12.3角平分线的性质（1） 课件（22张ppt ）

(共22张PPT)
12.3角平分线的性质（1）
任教版八年级上册
教学目标
1.学会角平分线的画法．
2. 探究并认知角平分线的性质.
3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.
新知导入
在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
问题1：
问题2：
新知讲解
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗
A
B
C
(E)
D
其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.
问题3：
【思考】如果没有此仪器，我们用尺规作图，能实现该仪器的功能吗？
新知讲解
A
B
M
N
C
O
已知: ∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
仔细观察步骤：
作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
新知讲解
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？
探究
在OC 上再取几个点试一试．
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________.
PD PE
第一次
第二次
第三次
PD = PE
新知讲解
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
验证猜想
新知讲解
归纳总结
∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
几何语言：
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
新知讲解
　 　由角的平分线的性质的证明过程，你能概
括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
角的平分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段是否相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
巩固练习
A
B
O
P
C
D
E
练习1　下列结论一定成立的是 ．
（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
A
B
O
P
C
D
E
（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．
（3）
（3）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．
A
B
O
P
C
D
巩固练习
练习2 如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是(　　)
A. OD>OE B．OD＝OE
C. ODB
例题讲解
例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
例题讲解
E
D
C
B
A
6
8
10
例2 在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED 的周长.
解：(1)DC=DE.
理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
∴BE＝BC=8.
∴ AE＝AB–BE=2.
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
C
D
课堂总结
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
课堂小结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
为证明线段相等提供了又一途径
当堂检测
1.如图，在△ABC中，AB = AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：
①AD 上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD = CD，AD⊥BC；④∠BDE =∠CDF．其中，正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
当堂检测
2.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.
当堂检测
3.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
B
N
当堂检测
4.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F. 求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
当堂检测
5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
谢谢
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