《创新方案》2013-2014学年高中数学人教A版必修一章末复习方案与全优评估：第一章 集合与函数概念（含高频考点例析）

1．集合的“三性”
正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．
2．集合与集合之间的关系
集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A B时，不要遗漏A＝ .
3．集合与集合之间的运算
并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A B A∩B＝A A∪B＝B.
4．函数的单调性
函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)成立；若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可．单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2∈I，则
(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1＝x2 f(x1)＝f(x2)．
(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)＝0在区间I上至多有一个实数根．
(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)＋g(x)亦与它们的单调性相同．
函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法．
5．函数的奇偶性
判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．
集合间关系的应用
[例1]　已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－x＋2m＝0}．若A∩B＝B，求m的取值范围．
[解]　(1)由题意得A＝{1,2}．
因为A∩B＝B，所以B A.
①当B＝ 时，方程x2－x＋2m＝0无实数解，因此其判别式Δ＝1－8m<0，即m>；
②当B＝{1}或B＝{2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个相同的实数解x＝1或x＝2，因此其判别式Δ＝1－8m＝0，解得m＝，代入方程x2－x＋2m＝0解得x＝，矛盾，显然m＝不符合要求；
③当B＝{1,2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个不相等的实数解x＝1或x＝2，因此1＋2＝1,2m＝2.显然第一个等式不成立．
综上所述，m>.
[借题发挥]　空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而导致解题失误．
1．已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M与N之间的关系(　　)
A．M?N　　　　　　　　 B．M?N
C．M＝N D．M与N关系不确定
解析：∵M＝{y|y≥1}，N＝{x|x≥－1}，∴M?N.
答案：A
2．已知A＝{x|x2＋2x＋p＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}且A∩B＝ ，求实数p的取值范围．
解：∵A∩B＝ ，
∴A有两种情况：
①A＝ ；②A≠ .
①当A＝ 时，Δ＝4－4p<0，∴p>1.
②当A≠ 时，则方程x2＋2x＋p＝0有实数根且根非正．
∴∴0≤p≤1.
综上所述，p≥0.
集合的运算
[例2]　若集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝________.
[解析]　由B＝{x|－2≤x≤2}，又A＝{x|x≥1}，结合数轴知：
所以A∩B＝{x|1≤x≤2}．
[答案]　{x|1≤x≤2}
[借题发挥]　此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心圈”表示．
[例3]　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝ ，求a 的取值范围．
[解]　由A∩B＝ ，
①若A＝ ，有2a>a＋3，∴a>3.
②若A≠ ，
如图：
∴，解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是[－，2]∪(3，＋∞)．
[借题发挥]　
(1)依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法．
(2)若A∩B＝ ，则集合A、B可能的情况为：
①A、B均为空集；
②A与B中只有一个是空集；
③A、B虽然非空但无公共元素．
3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩( RB)＝(　　)
A．{x|x>1}　　　　　　　　 B．{x|x≥1}
C．{x|1解析：∵B＝{x|x<1}，
∴ RB＝{x|x≥1}．
∴A∩( RB)＝{x|1≤x≤2}．
答案：D
4．已知U＝{0,2，x2－2}， UA＝{2，x}，则A＝________.
解析：∵( UA) U，∴x∈U且x≠2.
当x＝0时，U＝{0,2，－2}， UA＝{0,2}，A＝{－2}．
当x＝x2－2时得x＝－1或x＝2(舍去)
x＝－1时，U＝{0,2，－1}， UA＝{2，－1}，A＝{0}．
答案：{－2}或{0}
函数概念问题
[例4]　已知f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
[解析]　∵当a≥0时，f(a)＝a＋1＝2，
∴a＝1.
∵当a<0时，f(a)＝4a＝2，∴a＝(舍去)．
[答案]　1
[借题发挥]　解决分段函数求值问题的关键是搞清分段标准，然后代入相应的解析式即可．
[例5]　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋；
(2)已知y＝f(x)的定义域是[0,4]，求y＝f(x＋1)＋f(2x－1)的定义域．
[解]　(1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－1}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠2}，所以这个函数的定义域是[－1,2)∪(2，＋∞)．
(2)要使y＝f(x＋1)＋f(2x－1)有意义，必须有 ≤x≤.
故所求函数的定义域为[，]．
[借题发挥]　已知解析式求函数的定义域，即求使解析式有意义的自变量的取值范围；而本例(2)为抽象函数的定义域问题，函数y＝f(x＋1)＋f(2x－1)的定义域为y＝f(x＋1)与y＝f(2x－1)的定义域的交集．
5．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(0,1) D．[1，＋∞)
解析：要使函数有意义，则，
即x≤1且x≠0.
答案：B
6．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，求f(99)的值．
解：∵f(x)·f(x＋2)＝13.且f(1)＝2.
∴f(3)＝＝，f(5)＝＝2.
f(7)＝＝.f(9)＝＝2，…，
∴f(2n－1)＝.
∴f(99)＝f(2×50－1)＝.
函数图象及应用
[例6]　设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
[解]　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
[借题发挥]　本题中区间是变化的，从运动观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．
7．设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)，
(1)证明f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域．
解：(1)证明：∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)．
又∵－3≤x≤3，关于原点对称，∴f(x)是偶函数．
(2)当x≥0时，
f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝.
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．
(3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，
[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数，
在[－1,0)，[1,3]上为增函数．
(4)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，
最大值为f(3)＝2；
当x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，
最大值为f(－3)＝2.
故函数f(x)的值域为[－2,2].
函数的单调性、奇偶性与最值问题
[例7]　已知函数f(x)＝x＋，且此函数图象过点(1,5)．
(1)求实数m的值；
(2)判断f(x)奇偶性．
[解]　(1)∵f(x)过点(1,5)，∴1＋m＝5 m＝4.
(2)对于f(x)＝x＋，∵x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
∴f(－x)＝－x＋＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
[借题发挥]　在判断函数的奇偶性之前，首先要确定函数的定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性，若函数的定义域关于原点对称，则再利用f(x)与f(－x)的关系判断奇偶性．
[例8]　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)求实数a的范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数；
(2)求f(x)的最小值．
[解]　(1)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，
可知f(x)的图象开口向上，对称轴方程为x＝－a，要使f(x)在[－5,5]上单调，则－a≤－5或－a≥5，
即a≥5或a≤－5.
(2)当－a≤－5，即a≥5时，f(x)在[－5,5]上是增函数，所以f(x)min＝f(－5)＝27－10a.
当－5＜－a≤5，即－5≤a＜5时，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2，
当－a＞5，即a＜－5时，f(x)在[－5,5]上是减函数，
所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，
综上可得，f(x)min＝
[借题发挥]　解决二次函数的最值问题主要采用图象法或根据单调性求解，若问题中含参数，往往需要分类讨论，该类问题概括起来主要有两类：一是二次函数的解析式确定(不含参数)，而定义域为不定区间；二是定义域确定，而解析式中含参数，无论哪一类应视抛物线的开口方向，就对称轴与给出的区间的位置进行讨论．
8．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
解：(1)根据题意得
即解得∴f(x)＝.
(2)任取－1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵－1∴x1－x2<0,1＋x>0,1＋x>0.
又∵－10.
∴f(x1)－f(x2)<0.即f(x1)∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴解得09．设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足
f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)＞f(a－1)＋2，求实数a的取值范围．
解：因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，
所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)，
又f(a)＞f(a－1)＋2，所以f(a)＞f(a－1)＋f(9)，再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)＞f(9(a－1))．
因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，从而有
，解得1＜a＜.
故所求实数a的取值范围为(1，)．
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有(　　)
①1∈A　　　　　　②{－1}∈A
③ A ④{1，－1} A
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}．
∴①③④均正确．
答案：C
2．设全集U＝R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1解析：阴影部分所表示集合是N∩( UM)，
又∵ UM＝{x|－2≤x≤2}，
∴N∩( UM)＝{x|1答案：C
3．f(x)＝ 则f(f(f(－2)))＝(　　)
A．0 B．π
C．π2 D．4
解析：f(－2)＝0，f(0)＝π，f(π)＝π2.
答案：C
4．给出下列集合A到集合B的几种对应：
其中，是从A到B的映射的有(　　)
A．(1)(2) B．(1)(2)(3)
C．(1)(2)(4) D．(1)(2)(3)(4)
解析：由映射定义可知(3)(4)不是映射．
答案：A
5．设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．π
解析：∵g(π)＝0，f(0)＝0，∴f(g(π))＝0.
答案：B
6．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－)与f(a2＋2a＋)的大小关系是(　　)
A．f(－)＞f(a2＋2a＋)
B．f(－)≥f(a2＋2a＋)
C．f(－)＜f(a2＋2a＋)
D．f(－)≤f(a2＋2a＋)
解析：∵a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又函数f(x)为偶函数，
f(－)＝f()，f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
∴f(－)≥f(a2＋2a＋)．
答案：B
7．下列四个命题：(1)函数f(x)在x>0时是增函数，x<0也是增函数，所以f(x)是增函数；(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋2与x轴没有交点，则b2－8a<0且a>0；(3)y＝x2－2|x|－3的递增区间为[1，＋∞)．其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(1)反例：f(x)＝－；(2)不一定a>0，开口向下也可；(3)画出图象可知，递增区间有[－1,0]和[1，＋∞)．
答案：A
8．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤2 B．a≥－2
C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2
解析：∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，
∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，
得f(|a|)≤f(2)．
∴|a|≥2，得a≤－2或a≥2.
答案：D
9．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，都有>0，则(　　)
A．f(－5)B．f(4)C．f(6)D．f(6)解析：∵对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，都有>0，∴对任意x1，x2∈(－∞，0]，若x1∴f(x)在(－∞，0]上是增函数．
∴f(－4)>f(－5)>f(－6)．
又∵函数f(x)是偶函数，
∴f(－6)＝f(6)，f(－4)＝f(4)．
∴f(6)答案：C
10．设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：由集合长度的定义知M的长度为，N的长度为，若要使M∩N的长度最小则应使M的左端点m与N的右端点n离得最远，又∵M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，∴应使m＝0，n＝1.此时M＝{x|0≤x≤}，N＝{x|≤x≤1}，此时M∩N＝{x|≤x≤}，其长度为－＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．函数y＝＋的定义域是________．
解析：要使函数y＝＋有意义得
∴x≥1.
答案：{x|x≥1}
12．已知函数满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，则下列各式恒成立的是________．
①f(0)＝0　②f(3)＝3f(1)　③f()＝f(1)
④f(－x)·f(x)<0
解析：①令x＝y＝0，则f(0)＝0成立；
②f(2)＝2f(1)，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)
＝3f(1)恒成立；
③f(＋)＝2f()．
∴f()＝f(1)成立．
④当x＝0时不成立．
答案：①②③
13．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
解析：f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2由f(x)为偶函数可得2a＋ab＝0.若a＝0则f(x)＝bx2其值域不可能为(－∞，4]，故b＝－2，此时f(x)＝－2x2＋2a2≤2a2.
又由值域为(－∞，4]可得2a2＝4.
∴f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
14．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.
解析：∵f(x＋2)＝，
∴f(x＋2＋2)＝＝f(x)．
∴f(x＋4)＝f(x)，f(5)＝f(1)＝－5.
∴f[f(5)]＝f(－5)＝f(－1)＝
f(3)＝f(1＋2)＝＝－.
答案：－
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A B，求实数a的值．
解：B＝{1,2}，且A为 或单元素集合，
由A B A可能为 ，{1}，{2}．
(1)A＝ a＝0；
(2)A＝{1} a＝1；
(3)A＝{2} a＝.
综上得a＝0或1或.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－2x＋m，其中m为常数．
(1)求证：函数f(x)在R上是减函数；
(2)当函数f(x)是奇函数时，求实数m的值．
解：(1)证明：任取x1＝2(x2－x1)．
又∵x10.
∴f(x1)－f(x2)>0.
∴f(x1)>f(x2)．
∴f(x)为R上的减函数．
(2)∵f(x)为奇函数．
∴f(－x)＝2x＋m＝－f(x)＝2x－m，
∴m＝0.
17．(本小题满分12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f()＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.
解：(1)在f()＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f (1)－f(1)，∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－f()<2＝f(6)＋f(6)，
∴f(3x＋9)－f(6)即f()∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴
解得－3即不等式的解集为(－3,9)．
18．(本小题满分14分)小张周末自己驾车旅游，早上八点从家出发，驾车3 h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系式为s(t)＝－5t(t－13)．
由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回．
(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；
(2)在距离小张家60 km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．
解：(1)依题意得，当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)，
∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.
即小张家距离景点150 km，
小张的车在景点逗留时间为16－8－3＝5(h)．
∴当3小张从景点回家所花时间为＝2.5(h)，
故s(10.5)＝2×150＝300.
∴当8s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.
综上所述，这天小张的车所走的路程
s(t)＝
(2)当0≤t≤3时，
令－5t(t－13)＝60得t2－13t＋12＝0，
解得t＝1或t＝12(舍去)，
当8令60t－330＝2×150－60＝240，
解得t＝.
答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．