上海市徐汇区重点中学2022-2023学年高一上学期9月开学考试数学试题（含解析）

徐汇区重点中学2022-2023学年高一上学期9月开学考试数学试题
一 填空题
1.分解因式：__________.
2.已知全集.则__________.
3.若三角形的面积为S，三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是__________.
4.在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于.两点，则的值是__________.
5.若都满足方程且，则的取值范围是__________.
6.已知为正数，化简__________.
7.已知抛物线经过点，则该抛物线上纵坐标为的另一个点的坐标为__________.
8.已知点是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点在轴的负半轴上，且（O为坐标原点），则的面积为__________.
9.方程的两个根分別是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是__________.
10.设，已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集为__________.
11.设，若，则不可的有序集合组的总数是__________.
12.已知且，其中，若，且的所有元素之和为56，求__________.
二 选择题
13.下列关系中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
14.已知1和3是关于的方程的两个根，且关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ）
A.1戓 B.1戓
C. D.
15.二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标内的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
16.设 是两个两两不相等的正整数.若，则的最小值是（ ）
A.2007 B.1949 C.1297 D.1000
三 解答题
17.先化简，再求值：，其中.
18.解下列方程（组）：（1）；
（2）.
19.已知为实数，.
（1）当肘，求的取值集合；
（2）当时，求的取值集合.
20.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE=5EF，求m的值；
21.设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质.
（1）写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合；
（2）若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质；
（3）设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由.
徐汇区重点中学2022-2023学年高一上学期9月开学考试数学试题
答案
一 填空题
1.【答案】
2.【答案】[2，3]
3.【解析】设以切圆半径为，由等面积法得，所以.
4.【解析】由正比例函数与反比例函数的图象和性质，
其交点与关于原点对称，所以.
5.【解析】因为.所以，又
所以.
6.已知为正数，化简__________.
【解析】原式.
7.【解析】因抛物线经过点，
所以点与点为抛物线上的关于对称轴对称的对应点，
所以拋物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为.
8.【解析】题意得，解得，所以，
所以，所以.
9.【解析】由得或5，即直角三角形的两边为3或5，
当5为直角边时，第三边为；当5为斜边时，第三边为：
故直角三角形的第三条边长是4或.
10.【解析】若不等式的解集为，
则方程且，所以，
则等价于，即，解得，
即不等式的解集为.
11.【解析】法一：当集合中有10个元素时，不同的有序集合组有个；
当集合中存9个元素时，不同的有序集合组有个；
……
当集合中存0个元素时，不同的有序集合组有个；
所以总数为
法二：如图，每个数字的位置都有5个位置可供选择，
所以共有种.
12.【解析】由得，所以，因为，所以.
（1）若，以为，所以，此时，
故，从而，
若，则，即或1，与矛盾
（2）若，则，所以，
显然，即或1，而与矛盾，
所以，又，
由题意得，将代入上式，
得，所以，所以.
二 选择题
13.【解析】因集合是点集，集合为数集，故错误，故选.
14.【解析】由得，所以，
展开得，所以，
所以方程有两个相等的实数根，
所以，即，解得，故选.
15.【解析】因为二次函数图象开口方向向上，所以，
以为对称轴为直线，所以，
因为当时，，
所以的图象经过第二四象限，且与轴的正半轴相交，
反比例函数图象在第二 四象限，只有选项图象符合.故选.
16.【解析】不妨设，则.
因为为偶数，
所以 必为两奇一偶，从而，为奇数.
又因为，所以为不小于3的奇数.
若.则.故，
且.所以，不符合要求.
若，则.此时，.故选C.
三 解答题
17.【解析】原式，当时，原式.
18.解下列方程（组）：（1）；
（2）.
【解析】（1）或：
（2）.
19.【解析】（1）因为，所以得到如下丙种情况：
①当时，即，即，无解.
②当时，即，解得.
综上所述，.
（2）因为，所以，所以得到如下两种情况：
①当时，即时，满足题意.
②当时，即，解得.
综上所述，.
20.【解析】（1）将点A B坐标代入抛物线解析式，得：，
解得，故抛物线的解析式为：；
（2）因为点P的横坐标为m，
所以P（m，），E（m，﹣m+3），F（m，0）
所以）=||，
EF=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|
因为PE=5EF，即：||=5|﹣m+3|=|m+15|
①若=m+15，
整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；
①若=﹣（m+15），整理得：，
解得：m=或m=
由题意，m的取值范围为：﹣1∴m=2或m=；
21.【解析】
（1）由题意得恰含有两个元素且具有性质R的集合A=
（2）若集合具有性质，不妨设，
由非空数集具有性质，有.
①若，易知此时集合具有性质.
②若实数集只含有两个元素，不妨设，
由，且，解得，此时集合具有性质.
③若实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素，
则有，由于集合具有性质，
所以有，这说明集合具有性质.
（3）不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质.
由于非空实数集具有性质，令集合，
依题意不妨设.因为集合具有性质，所以.
若，则，否则，这与矛盾.
故集合不是单元素集.
令，且，
①若，可得，即，这与矛盾；
②若，由于，所以，因此，
这与矛盾.
综上可得：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质.