迹方程为________．
11．一个动点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为________.
12．已知点到两个顶点，距离的比为，求动点的轨迹的方程
13．已知曲线是动点到两个定点、距离之比为的点的轨迹.
（1）求曲线的方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
14．已知圆，点，点M在圆O上移动，且动点P满足，求动点P的轨迹方程.
15．圆，过原点作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程.
16．已知圆的方程为，过点作圆的弦，求弦的中点的轨迹．
2.4曲线与方程答案
例1．B
变式1．B
变式2． 2
例2．D
变式1．C
变式2．A
例3．C
变式1．D
变式2．C
例4．（1）；
变式1．A
变式2．B
例5．D
变式1．
变式2．D
例6． (x―2)2+y2=1
变式1.A
变式2．（Ⅰ）圆C的方程为：（Ⅱ）表示以（1，1）为圆心，为半径的圆
例7．
变式1.
变式2.D
例8．
变式1 .
变式2.A
巩固练习
1．必要不充分
2．
3．①
4．射线和直线
5．两条射线和
6．C
7．A
8．D
10．
11．
12．（1）x2+y2―6x+1=0；
13．（1）；(2），．
14．
15．
16．以为圆心，半径长为的圆