3．1.2 概率的意义
[读教材·填要点]
1．概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．概率只是度量事件发生的可能性的大小．不能确定是否发生．
2．游戏的公平性
(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．
(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．
3．决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，是决策中的概率思想．
4．天气预报的概率解释
天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小．
5．试验与发现
概率学知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如：奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中的一条重要统计规律．
6．遗传机理中的统计规律
奥地利遗传学家孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系．
[小问题·大思维]
1．天气预报中“明天北京的降水概率是60%，上海的降水概率是70%”．有没有可能北京降雨了，上海没有降雨？试从概率的角度加以分析．
提示：“降水概率”说明了北京与上海降雨这个随机事件发生的可能性．上海降雨的可能性比北京大，并不能说北京降雨了，上海就一定降雨，完全有可能北京降雨，而上海没有降雨．
2．连续掷硬币100次，结果100次全部是正面朝上，出现这样的结果，你会怎么想？原因何在？
提示：出现这样的情况，我们可以认为该硬币的质地是不均匀的，由于抛硬币试验中，如果该硬币是质地均匀的，则出现正面朝上和出现反面朝上的机率是一样的，即出现正面向上与出现反面向上的次数不会相差太大．
概率的意义
[例1] 解释下列概率的含义．
(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
[自主解答] (1)说明该厂产品合格的可能性为90%.
(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖．
——————————————————
随机事件在一次试验中发生与否是随机的．但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们预测事件发生的可能性．
——————————————————————————————————————
1．某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？
解：从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为n，其中n为射击次数，而且当n越大时，击中的次数就越接近n.
极大似然法的应用
[例2] 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，要从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球从哪一个箱子中取出？
[自主解答] 甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是.乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大很多．由极大似然法，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽出的．
——————————————————
在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大，这正是能够利用极大似然法来进行科学决策的理论依据.因此，在分析、解决有关实际问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一思想方法来进行科学地决策.
——————————————————————————————————————
2．某理工院校一个班级60人，男生人数为57人，把该班学生学号打乱，随机指定一个，你认为这个学生是男生还是女生？
解：从学号中随机抽出一个，是男生的可能性为＝95%，要比是女生的可能性＝5%要大的多．因此随机指定一个，估计应是男生.
概率的实际应用
[例3] 一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190
男婴数m 2 883 4 970 6 994 8 892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
[自主解答] (1)男婴出生的频率依次约是：0.520 0，0.517 3，0.517 3,0.517 3.
(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.
——————————————————
由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以可用样本出现的频率来近似地估计总体中该结果出现的概率.
——————————————————————————————————————
3．山东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂所产2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产2 500套座椅中大约有多少套次品？
解：设有n套次品，由概率的统计定义可知
＝，解得n＝125.
所以该厂所产2 500套座椅中大约有125套次品．
解释在下列情况中概率的意义：
(1)狙击手，击中目标的概率是99%；
(2)明天某地区下雪的概率为.
[错解] (1)狙击手开枪100次，一定是99次命中；
(2)明天该地区有的面积下雪．
[错因] 不能正确地理解概率的意义．
[正解] (1)狙击手开一枪，命中的可能性为99%.
(2)明天该地区有的可能性下雪，不下雪也是正常的．
1．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是( )
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①概率指的是可能性，错误；②频率为，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误．
答案：A
2．老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指( )
A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂
B．老师在讲的10道题中，李峰听懂8道
C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%
D．以上解释都不对
解析：概率的意义就是事件发生的可能性大小．
答案：C
3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6)，若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是( )
A．一定出现“6点朝上”
B．出现“6点朝上”的概率大于
C．出现“6点朝上”的概率等于
D．无法预测“6点朝上”的概率
解析：随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关．由于正方体骰子的质地是均匀的，所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的．
答案：C
4．有以下一些说法：
①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是；
②买彩票中奖的概率为0.001，那么买1 000张彩票就一定能中奖；
③乒乓球赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；
④昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为90%”是错误的．
根据我们所学的概率知识，其中说法正确的序号是__________．
解析：概率指的是事件发生的可能性的大小，故②④错．
答案：①③
5．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对．”这句话是________的(填“正确”或“错误”)．
解析：把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是，说明了对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有1,2,3,4，…甚至12个题都选择正确．
答案：错误
6．“一枚骰子掷一次得到6的概率是，这说明一枚骰子掷6次会出现一次6”，这种说法对吗？请说明你的理由．
解：虽然每次掷骰子出现6点的概率是，但连续掷6次骰子不一定会1,2,3,4,5,6各出现一次，可能出现某个数的次数多一些，另一些数不出现，这正好体现了随机事件发生的随机性．但随着试验次数的增加，出现1,2,3,4,5,6各数的频率大约相等，即都为试验次数的左右．∴这种说法是不对的．
一、选择题
1．气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，以下理解正确的是( )
A．本市明天将有70%的地区降雨
B．本市明天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定要淋雨
D．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
答案：D
2．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是 ( )
A．次品率小于10% B．次品率大于10%
C．次品率等于10% D．次品率接近10%
解析：抽出的样本中次品率为，即10%，所以总体中次品率大约为10%.
答案：D
3．“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买1 000张彩票就一定能中奖
B．买1 000张彩票中一次奖
C．买1 000张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性是
答案：D
4．事件A发生的概率接近于0，则( )
A．事件A不可能发生
B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生
D．事件A发生的可能性很大
答案：B
二、填空题
5．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量最多的是________．
答案：白球
6．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.
解析：两枚硬币落地的结果有正反，反正，正正，反反，因此上面两种情况各占，是公平的．
答案：公平
7．某单位上级分给该单位职工一套房，而该单位符合分房条件的有8位职工．现抽签决定房主人选，则甲同志入选的可能性是__________．
解析：8位职工抽出一人住房．可能性为.
答案：
8．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下：
抽查件数 50 100 200 300 450
合格件数 47 92 192 285 429
根据上表所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品．
解析：各组产品合格的频率分别为：0.94,0.92,0.96，0.95，0.95，故产品的合格率约为0.95，设大约需抽查x件产品，则0.95x＝950，∴x＝1 000.
答案：1 000
三、解答题
9．下表是某灯泡厂某车间灯泡质量检查表
抽取灯泡数 50 100 200 500 1 000 2 000
合格品 49 97 197 492 981 1 964
合格品的频率
填写合格品频率表，观察频率表，估计这批灯泡合格率是多少？
解：利用频率公式依次计算出合格品的频率．
合格品的频率依次为：0.98,0.97,0.985,0.984,0.981,0.982.估计灯泡合格率是0.98.
10．设人的某一特征(眼睛的大小)是由他的一对基因所决定，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：
(1)1个孩子由显性决定特征的概率是多少？
(2)“该父母生的2个孩子中至少有1个由显性决定特征”，这种说法正确吗？
解：父、母的基因分别为rd、rd，则这孩子从父母身上各得一个基因的所有可能性为rr，rd，rd，dd，共为4种，故具有dd基因的可能性为，具有rr基因的可能性也为，具有rd的基因的可能性为.
(1)1个孩子由显性决定特征的概率是.
(2)这种说法不正确，2个孩子中每个由显性决定特征的概率均相等，为.[读教材·填要点]
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型的概念
如果某概率模型具有以下两个特点：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等；
那么我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3．古典概型的概率公式
对于任何事件A，P(A)＝.
[小问题·大思维]
1．在掷一枚质地不均匀的硬币的一次试验中，其基本事件是什么？每个事件出现的可能性相同吗？
提示：该试验的基本事件是“出现正面向上”和“出现反面向上”．由于该硬币质地不均匀，故P(出现正面向上)≠P(出现反面向上)，从而两个基本事件出现的可能性不同．
2．“在区间[0,10]上，任取一个数，这个数恰为2的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
提示：不是．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
基本事件的计数问题
[例1] 做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于8”；
(3)事件“出现点数相等”；
(4)事件“出现点数之和等于7”．
[自主解答] (1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．
(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．
——————————————————
求基本事件个数常用列举法、列表法、树状图法来解决，并注意以下几个方面：
(1)用列举法时要注意不重不漏；
(2)用列表法时注意顺序问题；
(3)树状图若是有顺序问题时，只做一个树状图后，乘以元素个数．
——————————————————————————————————————
1．一个口袋内装有除颜色外其他均相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：
(1)基本事件总数，并写出所有的基本事件．
(2)事件“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个？
(3)摸出2个黑球的概率是多少？
解：(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球，基本事件总数为6，分别是：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)．
(2)事件“从3个黑球中摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件．
(3)基本事件总数m＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数n＝3，故P＝＝＝.
古典概型概率的求法
[例2] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另一个是红球．
[自主解答] 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数，即是从4个白球中任取两个取法总数，共有6种，为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
∴取出的两球都是白球的概率为P(A)＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．
∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝.
——————————————————
1．求古典概型的计算步骤：
(1)算出基本事件的总数n；
(2)算出事件A包含的基本事件的个数m；
——————————————————————————————————————
2．甲、乙两人做出拳游戏(锤子，剪刀，布)．
求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率．
解：设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.容易得到下图．
(1)平局含3个基本事件(图中的△)，P(A)＝＝.
(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝＝.
(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)，P(C)＝＝.
与古典概型有关的综合问题
[例3] 设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
[自主解答] 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，
方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的条件a≥b.
基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，为(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，
故事件A发生的概率为P(A)＝＝.
——————————————————
1．注意放回与不放回的区别．
2．在古典概型下，当基本事件总数为n时，每个基本事件发生的概率均为，要求事件A的概率，关键是求出基本事件总数n和事件A中所包含的基本事件数m，再由古典概型概率公式P(A)＝求事件A的概率．
——————————————————————————————————————
3．将一枚均匀的正方体骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则关系x的方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题知(b，c)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种基本事件．
若关于x的方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4ac≥0，即b2－4c≥0，以上36个基本事件中满足b2－4c≥0的有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种基本事件．
设关于x的方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为P，则P＝.
答案：A
一枚硬币连掷3次，求出现正面的概率．
[解] 设事件A表示“掷3次硬币，出现正面”．
法一：一枚硬币连掷3次，基本事件有(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)，(反，反，反)，共8个基本事件．而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，且事件A包含(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)，共7个基本事件．
因此P(A)＝.
法二：设事件A1表示“掷3次硬币，有1次出现正面”，事件A2表示“掷3次硬币，有2次出现正面”，事件A3表示“掷3次硬币，有3次出现正面”，事件A表示“掷3次硬币，出现正面”．A＝A1∪A2∪A3，容易得出P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，又因为A1、A2、A3彼此是互斥的，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
法三：设事件A表示“掷3次硬币，出现正面”，则表示“掷3次硬币，3次均出现反面”，且P()＝.
∵P(A)＋P()＝1，
∴P(A)＝1－P()＝1－＝.
1．下列试验中，是古典概型的有( )
A．种下一粒种子观察它是否发芽
B．从直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：古典概型有两大特征，即(1)有限性，试验中所有可能出现的基本事件有有限个；(2)等可能性，每个基本事件出现的可能性相等．上述选项中，只有C具有上述特征．
答案：C
2．抛掷一枚骰子，观察向上的点数，则该试验中，基本事件的个数是( )
A．1 B．2
C．4 D．6
答案：D
3．(2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A. B. C. D.
解析：标记红球为A，白球分别为B1、B2，黑球分别为C1、C2、C3，记事件M为“取出的两球一白一黑”．则基本事件有：(A，B1)、(A，B2)、(A，C1)、(A，C2)、(A，C3)、(B1，B2)、(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)、(C1，C2)、(C1，C3)、(C2，C3)，共15个．其中事件M包含的基本事件有：(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)，共6个．根据古典概型的概率计算公式可得其概率为P(M)＝＝.
答案：B
4．有一栋楼共6个单元，小玉与小刚都在此楼内，他们在此楼同一单元的概率为________．
解析：设(m，n)表示小玉与小刚的居住情况，其中m为小玉所住的单元，n为小刚所住的单元，则小玉与小刚的住法为：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)．共36种情况，而他们在同一单元的情况为：(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)共6种情况，所以他们在此楼同一单元的概率为＝.
答案：
5．从分别写有数字1,2,3，…，9的9张卡片中，任意取出2张，观察上面的数字，则两数之积是完全平方数的概率为____________．
解析：从9张卡片中任取两张有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36种取法．积为完全平方数时有(1,4)，(1,9)，(2,8)，(4,9)共4种，故所求概率为＝.
答案：
6．用红、黄、蓝三种不同颜色给3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：3个矩形颜色都不同的概率．
解：所有可能的基本事件共有27个，如图
红 蓝 黄
设“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有2×3＝6(个)，故P(B)＝＝.
一、选择题
1．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，________不是基本事件．( )
A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球}
C．{正好2个白球} D．{至少1个红球}
解析：至少1个红球包括“一红一白”，“一红一黑”，“二红球”．
答案：D
2．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝.
答案：B
3．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四种，而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P＝.
答案：A
4．若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆x2＋y2＝9内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：掷骰子共有6×6＝36(种)可能情况，而落在x2＋y2＝9内的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种，故所求概率P＝＝.
答案：D
二、填空题
5．在1,3,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客等候1路或3路公共汽车，假定当时各路公共汽车首先到站的可能性相等，则首先到站的正好是这位乘客所要乘的公共汽车的概率是__________．
解析：∵ 4种公共汽车先到站有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，∴P＝＝.
答案：
6．盒子中有10个相同的小球分别标为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，从中任取一球，则此球的号码为3的倍数的概率为________．
解析：由题意得基本事件总个数为10.
设A＝“抽出一球的号码为3的倍数
则A事件的基本事件个数为3个，
∴P(A)＝.
答案：
7．从含有3件正品、1件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是________．
解析：从4件产品中不放回地任取两件，共有6个基本事件，事件“取出的两件中恰有一件次品”的基本事件有3个，故概率为
答案：.
8．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k＋1，其中k＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14”为事件A，则P(A)＝__________.
解析：从这20张卡片中任取一张：(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,11)，(11,12)，(12,13)，(13,14)，(14,15)，(15,16)，(16,17)，(17,18)，(18,19)，(19,20)，共有20个基本事件．卡片上两个数的各位数字之和不小于14的有：(7,8)，(8,9)，(16,17)，(17,18)，(18,19)，共5个基本事件，则P(A)＝＝.
答案：
三、解答题
9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
解：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，
则中三等奖的概率为P(A)＝.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．
则中奖概率为P(B)＝＝.
10．(2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频 数 10 20 16 16 15 13 10
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；
②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
解：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85.
当日需求量n<17时，利润y＝10n－85.
所以y关于n的函数解析式为
y＝ (n∈N)．
(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为
(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4.
②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.3．1.1 随机事件的概率
[读教材·填要点]
1．事件的概念及分类
事 件
2．频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
3．概率
(1)含义：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．
(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
[小问题·大思维]
1．随机事件概念中的“在条件S下”能否去掉？
提示：不能，事件是试验的结果，而在不同条件下试验的结果往往是不一样的，如常温下水是液态，能流动，加上条件：在零下10 ℃，就是不可能事件，在零上5 ℃，就是必然事件．
2．“频率就是概率”这种说法正确吗？
提示：这种说法不正确，频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常通过大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．
事件类型的判断
[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)“天上有云朵，下雨”；
(2)“在标准大气压下且温度高于0 ℃时，冰融化”；
(3)“某人射击一次，不中靶”；
(4)“如果a＞b，那么a－b＞0”；
(5)“掷一枚硬币，出现反面朝上”；
(6)“从3个次品、1个正品共4个产品中抽取2个产品，抽到的都是正品”；
(7)“从分别标有1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
(9)“没有水分，种子发芽”；
(10)“同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上”．
[自主解答] (2)、(4)是必然事件，
(6)、(9)是不可能事件，
(1)(3)(5)(7)(8)(10)是随机事件．
本例中(3)、(4)改为下列事件，其结果如何呢？(1)“某人射击一次，中靶或不中靶”；(2)“如果a，b∈R，那么a－b＞0”．解：(1)是必然事件；(2)是随机事件.
——————————————————
要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生.一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
——————————————————————————————————————
1．在10个同类产品中，有8个正品，2个次品，从中任意抽出3个检验，据此列出其中的不可能事件、必然事件、随机事件．
解：不可能事件是：“抽到3个次品”；
必然事件是：“至少抽到1个正品”；
随机事件是：“抽到3个正品”，“抽到2个正品，1个次品”，“抽到1个正品，2个次品”.
对试验结果的分析
[例2] 指出下列试验的结果：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差．
[自主解答] (1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．
(2)结果：
1－3＝－2,3－1＝2，
1－6＝－5,3－6＝－3，
1－10＝－9,3－10＝－7，
6－1＝5,10－1＝9，
6－3＝3,10－3＝7，
6－10＝－4,10－6＝4.
把本例(2)中条件“任取两个数(不重复)作差”改为“任取两个数(不重复)求和”，列出所有结果．解：结果：1＋3＝4,1＋6＝7,1＋10＝11,3＋6＝9,3＋10＝13,6＋10＝16.
——————————————————
准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础.在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏
——————————————————————————————————————
2．某人做试验“从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取小球两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字“.
求这个试验结果的种数．
解：当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；同理，当x分别为3,4时，也各有3个不同的y，所以共有12个不同的有序数对．故这个试验结果的种数为12.
频率与概率的关系及求法
[例3] 某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数 n 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟数nA 81 95 120 81 119 127 121
(1)求各次击中飞碟的频率．(保留三位小数)
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
[自主解答] (1)由公式fn(A)＝可算得，击中飞碟的频率依次为0.810, 0.792, 0.800, 0.810, 0.793, 0.794, 0.807.
(2)由(1)可知射手在同一条件下击中飞碟的频率都在0.800附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.800.
——————————————————
1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频
率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是
概率.?
2.此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据概率的定义确定频率的稳定值，即为概率的近似值.
——————————————————————————————————————
3．天成书业对本公司某教辅材料的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：
被调查人数n 1 001 1 000 1 004 1 003 1 000
满意人数m 999 998 1 002 1 002 1 000
满意频率
(1)计算表中的各个频率；
(2)读者对该教辅材料满意的概率P(A)约是多少？
解：(1)表中各个频率依次是0.999,0.998,0.998,0.999,1，(2)由第(1)问的结果，可知在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是“读者对某教辅材料满意”的概率约是P(A)＝0.998，用百分数表示就是P(A)＝99.8%.
先后抛掷两枚质地均匀的硬币，则
(1)一共可能出现多少种不同的结果？
(2)出现“一枚正面，另一枚反面”的情况分几种？
[错解] (1)一共可能出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面，一枚反面”，3种不同情况；
(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果只有一种．
[错因] 错解忽视了“先后”两个关键词，将“一正一反”“一反一正”两种情况误认为是“一正一反”一种情况．
[正解] (1)一共可能出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面、一枚反面”“一枚反面、一枚正面”，4种不同的结果．
(2)出现“一枚正面、另一枚反面”的情况有2种．
1．下面的事件：①掷一枚硬币，出现反面；②异性电荷相互吸引；③3＋5>10.是必然事件的有( )
A．② B．③
C．① D．②③
解析：①是随机事件，②是必然事件，③是不可能事件．
答案：A
2．下列事件：
①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；
②某人买彩票中奖；
③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；
④在标准大气压下，水加热到90 ℃时会沸腾．
其中是随机事件的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①②是随机事件，③是必然事件，④是不可能事件．
答案：B
3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
解析：取到号码为奇数的次数为10＋8＋6＋18＋11＝53.
∴f＝＝0.53.
答案：A
4．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．
其中必然事件是__________，不可能事件是__________，
随机事件是__________．
解析：从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是．“三个全是正品”，“二个正品一个次品”，“一个正品二个次品”．
答案：(6) (4) (1)(2)(3)(5)
5．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频数为__________，事件A出现的频率为__________．
解析：100次试验中，48次正面朝上则52次反面朝上．又频率＝.
答案：52 0.52
6．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n 8 10 12 9 10 16
进球次数m 6 8 9 7 7 12
(1)计算表中每次投篮的频率值．
(2)该运动员投篮的命中率约为多少．
解：该运动员投篮的频率值依次为
，，，，，，
(2)由(1)可知频率总在的附近摆动．可知运动员的进球概率约为，也就是其投篮的命中率为.
一、选择题
1．以下事件是随机事件的是( )
A．标准大气压下，水加热到100 ℃，必会沸腾
B．走到十字路口，看到红灯
C．长，宽，高分别为a、b、c的长方体，其体积为a·b·c
D．在一个三角形中，大边对的角小，小边对的角大
解析：A是必然事件，C为必然事件，D为不可能事件．
答案：B
2．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增大，有( )
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
答案：D
3．某人将一枚均匀的正方体骰子，连续抛掷了100次，出现6点的次数为19次，则 ( )
A．出现6点的概率为0.19
B．出现6点的频率为0.19
C．出现6点的频率为19
D．出现6点的概率接近0.19
解析：频率＝＝0.19，频数为19.
答案：B
4．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0,1]之间，故A错，B、D混淆了频率与概率的概念，也错．
答案：C
二、填空题
5．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
解析：设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，
故进行了500次试验．
答案：500
6．下列事件是必然事件的有________，不可能事件有________，随机事件有________．
①某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；
②同一门炮向同一目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；
④技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现；
⑤哥哥的年龄比弟弟大．
答案：(5) (4) (1)(2)(3)
7．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中3件都是次品，这个事件是____________(填“必然”，“不可能”或“随机”)事件．
答案：不可能
8．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：
落在桌面的数字 1 2 3 4 5
频数 32 18 15 13 22
则落在桌面的数字不小于4的频率为__________．
解析：落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35.所以频率＝＝0.35.
答案：0.35
三、解答题
9．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分．然后做了统计，下表是统计结果：
贫困地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率
发达地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；
(3)分析贫富差距为什么会引起人的智力的差别．
解：(1)贫困地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率 0.533 0.540 0.520 0.520 0.512 0.503
发达地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率 0.567 0.580 0.560 0.555 0.552 0.550
(2)两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.510和0.550.
(3)经济上的贫困导致该地区群众生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外，经济落后也会使教育事业发展落后，这都是贫富差距引起智力差别的原因．
10．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：
直径 个数 直径 个数
6.88＜d≤6.89 1 6.93＜d≤6.94 26
6.89＜d≤6.90 2 6.94＜d≤6.95 15
6.90＜d≤6.91 10 6.95＜d≤6.96 8
6.91＜d≤6.92 17 6.96＜d≤6.97 2
6.92＜d≤6.93 17 6.97＜d≤6.98 2
从这100个螺母中任意抽取一个，求
(1)事件A(6.92
(2)事件B(6.90(3)事件C(d>6.96)的频率；
(4)事件D(d≤6.89)的频率．
解：(1)事件A的频率
f(A)＝＝0.43.
(2)事件B的频率
f(B)＝＝0.93.
(3)事件C的频率f(C)＝＝0.04.
(4)事件D的频率f(D)＝＝0.01.[读教材·填要点]
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．几何概型概率公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：
P(A)＝.
[小问题·大思维]
1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？
提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．
2．几何概型中，概率为0的事件一定是不可能事件吗？概率为1的事件也一定是必然事件吗？
提示：如果随机事件所在区域是一个单点，因单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0(即P(A)＝0)，但它不是不可能事件；如果随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1(即P(A)＝1)，但它不是必然事件．
与长度有关的几何概型
[例1] 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长大于AC的长的概率．
[自主解答] 如图所示，设AC＝BC＝a，
则AB＝a，在AB上截取AC′＝AC，
于是P(AM＞AC)＝P(AM＞AC′)
＝＝＝＝.
即AM的长度大于AC的长的概率为.
——————————————————
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．
——————————————————————————————————————
1．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任意x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率为( )
A．0.1 B.
C．0.3 D．0.4
解析：f(x0)＝x－x0－2≤0.
－1≤x0≤2.
x0∈[－1,2]长度为2－(－1)＝3.
∴＝0.3.
答案：C
与角度有关的几何概型
[例2] 如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.
求AM＜AC的概率．
[自主解答] 在AB上取AC′＝AC，
则∠ACC′＝＝67.5°.
设A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM＜AC}．
则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°，
∴P(A)＝＝.
在本例中，求AM——————————————————
1．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．
2．与角度有关的几何概型的概率计算公式为
P(A)＝.
3．解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．
——————————————————————————————————————
2．在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．
解析：记B＝{射线OA落在∠xOT内}，则事件B构成的区域是∠xOT，全部试验结果区域是周角．
∵∠xOT＝60°，∴P(B)＝＝.
答案：
与面积有关的几何概型
[例3] 如图所示，圆盘中阴影部分扇形的圆心角为60°。若向圆盘内投镖，如果某人每次都能随机投入圆盘中，那么他投中阴影部分的概率为__________．
[自主解答] 设圆盘的半径为r，投中阴影部分为事件A.阴影部分面积为S′＝＝πr2.
∴P(A)＝＝.
[答案]
——————————————————
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积．
(3)套用公式从而求得随机事件的概率．
——————————————————————————————————————
3.在一个边长为3 cm 的大正方形内部画一个边长为2 cm的小正方形，问在大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率．
解：记A＝{所投点落入小正方形内}，
S小正方形＝22＝4(cm2)，
S大正方形＝32＝9(cm2)，
∴P(A)＝＝.
与体积有关的几何概型
[例4] 有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
[自主解答] 判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设小水杯中含有这个细菌为事件A，
则事件A构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P(A)＝＝0.05.
——————————————————
如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的点的体积及事件A所分布的体积．其概率的计算公式为P(A)＝.
——————————————————————————————————————
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为a，在正方体内随机取一点P，求：
(1)点P到面ABCD的距离大于的概率P1；
(2)点P到面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于的概率P2.
解：(1)由题意知，
正方体体积V＝a3，而“点P到面ABCD的距离大于”可转化为“所取点P在如图所示的平面EFGH上方”，其中AE＝BF＝CG＝DH＝，而长方体EFGH－A1B1C1D1的体积V1＝a·a·a＝a3，∴点P到面ABCD的距离大于的概率P1＝＝＝.
(2)由题意并参照(1)中的过程，知其概率为
P2＝＝.
国家安全机关的监听录音记录了两名间谍的谈话，发现在30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段谈话内容包含两名间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了．该工作人员声称他完全是无意中按错了键，才使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率有多少？
[巧思] 因为在任意时刻都会按错键，即在任意时刻按错键是等可能的，且有无限多个结果，符合几何概型．可以用“按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉”所发生的时间与总时间的比值进行求解．
[妙解] 包含两名间谍谈话录音的部分在30～40 s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉；当按错键的时刻在0～30 s之间时，全部被擦掉．即在0～40 s之间的时间段内任一时刻按错键时，含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉，而在0～30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的．所以按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段的长度有关，符合几何概型的条件．
设事件A表示“按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉”，事件A发生就是在0～ min的时间段内按错键．所以μA＝ min，μΩ＝30 min，P(A)＝＝＝.
1．下面关于几何概型的说法错误的是( )
A．几何概型也是古典概型的一种
B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个
D．几何概型中每个结果的发生具有等可能性
解析：古典概型属有限等可能性，而几何概型是无限等可能，所以几何概型不能划到古典概型之列．
答案：A
2．(2012·辽宁高考)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设|AC|＝x cm,020，则x2－12x＋20<0,2答案：C
3．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：地板砖共有3×4＝12块，黑色有4块．
∴＝.
答案：A
4．一条河上有一个渡口，每隔一小时有一趟渡船，河的上游还有一座桥，某人到这个渡口等候渡船，他准备等候20分钟，如果20分钟渡船不到，他就要绕到上游从桥上过河．则他乘船过河的概率是__________．
解析：＝.
答案：
5．在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________ (结果保留整数)．
解析：设正方形边长为2a，则S正＝4a2，
S圆＝πa2.因此芝麻落入圆内的概率为P＝＝，大约有1 000×≈785粒．
答案：785
6．将一长为 18 cm的线段随机地分成三段，则这三段能组成一个三角形的概率是多少？
解：假设x与y表示三个长度中的两个，因为是长度，所以应有：x>0，y>0和x＋y<18，即所有x和y值必须在如图所示的以(0,18)，(0,0)和(18,0)为顶点的三角形内．
要组成三角形，由组成三角形的条件知，x和y都小于9，且x＋y>9(如图所示的阴影部分)，又因为阴影部分三角形的面积占大三角形面积的，故能够组成三角形的概率为0.25.
一、选择题
1．某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为＝.
答案：B
2．(2011·郑州高一检测)有四个游戏盘，如图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为( )
解析：对A，P(A)＝，对B，P(B)＝；对C，
P(C)＝＜；对D，
P(D)＝，显然P(A)最大，
因此应选游戏盘A.
答案：A
3．水面直径为0.2 m的鱼缸的水面上飘着一块面积为0.02 m2的浮萍，则向鱼缸随机撒鱼食时，鱼食掉在浮萍上的概率为( )
A．0.1 B．0.02
C．0.2 D.
解析：r＝＝0.1 m，S＝π×0.12＝0.01π m2.
＝.
答案：D
4．(2012·湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A．1－ B.－
C. D.
解析：设OA＝OB＝r，则两个以为半径的半圆的公共部分面积为2[π·()2－×()2]＝，两个半圆外部的阴影部分面积为πr2－[π()2×2－]
＝，所以所求概率为＝1－.
答案：C
二、填空题
5．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
答案：
6．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于20 min的概率为________．
解析：由几何概型知，P＝＝.
答案：
7．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为__________．
解析：＝0.005.
答案：0.005
8．如图，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向阴影所示区域时甲胜，否则乙胜，则甲获胜的概率是__________．
解析：共分为8部分阴影占5部分．
答案：
三、解答题
9．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．
解：记F＝{作射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°}，作射线OD、OE，使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DOE 内时，使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则P(F)＝＝.
10．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r＜a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．
解：设事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，参看图，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0，a]，只有当r＜|OM|≤a时，
硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r，a]．
所以P(A)＝＝.3．1.3 概率的基本性质
[读教材·填要点]
1．事件的关系与运算
定义 表示法 图示
事件的关系 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A(或A B)
事件互斥 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若A∩B＝ ，则A与B互斥
事件对立 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 若A∩B＝ ，且A∪B＝U，则A与B对立
事件的运算 并事件 若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
2．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为[0,1]．
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
[小问题·大思维]
1．在同一试验中，设A、B是两个随机事件，“若A∩B＝ ，则称A与B是两个对立事件”，对吗？
提示：不对．若有A∩B＝ ，仅能说明A与B的关系是互斥的，只有A∪B为必然事件，A∩B为不可能事件时，A与B才是两个对立事件．
2．在同一试验中，对任意两个事件A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？
提示：不一定．只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．
3．互斥事件与对立事件的区别与联系是什么？
提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而对立事件则必有一个发生，但不可能同时发生，所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．
事件关系的判断
[例1] 从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)至少有1个白球，都是白球；
(2)至少有1个白球，至少有一个红球；
(3)至少有一个白球，都是红球．
[自主解答] (1)不是互斥事件，因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件．
(2)不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件．
(3)是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件．
——————————————————
判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一样的．二是考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．
——————————————————————————————————————
1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列各组中的两个事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
解：(1)“恰有1名男生”即1名男生1名女生，“恰有2名男生”即2名男生，两个事件不能同时发生，因而是互斥事件．而总事件中除了上述两个事件外，还有“恰有2名女生”这种可能，故两个事件不对立．
(2)“至少有1名男生”包括1名男生1名女生及两名男生这两种可能，故两个事件有可能同时发生，因而两个事件不互斥．
(3)“全是女生”即2名女生，“至少有1名男生”包括1名男生1名女生及2名男生，两个事件不能同时发生，因而是互斥事件．又因为两个事件一定有一个发生，故两个事件对立．
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”有可能同时发生，因而两个事件不互斥．
事件的运算
[例2] 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[自主解答] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，三个均为红球，故C∩A＝A.
在本例中A与D是什么关系？事件A与B的交事件是什么？解：由本例的解答，可知A D.因为A、B是互斥事件，所以A∩B＝ .
——————————————————
进行事件的运算时，一是要扣紧运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
——————————————————————————————————————
2．在某大学数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2000年后出版的书}．问：
(1)A∩B∩表示什么事件？
(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A
(3) B表示什么意思？
(4)如果＝B，那么是否意味着图书室中所有的数学书都不是中文版的？
解：(1)A∩B∩＝{2000年或2000年前出版的中文版的数学书}．
(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.
(3) B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的．
(4)是.＝B意味着图书室中非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．同时＝B又可等价成＝A，因而也可解释为：图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书．
互斥、对立事件的概率
[例3] 甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
[自主解答] (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝.
即甲获胜的概率是.
(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝.
法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.
即甲不输的概率是.
——————————————————
1．互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
——————————————————————————————————————
3．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
解：(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，
所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)
＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，则
P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1，则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________．
[解析] 记“该食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0”为事件A，“该食品企业在一个月内被消费者投诉次数为1”为事件B，“该食品企业在一个月内被消费者投诉次数为2”为事件C，“该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D.
法一：由题意知事件A、B、C彼此互斥，而事件D包含基本事件A与B，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.
法二：设事件C表示“该食品企业在一个月内被消费者投诉次数为2”，“该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意知事件C与D是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.
[答案] 0.9
1．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )
A．A B
B．A B
C．A与B互斥
D．A与B互为对立事件
答案：C
2．抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件P＝{向上的点数是1}，事件Q＝{向上的点数是3}，则事件P∪Q表示向上的点数是( )
A．1 B．2
C．4 D．1或3
答案：D
3．从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
解析：由互斥事件的定义可知，③正确，只有③的两个事件不会同时发生．
答案：C
4．如右图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.25、0.20、0.35，则不中靶的概率是__________．
解析：1－0.25－0.20－0.35＝0.2.
答案：0.2
5．口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球的概率是0.3，摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是__________．
解析：P＝1－0.3－0.5＝0.2.
答案：0.2
6．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)射中7环以下的概率．
解：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，
则“射中10环或7环”的事件为A∪B，事件A和事件B是互斥事件，
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49，
所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)设“射中7环以下”为事件C，“射中7环或8环或9环或10环”为事件D，
则P(D)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97.
又事件C和事件D是对立事件，所以P(C)＝1－P(D)＝1－0.97＝0.03.
所以射中7环以下的概率是0.03.
一、选择题
1．事件M N，当N发生时，下列必发生的是( )
A．M B．M∩N
C．M∪N D．M的对立事件
解析：由于M N，则当N发生时，M不一定发生，M∩N也不一定发生，而M∪N一定发生．
答案：C
2．如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件 B．C∪D是必然事件
C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥
解析：由于事件A与B互斥，即A∩B＝ ，则C∪D＝U(U为全集)是必然事件．
答案：B
3．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A∪B及B∪C的概率分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：P(A)＝；P(B)＝；P(C)＝.
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝.
答案：A
4．据某医疗机构调查，某地区居民血型分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现有一血型为A的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为 ( )
A．65% B．45%
C．20% D．15%
解析：50%＋15%＝65%.
答案：A
二、填空题
5．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是__________．
解析：出现一级品的概率为0.98－0.21＝0.77；
出现三级品的概率为1－0.98＝0.02.
答案：0.77 0.02
6．某城市2009年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T 30 60 100 110 130 140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2009年空气质量达到良或优的概率为________．
解析：所求概率为＋＋＝.
答案：
7．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现3点”，B表示事件“出现偶数点”，则P(A∪B)等于________．
解析：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
8．袋中12个小球，分别有红球，黑球，黄球各若干个(这些小球除颜色外其他都相同)，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球的概率比得到黄球的概率多，则得到黑球、黄球的概率分别是__________．
解析：∵得红球的概率为，∴黑球或黄球的概率为.
记“得到黄球”为事件A，“得到黑球”为事件B，则∴P(A)＝，P(B)＝.
答案：
三、解答题
9．一个盒子中有10个完全相同的球，分别标有号码1,2，…，10，从中任取一球，求下列事件的概率：
(1)A＝{球的标号数不大于3}；
(2)B＝{球的标号数是3的倍数}；
(3)C＝{球的标号数是质数}．
解：(1)球的标号不大于3包括三种情形，即球的标号分别为1,2,3.
则P(A)＝P(球的标号为1)∪P(球的标号为2)∪P(球的标号为3)＝＋＋＝.
(2)球的标号是3的倍数包括球的标号数为3,6,9三种情况．
则P(B)＝＋＋＝.
(3)球的标号数为质数包括四种情况，即球的标号数为2,3,5,7.
则P(C)＝＋＋＋＝＝.
10．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A、B、C能答对题目的概率P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，诸葛亮D能答对题目的概率P(D)＝，如果将三个臭皮匠A、B、C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？
解：若三个臭皮匠A、B、C能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，
则P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＞P(D)＝，
故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．