《中学教材全解》高中数学（人教A版选修2-2）本章练测：第二章 推理与证明（含答案详解）

第二章 推理与证明本章练测
建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟
150分

选择题（本题共8小题，每小题7分，共56分）
1.已知是的充分不必要条件，则是的（ ）
Ａ. 充分不必要条件
Ｂ. 必要不充分条件
Ｃ. 充要条件
Ｄ. 既不充分也不必要条件
2．设a、b、c都是正数，则,,三个数（ ）
A.都大于2
B.至少有一个大于2
C.至少有一个不大于2
D.至少有一个不小于2
3．在△中，所对的边分别为，且，则△一定是（ ）
Ａ. 等腰三角形 Ｂ. 直角三角形
Ｃ.等边三角形 Ｄ. 等腰直角三角形
4．给定正整数n(n≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（ ）
A．251×22 007 B.2 007×22 006
C.251×22 008 D.2 007×22 005
5.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则
a2 009+a2 010+a2 011等于( )
A.1 003 B.1 005
C.1 006 D.2 011
6.平面内有4个圆和1条抛物线，它们可将平面分成的区域的个数最多是（ ??）
A.29??????? B.30???????? C.31???????? D.32
7.下面使用类比推理正确的是
A．“若则”类推出“若，则
B．“若”类推出“”
C．“若”类推出“”
D．“”类推出“
8.已知函数的定义域为，若对于任意的，都有，则称为上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 （ ）
Ａ. B. C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9.对于等差数列有如下命题：“若是等差数列，，是互不相等的正整数，则有”。类比此命题，给出等比数列相应的一个正确命题是：“___________________________________________________”。
10．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）
11. 在数列中，，，可以猜测数列通项的表达式为　　　．
12. 在直角三角形中，两直角边分别为，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥的三个侧棱两两垂直，且长分别为，设棱锥底面上的高为，则.
三、解答题（本题共6小题，共74分）
13.（本小题满分17分）
观察下图：
1，
2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15，
……
问：（1）此表第n行的最后一个数是多少？
（2）此表第n行的各个数之和是多少？
（3）2010是第几行的第几个数?
（4）是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227-213-120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.
[来源:学_科_网]
[来源:Zxxk.Com]
14.(本小题满分17分)设有2009个人站成一排，从第一名开始1至3报数，凡报到3的就退出队伍，其余的向前靠拢站成新的一排，再按此规则继续进行，直到第p次报数后只剩下3人为止，试问最后剩下3人最初在什么位置？
15.（本小题满分18分）由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
[来源:Zxxk.Com]
[来源:学§科§网]

16.（本小题满分20分）已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．


第二章 推理与证明本章练测答题纸
得分：_________
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二、填空题
9.___________ 10. ___________ 11. ___________ 12. ___________
三、解答题
13.[来源:学|科|网]
14.

15.
16.
第二章 推理与证明 本章练测答案
一.选择题
1．Ａ 解析：反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若则.
2．D
3．A 解析：，，，又因为，；
4．C 解析：由题意知，112=7×24,48=6×23，20=5×22，故n行时，最后一行数为(n+1)·2n-2，
所以当n=2 007时，最后一行数为2 008×22 005=251×22 008.[来源:Z,xx,k.Com]
5. B 解析：观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n,
又2 009=4×503-3,2 011=4×503-1,∴a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005,
∴a2 009+a2 010+a2 011=1 005.
6. B
7.C
8.C 解析：可以根据图像直观观察；对于（C）证明如下：欲证，即证，即证，即证，显然，这个不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得证
二、填空题
9.若是等比数列，，是互不相等的正整数，则有 解析：这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中类比到等比数列经常
是，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础。 .
10．锐角 钝角
11.[来源:Zxxk.Com]
12.
三、解答题
13.解：（1）∵第n+1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n-1.
（2）2n-1+（2n-1+1）+(2n-1+2)+…+（2n-1）=3·22n-3-2n-2.
（3）∵210=1 024,211=2 048,1 024＜2 010＜2 048，
∴2 010在第11行，该行第1个数是210=1 024，由2 010-1024+1=987，知2 010是第11行的第987个数.
（4）设第n行的所有数之和为an，第n行起连续10行的所有数之和为Sn.
则an=3·22n-3-2n-2,an+1=3·22n-1-2n-1，an+2=3·22n+1-2n，…，an+9=3·22n+15-2n+7,
∴Sn=3(22n-3+22n-1+…+22n+15)-(2n-2+2n-1+…+2n+7)
=22n+17-22n-3-2n+8+2n-2，n=5时，S5=227-128-213+8=227-213-120.
∴存在n=5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227-213-120.
14.解:易知最后剩下的3人中前2人分别为最初的第1名和第2名。设第3人是最初的第k名。用下面的方法可得k＝1600。
15 解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：[来源:学#科#网Z#X#X#K]
．
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，猜想成立；
（2）假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．
16.解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．
证明如下：
设等差数列的公差为，则，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[来源:Zxxk.Com]