《中学教材全解》高中数学（人教A版选修2-2）同步练测：13 导数在研究函数中的应用（含答案详解）

1.3 导数在研究函数中的应用
一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
1.下列说法正确的是 ( )
A．函数的极大值就是函数的最大值
B．函数的极小值就是函数的最小值
C．函数的最值一定是极值
D．在闭区间上的连续函数一定存在最值
2.函数的极值点个数为(　　)
A．2 B．1 C．0 D．由a确定
3.已知是R上的单调增函数,则b的取值范围是( )
A. {b|b-1或b2}
B. {b|b-1或b2}
C. {b|-2b1}
D. {b|-1b2}
4.函数在区间[0,3]上的最大值与最小值分别是( )
A. 5,-15 B. 5,-4
C. -4,-15 D. 5,-16
5.函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则等于(　　)
A．9 B．－9 C．1 D．－1

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
6.已知f(x)＝+1在R上是减函数，求实数a 的取值范围＿＿＿＿＿＿＿.
7．函数的单调增区间为 ，单调减区间为___________________.
8．函数在时有极值10，那么a=_____，b=______.
9.已知函数f(x)＝，其导函数y＝
的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图3所示，则下列说法中不正确的是________．
图3
①当x＝时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
三、解答题（本题共3小题,共55分）
10.（本小题满分15分）如果函数f(x)= (a＞0)在x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0,试求函数f(x)的解析式.
11.（本小题满分20分）已知函数
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值.
.
12.（本小题满分20分）已知函数，其中是常数.
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最小值.

1.3 导数在研究函数中的应用 答题纸
得分：
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题
6． 7． 8． 9．
三、解答题
10.
11.
12.

1.3 导数在研究函数中的应用 答案
一、选择题
1.D
2..C 解析：因为恒成立，所以f(x)无极值.
3.D 解析：因为是R上的单调增函数，
?所以对x∈R恒成立，
?即.
4.A 解析：由，得.
令，得
当变化时，,f(x)的变化情况如下表：
0
(0，2)
2
(2，3)
3
－
0
+
f(x)
5

-15

-4
所以函数的最大值与最小值分别是5,-15.
5.C 解析：，由，得的两个解，则＝1.
二、填空题
6.(] 解析：已知当时，f(x)是减函数.

所以，(1)当时，由，知在R上是减函数；
(2)当时，，
由函数在R上的单调性，可知当时，在R上是减函数；
(3)当时，在R上存在一个区间，其上有
所以，当时，函数在R上不是减函数.
综上，所求a的取值范围是.
7． 解析：因为，令得
当变化时，的变化情况如下表：

x
()
0
()
—
0
+
0
—
y

0


所以函数的单调减区间为单调增区间为
8．4 －11 解析：
当时，不是极值点.
当时满足题意.
9.① 解析：从图象上可以看到：当x∈(,1)时，；当x∈(1,2)时，；当x∈(2，＋∞)时，，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有①不正确．
三、解答题
10. 解：.
令,即,即.
因为x=±1是极值点,所以,即5a=3b,所以.
当x变化时, 的变化情况如下表：
x
(-∞,-1）
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1，+∞)
+
0
—
0
—
0
+
f(x)

极大值

无极值

极小值

由上表可知，当时，有极大值；当时，有极小值，
所以解得所以
11.解：（1）
当
（2）当时，函数上单调递增，最大值为
当时，若，即
若，即上单调递增，在上单调递减，最大值为
若，即.

12.解：（1）由可得==.
当时, ,.
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）令，解得或.
当，即时，在区间上，，所以是上的增函数，
所以的最小值为.
当，即时, 随的变化情况如下表:
↘
↗
由上表可知，函数的最小值为.