《创新方案》2013-2014学年高中数学人教A版必修三章末复习方案与全优评估：第三章 概率（含高频考点例析）
文档属性
| 名称 | 《创新方案》2013-2014学年高中数学人教A版必修三章末复习方案与全优评估：第三章 概率（含高频考点例析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 296.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-10-17 16:00:42 | ||
图片预览
文档简介
1．判定互斥事件与对立事件的方法
(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝ ；②事件A与B对立，即集合A∩B＝ ，且A∪B＝I，也即A＝ IB或B＝ IA；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.
2．古典概型
古典概型是一种最基本的概型，也是学习其它概率的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，求出n、m.
3．几何概型
几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，并能求简单的几何概型试验的概率．
随机事件的概率
[例1] 对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a 50 100 200 300 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
[解] (1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025,0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，
所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
[借题发挥] 随机事件的频率与概率的区别与联系：
频率 概率
区别 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小
联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
1．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解：(1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88,0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
互斥事件与对立事件
[例2] 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
[解] (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．
因此所求事件的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.
故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.
[借题发挥] (1)判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一样的．二是考虑事件的结果是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．
(2)应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
2．在同一试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
解析：若A为必然事件，B是不可能事件，则事件A与B不可能同时发生且必有一个发生，则事件A与B互斥且对立．
答案：C
3．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
解：(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N)，那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.根据对立事件的概率公式，得P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
古 典 概 型
[例3] (2012·郑州高一检测)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．
(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
[解] (1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为
(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A，
则P(A)＝.
(3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，
则P(B)＝1－3×＝.
[借题发挥] (1)利用古典概型概率公式P＝，计算概率时，关键是求出m，n.
(2)求基本事件个数常用列举法、列表法来解决．
4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：∵当b＝1时，没有满足条件的a值；
当b＝2时，a＝1；
当b＝3时，a可以是1，可以是2，∴共3种情况．
而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a，再从{1,2,3}中随机取一个数b，共有3×5＝15种不同取法，
∴概率为＝.
答案：D
5．在平面直角坐标系中，从5个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，求这三点能构成三角形的概率．
解：从5个点中任取3个点的所有可能结果为：
(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，E)，(A，C，D)，(A，C，E)，(A，D，E)，(B，C，E)，(B，D，E)，(C，D，E)，共10个．
而不在同一直线上的结果有8个，(A，C，E)，(B，C，D)除外．
故所求事件概率为P＝＝.
几 何 概 型
[例4] 点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为__________．
[解] 如图可设＝1，根据几何概型概率计算公式可知其整体事件是其周长3，则其概率是.
[答案]
[借题发挥] 若试验同时具有：①基本事件的无限性；②每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．
6．如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形体，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中有22＋(x＋2)2＝()2，解得x＝1或x＝－5(舍)，
∴阴影部分面积为1，
∴飞镖落在阴影部分的概率为.
答案：C
7．在区间[－1,1]上随机取一个数x, cos的值介于0到之间的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：由cos＝，x∈[－1,1]得x＝±，如图使cos的值介于0到之间的点落在和内．∴所求概率P＝＝.
答案：A
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件是随机事件的是( )
①同种电荷，互相排斥；
②明天是晴天；
③自由下落的物体作匀速直线运动；
④函数y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数．
A．①③ B．①④
C．②④ D．③④
解析：②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件．
答案：C
2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1、P2、P3，则 ( )
A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3
C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1
解析：先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P1＜P2＜P3.
答案：B
3．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是( )
A．A与C互斥 B．任何两个均互斥
C．B与C互斥 D．任何两个均不互斥
解析：三件产品至少有一件次品包含三件产品全是次品，所以B、C不互斥，而A与C对立且互斥．
答案：A
4．下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率均约为，一对夫妇生两个孩子，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大
D．10张票中有1张有奖，10人去摸，无论谁先摸，摸到有奖票的概率都是
答案：D
5．(2012·临沂高一检测)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是 ( )
A. B.
C. D.
解析：两枚硬币的情况如下：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．故出现两个正面朝上的概率P＝.
答案：C
6．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )
A．0.62 B．0.38
C．0.70 D．0.68
解析：记“取到质量小于4.8 g”为事件A，“取到质量不小于4.85 g”为事件B，“取到质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C为必然事件．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.32＋P(C)＝1，即P(C)＝1－0.3－0.32＝0.38.
答案：B
7．(2011·福建高考)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：点E为边CD的中点，故所求的概率P＝＝.
答案：C
8．从含有3个元素的集合的子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设3个元素分别为a、b、c.所有子集共8个，含有两个元素的子集共3个．
答案：D
9．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的是 ( )
A．都不是一等品 B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品 D．至多有一件一等品
解析：从5件产品中任取2件，共有10种可能结果，2件都是二等品的可能结果只有1种，2件都是一等品的可能结果有3种，一件一等品、一件二等品的可能结果有6种．
答案：D
10．在区间(0,1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个相异实根的概率为 ( )
A. B.
C. D.
解析：方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a)2－4×1×＝4a2－2>0，解得|a|>，又a∈(0,1)，所以答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p＝＝.
答案：
12．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)
162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149,172.
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率为__________．(用分数表示)
解析：样本中有8人身高在155.5 cm～170.5 cm之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率为＝.
答案：
13．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为__________．
解析：此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a－b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，∴P＝＝.
答案：
14．随机向边长为2的正方形ABCD中投一点M，则点M与A的距离不小于1且使∠CMD为锐角的概率是________．
解析：如图所示，M在阴影部分内，则
P＝＝1－.
答案：1－
三、解答题(本大题共有4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)在圆O：x2＋y2＝1的某一直径上随机地取一点Q.试求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率．
解：如图所示：
记事件过点Q且与该直径垂直的弦的长度超过1为A.
设EF＝1则在Rt△OQE中，
OE2＝OQ2＋QE2，
1＝OQ2＋，∴OQ＝.
由几何概型的概率公式得
P(A)＝＝.
而过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率为1－.
16．(12分)A、B两个箱子分别装有标号为0、1、2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.
标 号张数 箱 0 1 2
A 2 1 3
B 2 1 2
(1)从A、B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2 的概率；
(2)从A、B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0且y＝2的概率．
解：(1)记事件A＝{从A、B箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}．
基本事件总个数为6×5＝30，事件A包含基本事件的个数为5.
由古典概型的概率公式得P(A)＝＝.
则x＝2的概率为.
(2)记事件B＝{从A、B箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}．
事件B包含基本事件的个数为10.由古典概型的概率公式得P(B)＝＝.
则x＝0且y＝2的概率为.
17．(12分)(2012·山东高考)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
18．(14分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，
∴＝1，整理得：a2＋b2＝25.
由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4，或a＝4，b＝3两种情况．
∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是＝.
(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，
∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝3时，b＝3,5，共2个基本事件；
当a＝4时，b＝4,5，共2个基本事件；
当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；
当a＝6时，b＝5,6，共2个基本事件；
∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个．
∴三条线段能围成等腰三角形的概率为＝.
模块综合检测
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的)
1．算法的三种基本结构是( )
A．顺序结构、模块结构、条件结构
B．顺序结构、循环结构、模块结构
C．顺序结构、条件结构、循环结构
D．选择结构、条件结构、循环结构
答案：C
2．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：E1与E3，E1与E4均为互斥而不对立的事件．
答案：B
3．在20袋牛奶中，有3袋已过了保质期，从中任取一袋，取到已过保质期的牛奶的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：C
1 2 4
2 0 3 5 6
3 0 1 1
4 1 2
4.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别为 ( )
A．23与26 B．31与26
C．24与30 D．26与30
答案：B
5．(2011·课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．
记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝＝.
答案：A
6．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示，则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：从中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是＝.
答案：B
7．(2012·西安高一检测)下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x 1 2 3 4
用水量y 4.5 4 3 2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝－0.7x＋a，则a＝( )
A．10.5 B．5.15
C．5.2 D．5.25
解析：由于回归直线必经过点(，)，
而＝，＝，
所以＝－0.7×＋a，
∴a＝5.25.
答案：D
8．问题：①有1 000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．
方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法．其中问题与方法能配对的是 ( )
A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ
C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ
解析：本题考查三种抽样方法的定义及特点．
答案：B
9．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
解析：正方体的体积为2×2×2＝8, 以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×πr3＝×π×13＝.则点P到点O的距离大于1的概率为1－＝1－.
答案：B
10．(2012·辽宁高考)执行如图所示的程序框图，则输出的S值是( )
A．4 B.
C. D．－1
解析：第一次循环后，S＝－1，i＝2；第二次循环后，S＝，i＝3；第三次循环后，S＝，i＝4；第四次循环后S＝4，i＝5；第五次循环后S＝－1，i＝6，这时跳出循环，输出S＝－1.
答案：D
二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．(2012·湖北高考)一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．
解析：分层抽样的特点是按照各层占总体的比抽取样本，设抽取的女运动员有x人，则＝，解得x＝6.
答案：6
12．若输入38，运行下面的程序后，得到的结果是__________．
INPUT x IF 9解析：数学符号“\”表示取商，故运算后a＝3，b＝8，x＝83.
答案：83
13．某中学期中考试后，对成绩进行分析，求出了外语成绩x 对总成绩y的回归直线方程是＝7.3x－96.9，如果该校李明的外语成绩是95分，那么他的总成绩可能是__________分．(精确到整数)
解析：当x＝95时，＝7.3×95－96.9≈597
答案：597
14．在由1,2,3,4,5组成可重复数字的二位数中任取一个数，如21,22等表示的数中只有一个偶数“2”，我们称这样的数只有一个偶数数字，则组成的二位数中只有一个偶数数字的概率为__________．
解析：由1,2,3,4,5可组成的二位数有5×5＝25个，其中只有一个偶数数字的有14个，故只有一个偶数数字的概率为.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解：记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.由题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．
(1)取出1球为红球或黑球的概率为：
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为：
法一：P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二：P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
16．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：
零件的个数x(个) 2 3 4 5
加工的时间y(h) 2.5 3 4 4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
解：(1)散点图如图．
(2)由表中数据得：iyi＝52.5，＝3.5，＝3.5，＝54.
代入公式得＝0.7，＝1.05
∴＝0.7x＋1.05.
回归直线如图中所示．
(3)将x＝10代入回归直线方程，
得＝0.7×10＋1.05＝8.05(h)．
∴预测加工10个零件需要8.05 h.
17．(12分)(2012·天津高考)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．
所以P(B)＝＝.
18．(14分)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.
组号 分组 频数 频率
第1组 [160,165) 5 0.050
第2组 [165,170) ① 0.350
第3组 [170,175) 30 ②
第4组 [175,180) 20 0.200
第5组 [180,185] 10 0.100
合计 100 1.00
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图．
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．
解：(1)①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为＝0.300，
频率分布直方图如图所示，
(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第3组：×6＝3人，
第4组：×6＝2人，
第5组：×6＝1人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．
(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，
则从这六位同学中抽取两位同学有
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15种，
其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9种，所以第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为＝.
(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝ ；②事件A与B对立，即集合A∩B＝ ，且A∪B＝I，也即A＝ IB或B＝ IA；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.
2．古典概型
古典概型是一种最基本的概型，也是学习其它概率的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，求出n、m.
3．几何概型
几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，并能求简单的几何概型试验的概率．
随机事件的概率
[例1] 对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a 50 100 200 300 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
[解] (1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025,0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，
所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
[借题发挥] 随机事件的频率与概率的区别与联系：
频率 概率
区别 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小
联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
1．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解：(1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88,0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
互斥事件与对立事件
[例2] 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
[解] (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．
因此所求事件的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.
故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.
[借题发挥] (1)判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一样的．二是考虑事件的结果是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．
(2)应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
2．在同一试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
解析：若A为必然事件，B是不可能事件，则事件A与B不可能同时发生且必有一个发生，则事件A与B互斥且对立．
答案：C
3．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
解：(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N)，那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.根据对立事件的概率公式，得P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
古 典 概 型
[例3] (2012·郑州高一检测)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．
(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
[解] (1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为
(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A，
则P(A)＝.
(3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，
则P(B)＝1－3×＝.
[借题发挥] (1)利用古典概型概率公式P＝，计算概率时，关键是求出m，n.
(2)求基本事件个数常用列举法、列表法来解决．
4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：∵当b＝1时，没有满足条件的a值；
当b＝2时，a＝1；
当b＝3时，a可以是1，可以是2，∴共3种情况．
而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a，再从{1,2,3}中随机取一个数b，共有3×5＝15种不同取法，
∴概率为＝.
答案：D
5．在平面直角坐标系中，从5个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，求这三点能构成三角形的概率．
解：从5个点中任取3个点的所有可能结果为：
(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，E)，(A，C，D)，(A，C，E)，(A，D，E)，(B，C，E)，(B，D，E)，(C，D，E)，共10个．
而不在同一直线上的结果有8个，(A，C，E)，(B，C，D)除外．
故所求事件概率为P＝＝.
几 何 概 型
[例4] 点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为__________．
[解] 如图可设＝1，根据几何概型概率计算公式可知其整体事件是其周长3，则其概率是.
[答案]
[借题发挥] 若试验同时具有：①基本事件的无限性；②每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．
6．如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形体，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中有22＋(x＋2)2＝()2，解得x＝1或x＝－5(舍)，
∴阴影部分面积为1，
∴飞镖落在阴影部分的概率为.
答案：C
7．在区间[－1,1]上随机取一个数x, cos的值介于0到之间的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：由cos＝，x∈[－1,1]得x＝±，如图使cos的值介于0到之间的点落在和内．∴所求概率P＝＝.
答案：A
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件是随机事件的是( )
①同种电荷，互相排斥；
②明天是晴天；
③自由下落的物体作匀速直线运动；
④函数y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数．
A．①③ B．①④
C．②④ D．③④
解析：②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件．
答案：C
2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1、P2、P3，则 ( )
A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3
C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1
解析：先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P1＜P2＜P3.
答案：B
3．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是( )
A．A与C互斥 B．任何两个均互斥
C．B与C互斥 D．任何两个均不互斥
解析：三件产品至少有一件次品包含三件产品全是次品，所以B、C不互斥，而A与C对立且互斥．
答案：A
4．下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率均约为，一对夫妇生两个孩子，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大
D．10张票中有1张有奖，10人去摸，无论谁先摸，摸到有奖票的概率都是
答案：D
5．(2012·临沂高一检测)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是 ( )
A. B.
C. D.
解析：两枚硬币的情况如下：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．故出现两个正面朝上的概率P＝.
答案：C
6．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )
A．0.62 B．0.38
C．0.70 D．0.68
解析：记“取到质量小于4.8 g”为事件A，“取到质量不小于4.85 g”为事件B，“取到质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C为必然事件．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.32＋P(C)＝1，即P(C)＝1－0.3－0.32＝0.38.
答案：B
7．(2011·福建高考)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：点E为边CD的中点，故所求的概率P＝＝.
答案：C
8．从含有3个元素的集合的子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设3个元素分别为a、b、c.所有子集共8个，含有两个元素的子集共3个．
答案：D
9．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的是 ( )
A．都不是一等品 B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品 D．至多有一件一等品
解析：从5件产品中任取2件，共有10种可能结果，2件都是二等品的可能结果只有1种，2件都是一等品的可能结果有3种，一件一等品、一件二等品的可能结果有6种．
答案：D
10．在区间(0,1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个相异实根的概率为 ( )
A. B.
C. D.
解析：方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a)2－4×1×＝4a2－2>0，解得|a|>，又a∈(0,1)，所以
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p＝＝.
答案：
12．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)
162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149,172.
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率为__________．(用分数表示)
解析：样本中有8人身高在155.5 cm～170.5 cm之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率为＝.
答案：
13．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为__________．
解析：此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a－b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，∴P＝＝.
答案：
14．随机向边长为2的正方形ABCD中投一点M，则点M与A的距离不小于1且使∠CMD为锐角的概率是________．
解析：如图所示，M在阴影部分内，则
P＝＝1－.
答案：1－
三、解答题(本大题共有4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)在圆O：x2＋y2＝1的某一直径上随机地取一点Q.试求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率．
解：如图所示：
记事件过点Q且与该直径垂直的弦的长度超过1为A.
设EF＝1则在Rt△OQE中，
OE2＝OQ2＋QE2，
1＝OQ2＋，∴OQ＝.
由几何概型的概率公式得
P(A)＝＝.
而过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率为1－.
16．(12分)A、B两个箱子分别装有标号为0、1、2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.
标 号张数 箱 0 1 2
A 2 1 3
B 2 1 2
(1)从A、B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2 的概率；
(2)从A、B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0且y＝2的概率．
解：(1)记事件A＝{从A、B箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}．
基本事件总个数为6×5＝30，事件A包含基本事件的个数为5.
由古典概型的概率公式得P(A)＝＝.
则x＝2的概率为.
(2)记事件B＝{从A、B箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}．
事件B包含基本事件的个数为10.由古典概型的概率公式得P(B)＝＝.
则x＝0且y＝2的概率为.
17．(12分)(2012·山东高考)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
18．(14分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，
∴＝1，整理得：a2＋b2＝25.
由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4，或a＝4，b＝3两种情况．
∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是＝.
(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，
∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝3时，b＝3,5，共2个基本事件；
当a＝4时，b＝4,5，共2个基本事件；
当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；
当a＝6时，b＝5,6，共2个基本事件；
∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个．
∴三条线段能围成等腰三角形的概率为＝.
模块综合检测
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的)
1．算法的三种基本结构是( )
A．顺序结构、模块结构、条件结构
B．顺序结构、循环结构、模块结构
C．顺序结构、条件结构、循环结构
D．选择结构、条件结构、循环结构
答案：C
2．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：E1与E3，E1与E4均为互斥而不对立的事件．
答案：B
3．在20袋牛奶中，有3袋已过了保质期，从中任取一袋，取到已过保质期的牛奶的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：C
1 2 4
2 0 3 5 6
3 0 1 1
4 1 2
4.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别为 ( )
A．23与26 B．31与26
C．24与30 D．26与30
答案：B
5．(2011·课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．
记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝＝.
答案：A
6．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示，则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：从中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是＝.
答案：B
7．(2012·西安高一检测)下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x 1 2 3 4
用水量y 4.5 4 3 2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝－0.7x＋a，则a＝( )
A．10.5 B．5.15
C．5.2 D．5.25
解析：由于回归直线必经过点(，)，
而＝，＝，
所以＝－0.7×＋a，
∴a＝5.25.
答案：D
8．问题：①有1 000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．
方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法．其中问题与方法能配对的是 ( )
A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ
C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ
解析：本题考查三种抽样方法的定义及特点．
答案：B
9．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
解析：正方体的体积为2×2×2＝8, 以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×πr3＝×π×13＝.则点P到点O的距离大于1的概率为1－＝1－.
答案：B
10．(2012·辽宁高考)执行如图所示的程序框图，则输出的S值是( )
A．4 B.
C. D．－1
解析：第一次循环后，S＝－1，i＝2；第二次循环后，S＝，i＝3；第三次循环后，S＝，i＝4；第四次循环后S＝4，i＝5；第五次循环后S＝－1，i＝6，这时跳出循环，输出S＝－1.
答案：D
二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．(2012·湖北高考)一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．
解析：分层抽样的特点是按照各层占总体的比抽取样本，设抽取的女运动员有x人，则＝，解得x＝6.
答案：6
12．若输入38，运行下面的程序后，得到的结果是__________．
INPUT x IF 9
答案：83
13．某中学期中考试后，对成绩进行分析，求出了外语成绩x 对总成绩y的回归直线方程是＝7.3x－96.9，如果该校李明的外语成绩是95分，那么他的总成绩可能是__________分．(精确到整数)
解析：当x＝95时，＝7.3×95－96.9≈597
答案：597
14．在由1,2,3,4,5组成可重复数字的二位数中任取一个数，如21,22等表示的数中只有一个偶数“2”，我们称这样的数只有一个偶数数字，则组成的二位数中只有一个偶数数字的概率为__________．
解析：由1,2,3,4,5可组成的二位数有5×5＝25个，其中只有一个偶数数字的有14个，故只有一个偶数数字的概率为.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解：记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.由题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．
(1)取出1球为红球或黑球的概率为：
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为：
法一：P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二：P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
16．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：
零件的个数x(个) 2 3 4 5
加工的时间y(h) 2.5 3 4 4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
解：(1)散点图如图．
(2)由表中数据得：iyi＝52.5，＝3.5，＝3.5，＝54.
代入公式得＝0.7，＝1.05
∴＝0.7x＋1.05.
回归直线如图中所示．
(3)将x＝10代入回归直线方程，
得＝0.7×10＋1.05＝8.05(h)．
∴预测加工10个零件需要8.05 h.
17．(12分)(2012·天津高考)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．
所以P(B)＝＝.
18．(14分)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.
组号 分组 频数 频率
第1组 [160,165) 5 0.050
第2组 [165,170) ① 0.350
第3组 [170,175) 30 ②
第4组 [175,180) 20 0.200
第5组 [180,185] 10 0.100
合计 100 1.00
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图．
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．
解：(1)①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为＝0.300，
频率分布直方图如图所示，
(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第3组：×6＝3人，
第4组：×6＝2人，
第5组：×6＝1人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．
(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，
则从这六位同学中抽取两位同学有
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15种，
其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9种，所以第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为＝.