12.3角平分线的性质（2） 课件(22张ppt)

(共22张PPT)
12.3角平分线的性质（2）
人教版八年级上册
教学目标
1. 理解角平分线判定定理.
2. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
新知导入
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
你还记得角平分线的性质吗？
反过来该怎么描述呢？你能证明它的正确性吗？
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
∵PD⊥OA，PE⊥OB， PD = PE，
∴点 P 在∠AOB的平分线上（OP 平分 ∠AOB）．
符号语言：
新知讲解
∵PD⊥OA，PE⊥OB， PD = PE，
∴点 P 在∠AOB的平分线上（OP 平分 ∠AOB）．
几何语言：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
新知讲解
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
猜想证明
新知讲解
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
新知讲解
这个结论可以用来判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．
　　这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
角相等
角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系.
角平分线性质
角平分线性质定理的逆定理
线段相等
这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.
巩固练习
练习1 判断题：
（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；
（ ）
×
A
B
O
Q
M
N
巩固练习
练习1 判断题：
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线； （ ）
×
A
B
O
Q
M
N
巩固练习
练习1 判断题：
（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．
（ ）
√
A
B
O
Q
M
N
例题讲解
例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
O
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
新知讲解
作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点.
练习2 要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？
新知讲解
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
巩固练习
证明：过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PQ⊥AB于Q.
∵CE为∠MCN的平分线，∴PM = PN，
同理PN = PQ，∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
Q
N
M
练习2 如图，△ABC 的∠ABC 的外角的平分线 BD 与∠ACB 的外角的平分线 CE 相交于点 P . 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等.
新知讲解
点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
巩固练习
练习2 到三角形三边距离相等的点是(　　)
A．三边垂直平分线的交点
B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
C
巩固练习
练习3 如图，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.
证明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分别为Q，M，N.
∵P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，
∴PM = PQ，PN = PQ，∴PM = PN.
N
Q
M
又PM⊥AE，PN⊥AF， ∴ AP平分∠BAC.
课堂总结
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
拓展提高
1、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD交于G，AD 垂直平分EF吗？证明你的结论．
解：AD垂直平分EF .证明如下：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠1=∠2，∠AED =∠AFD =90°，DE = DF.
∴△AED≌△AFD（AAS）.
拓展提高
2、如图， 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路， 现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等， 可选择的地址有几处 画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
谢谢
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