《中学教材全解》高中数学（人教A版选修2-2）本章练测：第三章 数系的扩充与复数的引入（含答案详解）

第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)
建议用时
实际用时
满分
实际得分
90分钟
100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列命题中：
①若∈R，则(＋1)i是纯虚数；
②若，∈R且>，则＋>＋；
③若(－1)＋(＋3＋2)i是纯虚数，则实数＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是(　　)
A.① B.② C.③ D.④
2.若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝(　　)
A．1＋3i　　　　　　 B．3＋3i
C．3－i D．3
3． i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（ ）
A．－1 B.1 [来源:学科网ZXXK]
C. D.
4.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1
5.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)
A．2　　　　　　 B．－2
C．－ D．
6.复数(i是虚数单位)的实部是 (　　)
A． B．－
C． D．－
7.若＝(＋m＋1)＋(＋m－4)i，m∈R，＝3－2i，则m＝1是＝的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8.复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝(　　)
A．－2i B．－i
C．i D．2i
9.已知复数z满足(1＋i)z＝1＋ai(其中i是虚数单
位，a∈R)，则复数z对应的点不可能位于复平面
内的(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10. 设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为 (　　)
A．(0,1)　　　　　 B．(0,1]
C．[0,1) D．[0,1]
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．若复数（为虚数单位），则 .
12.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
13.使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝ .
14.如果是虚数，则中是虚数的有 _______个，是实数的有 个，相等的有 组 [来源:Zxxk.Com]
三、解答题（本大题共5个小题，共44分.）
15.（6分） 证明：＝1．
[来源:Zxxk.Com]
16．（6分）若∈R，试确定是什么实数时，等式32－－1＝(10－－22)i成立．
[来源:学+科+网]
[来源:学科网]
17.(10分) 已知复数满足，且，求证：．
18．（10分）设是虚数，是实数，且－1<<2.
(1)求||的值及的实部的取值范围；
(2)设，求证：为纯虚数；
[来源:Zxxk.Com]
（3）求的最小值.
19.（12分）证明：在复数范围内，方程（i为虚数单位）无解.
[来源:Z§xx§k.Com]

第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)
答题纸
得分：
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题
11． 12． 13. 14. 15.
三、解答题
16.
[来源:学,科,网Z,X,X,K]

17.
18.
19.
第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)
答案
一、选择题
1. D 解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.
2.A 解析： (1＋z)·z＝z＋＝1＋i＋＝1＋i＋2i＝1＋3i.
3.A 解析:由复数性质知：i2＝－1，故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1.
4.D 解析：由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等的充要条件得a＝1，b＝－1.
5.A 解析: 法一：因为＝＝为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2.
法二：因为＝为纯虚数，所以a＝2.
6.A 解析：＝，所以实部为.
7. A 解析：因为z1＝z2，所以
解得m＝1或m＝－2，所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
8.B 解析：依题意得z－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.
9.B 解析：由(1＋i)z＝1＋ai得z＝＝，设在复平面内z对应的点的坐标为(，)，则＝，＝.
法一：易知－＝1，即复数z对应的点在直线－＝1上，直线不经过第二象限，故复数z对应的点不可能位于复平面内的第二象限．
法二：若复数z对应的点在第一象限，则只要 >1，若在第二象限，需要<0，且>0，即 <－1且 >1，无解，故复数z对应的点不可能在第二象限．
10.C 解析：∵ ＝|cos2－sin2|＝|cos 2|，且∈R，∴ ∈[0,1],∴ ＝[0,1]．[来源:学_科_网Z_X_X_K]
在中，∈R且|－|<，∴ |＋i|<，
∴2＋1<2，解得－1<<1，∴＝(－1,1)．∴ ∩＝[0,1)．
二、填空题
11.6-2i 解析：因为,所以6-2i.
12 1 解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，
根据＝λ＋μ得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴解得∴λ＋μ＝1.
复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.
13.3 解析：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．
∵ 2－(2－3m)i＜( 2－4＋3)i＋10, 且虚数不能比较大小，
∴解得，∴ 3.
当＝3时，原不等式成立．
14. 解析：四个为虚数；五个为实数；三组相等.
三、解答题
15.解法一：设z＝a＋bi(a, b∈R)，则
====1.
解法二：∵ =+z=-i+z，∴ ===1.
16.解：由复数相等的充要条件，得[来源:学+科+网]

由②得x＝2或x＝－，
代入①，得a＝11或a＝－.
17. 证明：设复数在复平面上对应的点为，，
由条件知，
所以以，为邻边的平行四边形为正方形，
而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，
所以．
18.（1）解：设＝＋i（，）,
.
因为是实数，,
所以，即|z|＝1.
因为＝2，－1<<2， 所以.
所以的实部的取值范围（－）.
（2）证明：＝.
（这里利用了（1）中）
因为 （－），，所以M为纯虚数.
（3）解：
.
因为（－），所以＋1>0，
所以2×2－3＝1.
当＋1＝，即＝0时上式取等号，
所以的最小值是1.
19.证明：原方程化简为,
设z＝x＋yi(x、y)，
代入上述方程得
根据上式可得
整理得.
方程无实数解.
原方程在复数范围内无解.