3．1.2 用二分法求方程的近似解
[读教材·填要点]
1．二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．二分法的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)：
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
[小问题·大思维]
1．能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？
提示：不能．看一个函数能否用二分法求其零点的依据是函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右两侧函数值异号．
2．由二分法的步骤，你认为“精确度”与“精确到”是一回事吗？
提示：不是一回事．这里所谓的“精确度”是指区间的长度达到某个规定的数值ε，即|a－b|<ε.而“精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位，如计算1－精确到0.01，即为0.33.
3．当区间(a，b)的长度达到精确度ε，即|a－b|<ε时，通常如何确定零点的近似值？
提示：当区间长度达到精确度时，可取区间内的任何一个数值作为零点．为方便，常取区间的端点a(或b)作为零点．
用二分法求函数零点
[例1] 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度为0.1)．
[自主解答] 由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点 中点函数值
(1,2) 1.5 －2.625
(1.5,2) 1.75 0.234 4
(1.5,1.75) 1.625 －1.302 7
(1.625,1.75) 1.687 5 －0.561 8
(1.687 5,1.75) 1.718 75 －0.170 7
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以可将1.687 5作为函数零点的近似值．
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用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点．当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点．
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1．判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度为0.1)．
解：因为f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点值 中点函数近似值
(1,1.5) 1.25 －0.3
(1.25,1.5) 1.375 0.22
(1.25,1.375) 1.312 5 －0.05
(1.312 5,1.375) 1.343 75 0.08
由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1，
所以函数的一个近似零点为1.312 5.
用二分法求方程的近似解
[例2] 求方程x2＝2x＋1 的一个近似解(精确度0.1)．
[自主解答] 设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一实数根，记为x0取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，
∴2
再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，
∴2.25如此继续下去，有
f(2.375)<0，f(2.5)>0 x0∈(2.375,2.5)；
f(2.375)<0，f(2.4375)>0 x0∈(2.375,2.4375)．
∵|2.375－2.4375|＝0.062 5<0.1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.
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2．求方程lg x＝2－x的近似解．(精确度为0.1)．
解：在同一坐标系中，作出y＝lg x，y＝2－x的图象如图所示，可以发现方程lg x＝2－x 有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．
设f(x)＝lg x＋x－2，
则f(x)的零点为x0.
用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0 x0∈(1,2)；
f(1.5)<0，f(2)>0 x0∈(1.5,2)；
f(1.75)<0，f(2)>0 x0∈(1.75,2)，
f(1.75)<0，f(1.875)>0 x0∈(1.75,1.875)；
f(1.75)<0，f(1.812 5)>0 x0∈(1.75,1.812 5)．
∵|1.812 5－1.75|＝0.062 5<0.1，
∴方程的近似解可取为1.8125.
解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
探索函数y＝1.3x与函数y＝log1.3x的图象有无交点，如有交点，求出交点的坐标(精确度为0.1)．
[巧思] 探究函数图象的交点问题，就是探究两个函数，当函数值相等时，自变量x的值，即方程的根的存在性问题，确定存在后，再用二分法求近似值．
[妙解] 设函数f(x)＝1.3x－log1.3x，因为f(1)＝1.3>0，f(2)≈－0.95<0，且函数f(x)＝1.3x－log1.3x的图象在(1,2)上是连续的曲线，所以方程1.3x－log1.3x＝0在区间(1,2)内有实数解x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，
用计算器可算得f(1.5)≈－0.06<0.
因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1,1.5)．取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器可算得f(1.25)≈0.54>0.因为f(1.25)·f(1.5)<0，
所以x0∈(1.25,1.5)．
同理可得x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.437 5,1.5)，
x0∈(1.468 75,1.5)．
由于|1.5－1.468 75|<0.1，所以此时区间(1.468 75，1.5)的两个端点均可作为函数 f(x)零点的近似值，所以方程1.3x－log1.3x＝0在区间(1,2)内的解约为1.5(不唯一)．
所以函数y＝1.3x与函数y＝log1.3x在区间(1,2)内的交点坐标约为(1.5,1.31.5)，即(1.5,1.5)．
1．如图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是( )
解析：按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．
答案：A
2．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
解析：∵f(－1)＝－3<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2－3<0，f(2)＝4－3＝1>0.
答案：C
3．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为<0.01.
答案：B
4．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
解析：由零点的存在性可知，x0∈(0,0.5)，取该区间的中点＝0.25.
∴第二次应计算f(0.25)．
答案：(0,0.5) f(0.25)
5．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)
解析：∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，
∴方程解在(0.687 5,0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1.
∴解为＝0.718 75.
答案：0.718 75
6．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度为0.1)．
解：令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16<0，
f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间
(2.2，2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，
所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.0625，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.2,2.25)，
由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.
一、选择题
1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
解析：图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.
答案：D
2．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f(b)<0，用二分法求x0时，当f()＝0时，则函数f(x)的零点是( )
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间(a，)或(，b)内的任意一个实数
D．x＝a或x＝b
答案：B
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则由f(1.25)·f(1.5)<0可知方程根落在(1.25,1.5)上．
答案：B
4．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(an，bn)内，当|an－bn|<ε时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过( )
A．ε B.ε
C．2ε D.ε
解析：最大误差即为区间长度ε.
答案：A
二、填空题
5．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：
x －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) －136 －21 6 19 13 －1 －8 －2 4 29 98
则下列判断正确的是________．
①函数f(x)在区间(－1,0)内有零点；
②函数f(x)在区间(2,3)内有零点；
③函数f(x)在区间(5,6)内有零点；
④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．
解析：f(－1)·f(0)＜0，f(2)·f(3)＜0，
f(5)·f(6)＜0，又f(x)的图象连续不断，
所以函数f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三个区间上均有零点，但不能断定有几个零点，故①②③正确，④不正确．
答案：①②③
6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，
f(x)图象在[2,3]上连续不断，
∵f(2)＝－1＜0，
f(3)＝16＞0，
f(x0)＝f(2.5)＝5.625＞0，
∴f(2)·f(2.5)＜0，
故下一个有根区间是(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
7．已知方程mx2－x－1＝0在(0,1)区间恰有一解，则实数m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝mx2－x－1，∵方程mx2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，∴当m＝0时，方程－x－1＝0在(0,1)内无解，当m≠0时，由f(0)f(1)<0，
即－1(m－1－1)<0，解得m>2.
答案：(2，＋∞)
8．从上海到旧金山的海底电缆有15个接点，现发现某处接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查接点个数是________．
解析：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．
答案：3
三、解答题
9．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．
解：设f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：
(a，b) (a，b) 的中点 f(a) f(b) f()
(0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
因为|0.687 5－0.75|＝0.0625<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的精确度为0.1的一个近似解可取为0.75.
10．证明方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一的实数解，并求出这个实数解(精确度为0.1)．
解：设函数f(x)＝6－3x－2x，
∵f(1)＝6－3－2＝1＞0，f(2)＝6－3×2－22＝－4＜0，
并且f(x)＝6－3x－2x在(1,2)上是减函数，
∴函数f(x)＝6－3x－2x在区间(1,2)内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间(1,2)有唯一的实数解．
设该解为x0，则x0∈(1,2)，取x1＝1.5，
f(1.5)≈－1.33＜0，f(1)·f(1.5)＜0，
∴x0∈(1,1.5)．
取x2＝1.25，f(1.25)≈－0.128＜0，f(1)·
f(1.25)＜0，
∴x0∈(1,1.25)；
取x3＝1.125，f(1.125)≈0.44＞0，
∴f(1.125)·f(1.25)＜0.
∴x0∈(1.125,1.25)．
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈0.16＞0，
∴f(1.187 5)·f(1.25)＜0.
∴x0∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.187 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，
∴可取x0＝1.25，
则方程的一个实数解为1.25.3．2.1 几类不同增长的函数模型
[读教材·填要点]
1．三种函数模型的性质
函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
增长的速度 先慢后快 先快后慢 相对平稳
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．
(3)存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax.
[小问题·大思维]
1．对函数y1＝100x，y2＝log100x，y3＝x100，y4＝100x，当x越来越大时，增长速度最快的应该是哪一个函数？
提示：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y4＝100x增长速度最快．
2．你能举例说明“指数爆炸”增长的含义吗？
提示：如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>x0时，数量会增加得特别快，足以体现“爆炸”的效果．
3．若x∈(0,1)，则2x，x，lgx的大小关系是什么？
提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x，y＝x和y＝lgx的图象即可得出结论，即2x>x>lgx
函数模型的增长差异
[例1] 一天，李先生打算将1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：一是单利，即只有本金生息，利息不再产生利息，年利率为4%；二是复利，即第一年所生的利息第二年也开始计息，年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分)，问李先生应选用哪种计息方式？
[自主解答] 若年利率为r，则扣除利息税后，实际利率为0.8r.
按单利计息，则第n年的本息为10 000(1＋n×0.8×0.04)＝10 000(1＋0.032n)(元)；
按复利计息，则第n年的本息为10 000(1＋3.6%×0.8)n＝10 000×1.028 8n(元)，
列表如下(单位：元)
年数 1 2 3 4 5
单利 10 320 10 640 10 960 11 280 11 600
复利 10 288 10 584 10 889 11 203 11 525
年数 6 7 8 9 10
单利 11 920 12 240 12 560 12 880 13 200
复利 11 857 12 199 12 550 12 912 13 283
从上表可以看出，若存款年数不超过8年，应选用单利计息；若存款年数超过8年，则应选用复利计息．
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1．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
解析：由图象可知，该函数模型应为指数函数．
答案：A
函数模型的应用
[例2] 某地西经柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本为Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
(1)根据上表中的数据，从下列函数中选取一个解析式来描述西红柿种植成本Q与上市时间的变化关系： Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt.
(2)利用你所选择的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[自主解答] (1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选取Q＝at2＋bt＋c.
即
解得Q＝t2－t＋.
(2)Q＝(t－150)2＋－
＝(t－150)2＋100，
∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg.
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应用题目提供的信息解决实际问题时最重要的是：如何正确选择函数模型，由所给的数据直接发现函数模型一般来说是很困难的．我们可以根据各类函数的不同性质，特别是各类函数在一定范围内的增长差异性，直接选择可能的模型，再将个别数据代入进行筛选，从而确定正确的函数模型．
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2．电信局为了满足客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)试问：
(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠．
解：由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，
MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则
fA(x)＝
fB(x)＝
(1)通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元．
(2)因为fB(x＋1)－fB(x)
＝(x＋1)＋18－x－18
＝＝0.3(元)(x>500)，
所以，方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由图知，当0≤x≤60时，
有fA(x)当x>500时，fA(x)>fB(x)，
当60fB(x)，得x>，
即当通话时间在(，＋∞)时，方案B较方案A优惠.
解题高手 易错题 审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！
某工厂转换机制，两年内生产产值的月增长率都是a，则这两年的年增长率是多少？
[错解] 设第一年年末的产值为b，则第二年年末的产值是b(1＋a)11，
依题意得所求增长率是＝(1＋a)11－1.
[错因] 本题错解的原因是对增长率问题的公式y＝N(1＋p)x未能理解透彻而造成指数写错．或者是由于审题不缜密而造成题意的理解错误．
[正解] 不妨设第一年一月份产值为b.
则二月份产值为b(1＋a)，十二月份产值为b(1＋a)11，
年产值总量M1＝b[1＋(1＋a)＋(1＋a)2＋…＋(1＋a)11]
第二年一月份产值为b(1＋a)12，
二月份产值为b(1＋a)13.
…十二月份产值为b(1＋a)23，
年产值总量M2＝b(1＋a)12[1＋(1＋a)＋…＋(1＋a)11]．所以这两年增长率为＝(1＋a)12－1.
1．以固定的速度向图(1)形状的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是下列选项的( )
解析：水的高度增长越来越快．
答案：B
2．1992年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2013年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为( )
A．y＝54.8(1＋x%)19 B．y＝54.8(1＋x%)21
C．y＝54.8(x%)19 D．y＝54.8(x%)20
解析：由题意，1993年底人口为54.8(1＋x%)，1994年底人口为54.8(1＋x%)2，…，故2013年底人口为54.8(1＋x%)21.
答案：B
3．根据统计资料，某种能源生产自1998年以来发展很快，下面是我国能源生产总量的几个统计数据：
年份 1998年 2003年 2008年
总量 8.6亿吨 10.4亿吨 12.9亿吨
有关专家预测，到2013年该能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家选择作为模型进行预测的函数类型为( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
解析：可画散点图容易看出是二次函数．
答案：B
4．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xa(0答案：②③
5．如图所示，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2 m，边坡的倾角为45°，水深h m，则横截面中有水面积A m2与水深h m的函数关系式为________．
解析：关键是求梯形上底．由已知得梯形上底为2＋2h，所以A＝[2＋(2＋2h)]h＝h2＋2h(h>0)．
答案：A＝h2＋2h(h>0)
6．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方．这说明只有按模型y＝log5x进行奖励时才符合学校的要求．
一、选择题
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析：一次函数保持均匀的增长，不能体现题意；
二次函数在对称轴的两侧有增也有降；
而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；
因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．
答案：D
2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解析：用排除法，当x＝1时，否定B项；当x＝2时，否定D项，当x＝3时，否定A项．
答案：C
3．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是( )
解析：设今年绿地面积为m，则有my＝(1＋10%)xm，
∴y＝1.1x.
答案：D
4．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )
A．a>b B．aC．a＝b D．无法判断
解析：∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－)．
∴b＝a×，∴b答案：A
二、填空题
5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
解析：当t＝0.5时，y＝2，∴2＝ek，
∴k＝2ln 2.∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
答案：2ln 2 1 024
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg、火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg的函数关系是v＝2 000ln(1＋)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.
解析：设M＝tm，则有2 000ln(1＋t)＝12 000，
即ln(1＋t)＝6解得t＝e6－1.
答案：e6－1
7．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________．
解析：∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有
解得
∴y＝－2×(0.5)x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75万件．
答案：1.75万件
8．假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a，那么广告效应D＝a－A，当A＝________时，取得最大广告效应．此时R＝________.
解析：D＝a－A＝－(－)2＋，
∴当＝即A＝时，D最大．此时R＝a＝.
答案：
三、解答题
9．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
解：设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，
甲旅游收费为y1，乙旅游收费为y2，旅游原价为a，
甲旅行社收费：y1＝a＋(x＋1)a＝ax＋a.
乙旅行社收费：y2＝(x＋2)a＝ax＋a.
∵(ax＋a)－(ax＋a)＝(1－x)a.
∴当x＝1时，两旅行社收费相等
当x＞1时，甲旅行社更优惠．
10．据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时， 身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一条经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面10米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；
(3)某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
解：(1)由题意可设抛物线方程为y＝a(x－h)2＋k，则可知k＝，图象必过(0,0)(2，－10)两点．
则有
移项作比得＝±，h>0，
解之得h＝，a＝－，
∴y＝－(x－)2＋.
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3米，
即x＝3－2＝时，y＝－×(－)2＋＝－，所以此时运动员距水面距离为10－＝<5，故此次跳水会出现失误．
(3)设要使跳水成功，调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m(m>2)，
则
得2所以运动员此时距池边的水平距离最大为米．3．2.2 函数模型的应用实例
[读教材·填要点]
函数模型的应用
(1)用已知的函数模型刻画实际问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，其基本过程如图所示：
[小问题·大思维]
1．在实际问题中常用的函数模型如下表所示，你能写出它们对应的解析式吗？
提示：
函数模型 解析式
正比例函数模型
f(x)＝(k为常数，k≠0)
一次函数模型
二次函数模型
f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)
对数函数模型
幂函数模型
提示：f(x)＝kx(k为常数，k≠0) 反比例函数模型
f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)
2．在利用上述函数模型解决问题时，函数的定义域除了使函数解析式有意义之外，还需注意什么？
提示：实际问题有意义．例如：“非负”，“取整”，“上、下限”等．
已知函数模型的应用题
[例1] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示．
(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
[自主解答] (1)由图1可得，市场售价与时间的函数关系为f(t)＝
由图2可得，种植成本与时间的函数关系为
g(t)＝(t－150)2＋100,0≤t≤300.
(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意，得h(t)＝
f(t)－g(t)，即
h(t)＝
当0≤t≤200时，配方整理，得
h(t)＝－(t－50)2＋100，
所以，当t＝50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；
当200h(t)＝－(t－350)2＋100，
所以，当t＝300时，h(t)取得区间[200,300]上的最大值87.5.
综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50, 即从二月一日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大．
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求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
图表中的第一步：，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学转化；第二步：，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步：，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论．
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1．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分 0.568
超过50至200的部分 0.598
超过200的部分 0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分 0.288
超过50至200的部分 0.318
超过200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为：
50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)；
低谷时间段100千瓦时的用电电费为：
50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．
合计：148.4(元)．
答案：148.4
指数函数、对数函数及幂函数模型
[例2] 某公司拟投资100万元，有两种获利的方式可选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年收回本金和利息；另一种是年利率9%，按复利计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？并求比另一种投资5年可多得利息多少元？
[解] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150万元．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86万元．
由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．
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指数函数、对数函数的应用常与增长率相结合进行考查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N· 1＋p x 其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间 的形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.
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2．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级．
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
解：(1)M＝lg A－lg A0＝lg＝lg＝4.
即这次地震的震级为4级．
(2)，
lg＝3，＝1 000.
即所求是1 000倍．
拟合函数模型的建立及应用
[例3] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.
年序 最大积雪深度x/cm 灌溉面积y/hm2
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
[自主解答] (1)描点作图如图甲：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b.
取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)，
代入y＝ax＋b，得
用计算器可算得a≈1.8，b≈2.4.
这样，我们得到一个函数模型y＝1.8x＋2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝1.8×25＋2.4，求得y＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.
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对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是：
1 根据原始数据，绘出散点图.
2 通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.
3 根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
4 利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据.
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3．某汽车公司曾在2013年初公告：2013年销量目标定为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．
2010年，某汽车年销量8万辆；
2011年，某汽车年销量18万辆；
2012年，某汽车年销量30万辆．
如果我们分别将2010,2011,2012,2013年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝
ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b≠1，b>0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
解：建立年销量y(万辆)与第x年的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．
(1)构造二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点的坐标代入，可得解得
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为4.7.
(2)构造指数函数型g(x)＝a·bx＋c，将点的坐标代入，
可得解得
则g(x)＝·()x－42，
故g(4)＝×()4－42＝44.4，与计划误差为5.1.
由上可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y(万辆)与第x年的关系.
解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
图(1)是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图(2)是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧Cm是半圆，曲边形ABCD的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为，设AB＝2x，BC＝y.
(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；
(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大．
[巧思] 凹槽的强度最大，即横截面的面积最大．只要将凹槽横截面的面积S表示成x的函数，然后求函数的最值即可解决．
[妙解] (1)易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为πx，∴4＝2x＋2y＋πx，∴y＝.
依题意知：0∴y＝(0(2)依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有T＝S＝(2xy－)＝(2x·－)
＝[4x－(2＋)x2]
＝－(x－)2＋.
∵0<<，
∴当x＝时，凹槽的强度最大．
1．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝(0.957 6) B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝()x D．y＝1－(0.042 4)
解析：设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t)100，t＝1－()，∴y＝(1－t)x＝(0.9576).
答案：A
2．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )
解析：从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.
答案：C
3．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( )
解析：水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的．
答案：D
4．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出以后的头两天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在租出后的第10天应收租金________元．
解析：设第n(n∈N*)天收费y元，
由题意得y＝
n＝10时，y＝1.6＋0.5×8＝5.6(元)．
答案：5.6
5.如图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2分钟，需付电话费________元；通话5分钟，需付电话费________元；如果t≥3分钟，电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式是________．
解析：t＝2时，y＝3.6，t＝5时，y＝6.
当t≥3时，设y＝kt＋b.
代入(3,3.6)，(5,6)得k＝1.2，b＝0，
∴y＝1.2t(t≥3)．
答案：3.6,6，y＝1.2t(t≥3)
6．在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？
解：设每件棉衣日租金提高x个5元，即提高5x元，则每天棉衣减少6x件，又设棉衣日租金的总收入为y元．
∴y＝(50＋5x)×(120－6x)．
∴y＝－30(x－5)2＋6 750
∴当x＝5时，ymax＝6 750，这时每件棉衣日租金为50＋5x＝50＋5×5＝75元．
∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6 750元．
一、选择题
1．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
解析：图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．
答案：B
2．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.477 1)( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：设原光线的强度为a，重叠x块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y，则y＝a(1－)x(x∈N*)，
令y∴()x<，∴x>.
∵＝＝≈10.4.
即x>10.4.
答案：B
3．令有一组实验数据如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.
答案：C
4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
解析：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7.
答案：D
二、填空题
5.对某种产品市场产销量情况如图所示，其中l1表示产品各年年产量的变化规律；l2表示产品各年的销量情况，下列叙述：
①产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原计划进行生产；
②产品出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量．你认为较合理的叙述是________．
解析：由图可知，对相同的年份，年产量>销售量，即出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重，因而②③正确，这种情况下不宜再按原计划生产，故①不正确．
答案：②③
6.如图，开始时桶1中有a升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1＝a·e－nt(n为常数，t为注水时间)，那么桶2中的水就是y2＝a－a·e－nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时，两桶中的水相等，那么经过________分钟桶1中的水只有.
解析：由于t＝5时两桶中的水相等，
所以a·e－n×5＝a－a·e－n×5，
所以(e－n)5＝，即e－n＝().
由条件可得a·e－nt＝，
即()＝()3，所以t＝15.
答案：15
7．某地2002年年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2013年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7)．
解析：设平均每年新增住房面积为x万平方米，则
≥7，解得x≥82.27≈82.
答案：82
8.2011年1月29日广州日报：香港出现了第2宗甲型H1N1死亡病例．为了预防甲型H1N1流感，某学校教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
解析：(1)由图可设y＝kt(0≤t≤0.1)，把点(0.1,1)分别代入y＝kt和y＝()t－a，得k＝10，a＝0.1.
∴y＝
(2)由()t－0.1<0.25＝()得t>0.6.
答案：(1)y＝
(2)0.6
三、解答题
9．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．
(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲、y乙与购买台数x之间的函数关系式；
(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？
解：(1)y甲＝
y乙＝5 100x(x∈N)，
(2)当x≤10时，显然y甲＞y乙；
当x＞10时，令y甲＞y乙，即4 200x＋18 000>5 100x，
解得：x＜20.
故当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．
10．2013年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；
(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？
解：(1)由二次函数图象可知，设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c(a≠0)．
由题意，得或
或
无论哪个均可解得a＝，b＝－2，c＝0；
∴所求函数关系式为S＝t2－2t；
(2)把S＝30代入，得30＝t2－2t，
解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，
∴截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元；
(3)把t＝7代入，
得S＝×72－2×7＝＝10.5(万元)，
把t＝8代入，得S＝×82－2×8＝16(万元)．
则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)，
∴第8个月公司所获利润为5.5万元．3．1.1 方程的根与函数的零点
[读教材·填要点]
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也是方程f(x)＝0的根．
[小问题·大思维]
1．函数的“零点”是一个点吗？
提示：不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．若函数f(x)＝ax＋2的零点是1，则a为何值？
提示：f(1)＝a＋2＝0，∴a＝－2.
3．若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则
f(a)·f(b)<0一定成立吗？
提示：不一定．可能y＝f(x)在x＝a或x＝b处无定义；即使有定义，也可能f(a)·f(b)>0.如图所示．
求函数的零点
[例1] 求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．
[自主解答] 令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，
即(x3－x)－(6x－6)＝0，
∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)
＝(x－1)(x2＋x－6)
＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.
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求函数y＝f x 的零点通常有两种办法：其一是令f x ＝0，根据解方程f x ＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f x 的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.本题由于画函数图象比较困难，因此，只用了第一种方法.
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1．求下列函数的零点．
(1)y＝x2－2x；
(2)y＝lnx－2.
解：(1)令y＝x2－2x＝0，则x＝0或x＝2，
∴y＝x2－2x的零点为0,2.
(2)令y＝lnx－2＝0，则lnx＝2＝lne2.
∴x＝e2.∴函数y＝lnx－2的零点为e2.
判断函数的零点、方程的根所在的区间
[例2] 函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[自主解答] 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函数一个零点在(0,1)．
[答案] C
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确定函数零点、方程根所在区间，通常利用函数零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应函数值符号是否相反.
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2．方程lgx＋x＝0的根所在的区间可能是( )
A．(－∞，0) B．(0.1,1)
C．(1,2) D．(2,4)
解析：由于lgx有意义，所以x>0.令f(x)＝lgx＋x，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故f(x)在区间(0.1,1)内有零点．
答案：B
判断函数零点个数
[例3] 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
[自主解答] 法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg3－2>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
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1 若函数f x 在[a，b]上单调，且f a f b <0，则f x 存在零点，且在 a，b 上只有1个零点.
2 若通过构造有f x ＝g x －h x ，且g x 、h x 图象容易作出，则f x 的零点个数就是g x 与h x 图象交点个数，通过作图容易得到f x 零点个数.
3 特别地，对于二次函数的零点个数可以通过Δ来判断.
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3．求函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点个数，并写出它的一个大致区间．
解：设y1＝log2x，y2＝－2x＋7，可将y1，y2的图象作出，如图所示．
由图可知y1与y2只有一个交点，则log2x＋2x－7＝0有一个根，∴函数f(x)有一个零点．f(2)＝log22＋22－7＝－2，f(3)＝log23＋23－7>0，∴f(2)·f(3)<0.∴零点的一个大致区间为(2,3).
解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1求实数k的取值范围．
[巧思] 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，则由根的分布，知函数f(x)的图象只能如图所示．
对应的条件是或解出即可．
[妙解] 令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，为使方程
f(x)＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，
只需或
即或
解得k>0或k<－4.
故k的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
1．函数f(x)＝lgx＋的零点是 ( )
A. B.
C. D．10
解析：∵lgx＋＝0，∴lgx＝－，
∴x＝10－＝.
答案：C
2．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，1]
解析：f()·f()＝(＋log2)(＋log2)
＝(－2)(－1)＜0
答案：C
3．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．不能确定
解析：∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.
答案：A
4．若函数f(x)＝x2－x＋a有两个零点，则a的取值范围是________．
解析：∵Δ＝(－1)2－4×1×a＝1－4a.
而f(x)＝x2－x＋a有两个零点，即方程x2－x＋a有两个不相等的实数根．∴Δ>0即a<.
答案：(－∞，)
5．若函数f(x)＝，则g(x)＝f(4x)－x的零点是________．
解析：∵f(x)＝，∴f(4x)＝.
则g(x)＝－x，令g(x)＝0.
有－x＝0，解得x＝.
答案：
6．试判断方程x3＝2x在区间[1,2]内是否有实数根？
解：因为函数f(x)＝x3－2x的图象在区间[1,2]上是连续曲线，并且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝8－4＝4>0，所以f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)＝x3－2x在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x3＝2x在区间[1,2]内至少有一个实数根．
一、选择题
1．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)·f(b)＜0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)＞0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
解析：由零点存在性定理可知选项A不正确；
对于选项B，可通过反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)·f(2)＜0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；选项C可通过反例“f(x)＝(x－1)·(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)·f(2)＞0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．
答案：D
2．(2012·北京高考)函数f(x)＝x－x的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因为y＝x在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝()x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x－()x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝x－()x在定义域内有唯一零点．
答案：B
3．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1 003 B．1 004
C．2 006 D．2 007
解析：∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1 003个零点，∴在(－∞，0)上也有1 003个零点，又∵f(0)＝0，
∴共有2 006＋1＝2 007个．
答案：D
4．方程x3－x－1＝0在[1,1.5]内实数解有( )
A．3个 B．2个
C．至少一个 D．0个
解析：令f(x)＝x3－x－1，则f(1)＝－1<0，f(1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.5>0.
答案：C
二、填空题
5．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________.
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
解析：令f(x)＝ex－x－2，
由图表知f(－1)＝0.37－1＝－0.63＜0，
f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1)＝2.72－3＝－0.28＜0，
f(2)＝7.39－4＝3.39＞0，
f(3)＝20.09－5＝15.09＞0，
由于f(1)·f(2)＜0，
所以一个根所在的区间为(1,2)．
答案：(1,2)
6．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1,0)内有实数根；
③在(1,2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根．
其中正确的有________．(填序号)
解析：设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)(1,2)内均有零点，即①②③正确．
答案：①②③
7．函数f(x)＝lnx－x＋2的零点个数是________．
解析：取g(x)＝lnx h(x)＝x－2
则f(x)的零点也就是g(x)与h(x)的交点如下图：
答案：2
8．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.
答案：(1，＋∞)
三、解答题
9．讨论函数f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．
解：当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2.
当a＝时，则由(x－1)(x－2)＝0，
解得x1,2＝2，则其零点为x＝2.
当a≠0且a≠时，则由(ax－1)(x－2)＝0，
解得x＝或x＝2，综上所述其零点为x＝或x＝2.
10．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0＜a＜1)
(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的零点；
解：(1)要使函数有意义：则有
解之得：－3＜x＜1，
所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)
＝loga(－x2－2x＋3)，
由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，
即x2＋2x－2＝0，x＝－1±.
∵－1±∈(－3,1)，∴f(x)的零点是－1±.