上海市徐汇区重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学试题（含解析）

徐汇区重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学试题
一 填空题
1.设集合，则__________.
2.等比数列中，若，则__________.
3.函数的是定义域是__________.
4.已知向量满足，则的夹角为__________.
5.函数的部分图像如图所示，则__________.
6.已知函数是上的奇函数，当时，，当时，的解析式为__________.
7.设，若是与的等比中项，则的最小值是__________.
8.三角形中，.则三角形面积为__________.
9.若数列的前项和为，则数列的通项公式是__________.
10.若 圴为平面单位向量，且，则的坐标为__________.
11.已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线在上的射影是直线.用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件：__________.
12.函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为__________.
二 选择题
13.命题“”是命题“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
14.若（是虚数单位）是关于x的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A. B.
C. D.
15.如图正方体中，分别为棱的中点，连接.空间任意两点，若线段上不存在点在线段上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为（ ）
A.点P B.点B C.点R D.点Q
16.在正方体中，分别为棱的中点，则在空间中与三条直线都梱交的直线（ ）
A.不存在 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有无数条
三 解答题
17.已知（为常数），且方程有两个实根为，.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，解关于的不等式：.
18.在长体中，中点为.
（1）求异面直线与所成角：
（2）求异面直线与所成角.
（长方体体对角线长为，其中为长方体的条棱长）
19.已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
20.已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列.
（1）求；
（2）求证：在数列中 但不在数列中的项恰为；
（3）求数列的通项公式.
21.已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，，，即，，，，其中，，，且满足，，，则称集合为“完美集合”.
（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
（3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.
徐汇区重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学试题
答案
一 填空题
1.设集合，则__________.
【答案】
2.等比数列中，若，则__________.
【解析】由等比数列性质得，所以.
3.函数的是定义域是__________.
【解析】题意得，即.
因为正弦函数有，
所以，解得，
所以函数的定义域为.
4.已知向量满足，则的夹角为__________.
【解析】由题意得，所以，又因为，所以.
所以，因为，所以.
5.函数的部分图像如图所示，则__________.
【解析】由图像得，因为，所以，
所以，因为过点，所以，
所以，因为，所以，所以.
6.已知函数是上的奇函数，当时，，当时，的解析式为__________.
【解析】当时，，因为是，，
所以，即，
因为，所以.
7.设，若是与的等比中项，则的最小值是__________.
【解析】因为是与的等比中项，所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值是4.
8.三角形中，.则三角形面积为__________.
【解析】因为，由余弦定理得，
因为，因为，即，解得，
所以的面积.
9.若数列的前项和为，则数列的通项公式是__________.
【解析】由得当时，，
两式相减，整理得，又当时，，
所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，故.
10.若 圴为平面单位向量，且，则的坐标为__________.
【解析】由题意得，
因为，且.
所以，则.
11.已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线在上的射影是直线.用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件：__________.
【解析】当异面时，在上的射影是直线，可能平行或相交：
过上的射影是直线，可能平行或相交：
但当直线与直线，同时成立时，则：
而当直线与 直线与，均相交时，则与与可能相交；
故能确定与是异面直线的充分条件是，并且与相交
（或，并且与相交）.
12.函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为__________.
【解析】法一：令，解得（负值舍去），
当时，，
当时，，
且当时，总存在，使得
故，若，易得，
所以，即实数的取值范围为.
法二：原命题等价于任意，
所以恒成立，即恒成立，
所以，即实数的取值范围为.
二 选择题
13.命题“”是命题“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【解析】，故为充分非必要条件，故选.
14.若（是虚数单位）是关于x的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】因为是关于x的实系数方程的一个复数根，
所以是关于x的实系数方程的一个复数根，
所以，解得.故选.
15.如图正方体中，分别为棱的中点，连接.空间任意两点，若线段上不存在点在线段上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为（ ）
A.点P B.点B C.点R D.点Q
【解析】M N两点“可视”的定义就是直线MN不与相交，也不与相交，
易得与共面，相交：均与共面，相交：
与异面，也与异面，故选.
16.在正方体中，分别为棱的中点，则在空间中与三条直线都梱交的直线（ ）
A.不存在 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有无数条
【解析】在上任意取点，直线确定一个平面，
这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，
从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图：
故选D.
三 解答题
17.已知（为常数），且方程有两个实根为，.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，解关于的不等式：.
【解析】
（1）将分别代入得，解得，
所以；
（2）不等式即为，可化为，
当时，不等式的解集为，
18.在长体中，中点为.
（1）求异面直线与所成角：
（2）求异面直线与所成角.
（长方体体对角线长为，其中为长方体的条棱长）
【解析】（1），因为，
所以异面直线与所成角为（或其补角），
所以异面直线与所成角
（2）取中点，连接，则.
所以异面直线与所成角为，计算得，
由余弦定理得，
所以异面直线与所成角
19.已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为函数是定义域为的偶函数，
所以有，
即，即，
故.
（2），且在上恒成立，
故原不等式等价于在上恒成立，
又，所以，
所以，
从而，
因此，.
20.已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列.
（1）求；
（2）求证：在数列中 但不在数列中的项恰为；
（3）求数列的通项公式.
【解析】
（1）
所以；
（2）对于，
当为奇数时，设为，则，
当为偶数时，设则不属于，
所以在数列中，但不在数列中的项恰为；
（3），，，，
因为，
所以当时，依次有，……，
所以.
21.已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，，，即，，，，其中，，，且满足，，，则称集合为“完美集合”.
（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
（3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.
【解析】（1）将分为满足条化，是完美集合.
将分成3个，每个中有两个元素，则：
中所有元素之和为，不符合要求.
（2）若集合，由完美集合的概念得集合：
若集合，由完美集合的概念得集念；
若集命，由完美集合的概念得集念；
故的可能值为中任一个.
（3）集合中所有元素的和为，
=，
因为，所以，
所以，
等号左边为正整数，则等式右边可以被4整除，
所以或，即或.