《创新方案》2013-2014学年高中数学人教A版必修一章末复习方案与全优评估：第二章 基本初等函数Ⅰ（含高频考点例析）

1．指数运算
(1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，达到化繁为简的目的．
(2)根式的运算中，有开方和乘方两种运算并存的情况．
此时要注意两种运算的顺序是否可换，如当a≥0时，＝()m，而当a<0时，则不一定可换，应视m，n的情况而定．
2．对数运算
(1)同底对数化简的常用方法：将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；将积(商)的对数拆成对数的和(差)，根据题目的条件选择恰当的方法．
(2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用lg5＋lg2＝1来求解：
(3)对多重对数符号的化简，应从内向外逐层化简求值．
(4)对数的运算性质，要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．
3．指数函数与对数函数的性质的对比
指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系．
(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系，a变化时，函数的图象和性质也随之改变．
(2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)恒过定点(1,0)．
(3)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域是对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的值域；指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的值域是对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的定义域．
(4)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0且a≠1且x>0)在a>1时都是单调增函数，在0(5)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)互为反函数，函数图象关于y＝x对称．
4．比较指数(对数)大小的方法
(1)当需要比较大小的两个实数均是指数(对数)时，可将其看成某个指数函数或幂函数(对数函数)的函数值，然后利用该函数的单调性进行比较．
(2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于0，小于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质进行比较大小．
有关指数、对数的运算问题
[例1]　求值：lg－lg＋lg.
[解]　法一：lg－lg＋lg
＝lg－lg4＋lg7
＝lg(××7)
＝lg＝lg10＝.
法二：原式＝(5lg2－2lg7)－·lg2＋(2lg7＋lg5)
＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5
＝lg2＋lg5
＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.
[借题发挥]
(1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．
(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
1．化简下列各式的值
(1)
(2)(lg32＋log416＋6lg)＋lg
解：(1)原式＝
＝a·b＝.
(2)原式＝[lg32＋2＋lg()6＋lg]
＝[2＋lg32··]
＝(2＋lg)＝[2＋(－1)]
＝.
2．已知logax＝4，logay＝5，试求A＝的值．
解：法一：
logaA＝
＝(logax－logay)
＝×(×4－×5)
＝0.
∴A＝1.
法二：∵logax＝4，logay＝5，
∴x＝a4，y＝a5.
∴A＝x·()＝x
＝xy＝(a4) ·(a5)
＝a·a＝a0＝1.
指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质
[例2]　已知x1是方程x＋lgx＝3的根，x2是方程x＋10x＝3的根，那么x1＋x2的值为(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．1
[解析]　∵lgx＝3－x,10x＝3－x，令y1＝lgx，y2＝3－x，y3＝10x，在同一坐标系中作出它们的简图，如图所示．
∵x1是方程x＋lgx＝3的解，x2是方程x＋10x＝3的解，
∴x1，x2分别对应图中B，A两点的横坐标．
∵函数y＝lgx与y＝10x的图象关于y＝x对称，
∴线段AB的中点C在直线y＝x上．
∴由，解得x＝.
∴x1＋x2＝3.
[答案]　B
[借题发挥]
(1)解决本题的关键是构造函数y1＝lgx，y2＝3－x，y3＝10x，将问题转化为函数图象的交点问题．
(2)要注意指数函数与对数函数的特殊关系，即y＝ax与y＝logax互为反函数，及其图象的对称性．
3．设a>0，f(x)＝＋在R上满足f(－x)＝f(x)．
(1)求a的值．
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
解：(1)依题意：对一切x∈R都有f(－x)＝f(x)则＋＝＋aex.
所以(a－)(－ex)＝0对一切x∈R成立．
由此可得a－＝0，即a2＝1.
又因为a>0，所以a＝1.
(2)证明：设0f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋－
＝(ex2－ex1)(－1)＝(ex2－ex1)·.
由x1>0，x2>0，得x1＋x2>0，ex1＋x2>1.
ex2－ex1>0,1－ex2＋x1<0，
∴f(x1)－f(x2)<0.
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
4．在y＝2x，y＝log2x，y＝x2这三个函数中，当0恒成立的函数的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：f()>恒成立的图象是向上凸的，如图所示，故只有y＝log2x满足．
答案：B
比较大小问题
[例3]　比较下列各组中两个数的大小．
(1)()，()；
(2)log1.10.7，log1.20.7；
(3)设a>0且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，比较P、Q的大小．
[解]　(1)因为底数与指数都不同，
故可选择中间量().
∵<，>0，
∴根据幂函数的单调性，有()<()，
又∵0<<1，>.
∴根据指数函数的单调性，有()<().
综上所述，()<().
(2)法一：注意到两个对数的真数相同，可先比较log0.71.1与log0.71.2的大小．
∵0<0.7<1,1.1<1.2，
∴由对数函数的单调性，得log0.71.1>log0.71.2.
又∵log0.71.1<0，log0.71.2<0.
∴<，即log1.10.7法二：也可以利用对数函数图象，当底数大于1时，底数越大，在直线x＝1左侧图象越靠近x轴，由图可知log1.10.7(3)①当0又当0∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q.
②当a>1时，有a3>a2，即a3＋1>a2＋1.
又当a>1时，由于y＝logax在(0，＋∞)上递增，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q.
故P>Q.
[借题发挥]　比较几个数的大小，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性比较大小(如本例(2))，采用中间值法也是常考内容(如本例(1))．
5．比较下列各组数的大小：
(1)422,333；
(2)log0.57与log0.67.
解：(1)422＝(42)11＝1611,333＝2711，因为11>0,16>1,27>1，由指数函数y＝16x与y＝27x图象可得1611<2711，即422<333.
(2)函数y＝log0.5x与y＝log0.6x的图象相对位置关系如图所示，
可得log0.676．比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小．
解：法一：根据函数的性质，当x∈(0，＋∞)时，x2，log2x,2x随x的增加而增加．
∵0.32<12＝1，
log20.320．3>20＝1，
∴log20.3<0.32<20.3.
法二：作出函数图象如图，由图象即可看出log20.3<0.32<20.3.
函数定义域、值域问题
[例4]　求函数f(x)＝＋lg(2x＋3)的定义域．
[解]　由得－∴f(x)的定义域为{x|－[借题发挥]　解决与对数函数有关的定义域问题，应注意其底数和真数的取值范围．当所列不等式含有参数时，应注意对参数分类讨论．
[例5]　求函数y＝2x－的值域．
[解]　函数的定义域是{x|x≥1，x∈R}．
令＝t，则t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1.
∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2.
这样就把问题转化为求
f(t)＝2t2－t＋2，t∈[0，＋∞)的值域问题．
这可以用配方法解决，
有y＝f(t)＝2t2－t＋2
＝2(t－)2＋，
∵t≥0，∴f(t)≥.
∴原函数的值域为.
[借题发挥]　本题是采用的换元法求函数的值域，应注意换元后，函数定义域的变化．本题易忽视t∈[0，＋∞)而造成解题错误．
7．函数f(x)＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，须使
即0≤x≤1且x≠.
∴f(x)的定义域为[0，)∪(，1]．
答案：[0，)∪(，1]
8．若2≤x≤8，求函数y＝(logx)2＋logx2＋5的值域．
解：令t＝logx，
∵2≤x≤8，
∴log8≤t≤log2.
即－≤t≤－.
∴y＝(logx)2＋logx2＋5＝t2＋2t＋5＝
(t＋1)2＋4.
∵－≤t≤－，
∴当t＝－1时，y取最小值4；
当t＝－或－时，y取最大值.
∴函数的值域为[4，]．
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知loga9＝－2，则a的值为(　　)
A．－3 B．－
C．3 D.
解析：∵loga9＝－2，∴a－2＝9，∴a＝.
答案：D
2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(－，＋∞) B．(－，1)
C．(－，) D．[0,1)
解析：由得.得0≤x<1.
答案：D
3．化简()4·()4的结果是(　　)．
A．a16 B．a8
C．a4 D．a2
解析：原式＝a·a＝(a2)2＝a4.
答案：C
4．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＝bc
C．ab>c
解析：a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝log23>1，c＝log32c.
答案：B
5．若定义在区间(－1,0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)＞0，则a的取值范围为(　　)
A．(0，) B．(0,1)
C．(，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：由x∈(－1,0)，得x＋1∈(0,1)，又对数函数f(x)＝log2a(x＋1)的函数值为正值，所以0＜2a＜1，即0＜a＜.
答案：A
6．2log6＋3log6＝(　　)
A．0 B．1
C．6 D．log6
解析：2log6＋3log6
＝log62＋log63＝log66＝1.
答案：B
7．已知函数f(x)＝则f(f())的值是(　　)
A．9 B.
C．－9 D．－
解析：∵>0，∴f()＝log3＝－2.f(f())＝f(－2)＝3－2＝.
答案：B
8．下列函数中在(0，＋∞)上是增函数并且是定义域上的偶函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝()x
C．y＝lnx D．y＝x2＋2x＋3
解析：∵B、C不具有奇偶性，而D中y＝x2＋2x＋3，在R上不是偶函数．
答案：A
9．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(3)·g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是下图中的(　　)
解析：首先分清这两类函数图象在坐标系中的位置和走向．另外，还应知道f(x)＝ax与g(x)＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，于是可排除A、D，因图中B、C关于y＝x对称，最后利用函数值关系式f(3)·g(3)<0，排除B.
答案：C
10．设a＝log，b＝log，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a?b?c B．c?a?b
C．b?a?c D．b?c?a
解析：a＝log＝log32，b＝log＝log23.
c＝log3，由函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数.<2得clog22＝log33>log32＝a.
故c答案：B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．指数函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________．
解析：∵函数f(x)＝ax经过点(2,4)，∴4＝a2.
∴a＝2或a＝－2(舍去)．f(x)＝2x，
∴f(－3)＝2－3＝.
答案：
12．定义运算a*b＝例如：1]　　　　.
解析：当x≥0时，2x≥1,1]
答案：(0,1]
13．计算(lg－lg25)÷100＝____________.
解析：原式＝(－lg4－lg25)÷＝－lg(4×25)×10
＝－2×10＝－20.
答案：－20
14．给出函数f(x)＝则f (log23)等于________．
解析：∵log23<4，
∴f(log23)＝f(log23＋1)＝
f(log26)，而log26<4.
∴f(log26)＝f(log212)＝f(log224)．
∵log224>log216＝4.∴f(log224)＝log224＝.
答案：
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)计算下列各式的值：
(1)(×)6＋()－(－2 008)0；
(2)lg 5lg 20＋(lg2)2.
解：(1)原式＝(2×3)6＋(2×2)×－1
＝2×6×3×6＋2－1
＝22×33＋21－1
＝4×27＋2－1
＝109.
(2)原式＝lg 5lg(5×4)＋(lg 2)2
＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2
＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2
＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2
＝(lg 5＋lg 2)2＝1.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)证明当x>0时，f(x)>0.
解：(1)x的取值需满足2x－1≠0，则x≠0，
即f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由(1)知定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
则f(－x)＝＋＝＋＝－，
∴f(x)＋f(－x)
＝＋＋－＝＋1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(3)证明：当x>0时，2x>1，∴2x－1>0.
∴＋>0，
即当x>0时，f(x)>0.
17．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1及f(x＋1)－f(x)＝2x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最值．
解：(1)据题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x.
即解得a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
∴f(x)在[－1,1]上f(x)min＝f()＝，
f(x)max＝f(－1)＝3.
即在区间[－1,1]上f(x)的最大值是3，最小值是.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(4－2x)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
(2)求使函数f(x)－g(x)的值为正数的x的取值范围．
解：(1)由题意可知，f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(4－2x)，
由解得
∴－1∴函数f(x)－g(x)的定义域是(－1,2)．
(2)由f(x)－g(x)>0，得f(x)>g(x)，
即loga(x＋1)>loga(4－2x)，①
当a>1时，由①可得x＋1>4－2x，解得x>1，
又－1当0又－1综上所述：当a>1时，x的取值范围是(1,2)；
当0