1．1.1 集合的含义与表示
[读教材·填要点]
1．元素与集合
(1)元素与集合的定义：
一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
(2)集合中元素的性质：
①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．
②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．
③无序性．
(3)集合相等：
只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
(4)元素与集合的关系：
a是集合A的元素，记作a∈A，a不是集合A的元素，记作a A.
2．集合的表示方法
除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．
(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
3．常用数集及其记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
[小问题·大思维]
1．著名数学家能否构成一个集合？
提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．
2．一个集合能表示成{s，k，t，k}吗？
提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．
3．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}是同一集合吗？
提示：不是同一集合．集合{－5，－8}中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8)}中有一个元素为坐标(－5，－8)．
集合的基本概念
[例1] 下列每组对象能否构成一个集合：
(1)某校2013年在校的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)帅哥；
(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；
(5)的近似值的全体．
[自主解答] “高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合．
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判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
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1．下列能构成集合的是( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目
C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆
D．世界上的高楼
答案：B
集合中元素性质的应用
[例2] 已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的值．
[自主解答] 若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；
若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，
当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意．
当a＝－2时，A＝{0,1,1}，
与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)．
综上可知，a＝0.
例2中1∈A改为4∈A，则结果如何？
解：若a＋2＝4，则a＝2.
∴A＝{4,9,13}满足题意．
若(a＋1)2＝4，则a＝1或a＝－3.
当a＝1时，A＝{3,4,7}，满足题意．
当a＝－3时，A＝{－1,3,4，}满足题意．
若a2＋3a＋3＝4，
则a＝，代入后都满足题意，故a的值为a＝1，a＝2，或a＝－3或a＝.
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1.这类问题既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否.初学者解题时易忽略元素的互异性，学习中要高度重视.另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想.
2.一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合.
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2．含有两个实数的集合A可以表示为{a－3,2a－1}，求实数a的取值范围．
解：∵A＝{a－3,2a－1}，
∴由集合中元素的互异性可得a－3≠2a－1.
∴a≠－2.
∴a的取值范围为a≠－2.
集合的表示方法
[例3] 用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)不等式2x－3>5的解集．
[自主解答] (1)集合用描述法表示为{(x，y)|}．解方程组，得故集合用列举法表示为{(4，－1)}．
(2)由2x－3>5可得x>4，所以不等式2x－3>5的解集为{x|x>4，x∈R}．
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1．一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围．
2．方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．
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3．有下面六种表示方法
①{x＝－1，y＝2} ②
③{－1,2} ④(－1,2) ⑤{(－1,2)} ⑥{x，y|x＝－1，或y＝2}．
其中，能正确表示方程组的解集的是________(把所有正确答案的序号填在空格上)．
解析：
序号 判断 原因分析
① 否 ①中含两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点．
② 能 ②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同．
③ 否 ③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素．
④ 否 ④没有用花括号“{ }”括起来，不表示集合．
⑤ 能 ⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等．
⑥ 否 ⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号( )，条件中“或”也要改为“且”.
答案：②⑤
解题高手 易错题 审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！
已知集合A中含有三个元素，1,0，x，若x3∈A，求实数x的值．
[错解] ∵x3∈A，故x3＝0或x3＝1或x3＝x，
若x3＝0，则x＝0；
若x3＝1，则x＝1；
若x3＝x，则x＝1或x＝0.
综上所述：所求x的值为0或1.
[错因] 本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性，解出来的结果没有代入检验，得出了错误结果；二是解x2＝x时漏掉了x＝－1这个答案，也导致了错误的结果．
[正解] ∵x3∈A，
∴x3是集合A中的元素．
又∵集合A中含有3个元素，∴需分情况讨论：
①若x3＝0，则x＝0，此时集合A中有两个元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去；
②若x3＝1，则x＝1，此时集合A中有两个元素1，不符合集合中元素的互异性，舍去；
③若x3＝x，则x＝0、x＝－1或x＝1，当x＝0、x＝1时不符合集合中元素的互异性，都舍去．当x＝－1时，此时集合A中有三个元素1,0，－1，符合集合中元素的互异性；
综上可知，x＝－1.
1．有下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数的全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；
④正三角形的全体．
其中能构成集合的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．
答案：A
2．下面几个命题中正确命题的个数是( )
①集合N*中最小的数是1；
②若－a N*，则a∈N*；
③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a N*，且a N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．
答案：C
3．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：∵4∈M，∴4＝m＋1，∴m＝3.
答案：B
4．已知①∈R ②∈Q ③0＝{0} ④0 N
⑤π∈Q ⑥－3∈Z.正确的个数为________．
解析：①②⑥是正确的；③④⑤是错误的．
答案：3
5．用适当的符号填空：已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则有：17______A；－5______A；17________B.
解析：令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.
所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－ Z.
所以－5 A.
令6m－1＝17得，m＝3∈Z，
所以17∈β.
答案：∈， ，∈
6．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；
(3)梯形的全体构成的集合；
(4)所有非负偶数的集合；
(5)所有能被3整除的数的集合；
(6)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；
(7)不等式2x－1>5的解集．
解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
(3){x|x是梯形}或{梯形}．
(4){0,2,4,6,8，…}．
(5){x|x＝3n，n∈Z}．
(6){1,2}．
(7){x|2x－1>5}．
一、选择题
1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．一切很大的数 B．高中数学的所有难题
C．美丽的小女孩 D．方程x2－1＝0的实数根
解析：选项A，B，C中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故A，B，C中的对象都不能组成集合．
答案：D
2．下列命题不正确的有( )
①很小的实数可以构成集合；
②集合{y|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；
③1，，，，0.5这些数组成的集合有5个元素；
④集合{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③＝，＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点．
答案：D
3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
解析：列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
答案：D
4．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝(0,2)，则集合A*B的所有元素之和为( )
A．0 B．2
C．3 D．6
解析：依题意，A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6.
答案：D
二、填空题
5．集合A＝{(2，－2)，(2,2)}中含有________个元素．
解析：∵(2，－2)，(2,2)是两个点，∴有2个元素．
答案：2
6.已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，a∈A且a∈B，则a为________．
解析：∵a∈A且a∈B，
∴a是方程组的解．
解方程组，得，
∴a为(2,5)．
答案：(2,5)
7．用描述法表示方程x<－x－3的解集为________．
解析：∵x<－x－3，
∴x<－.
∴解集为{x|x<－}．
答案：{x|x<－}
8．{(x，y)|(x＋2)2＋|y－3|＝0，x，y∈R}＝________.
解析：由(x＋2)2＋|y－3|＝0，又(x＋2)2≥0，|y－3|≥0，所以(x＋2)2＝0，|y－3|＝0，所以x＝－2，y＝3，所以{(x，y)|(x＋2)2＋|y－3|＝0，x，y∈R}＝{(－2，3)}．
答案：{(－2,3)}
三、解答题
9．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，
(1)若－3∈A，试求实数a的值．
(2)若a∈A，试求实数a的值．
解：(1)因为－3∈A，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，
则a＝－1.
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，
所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.
10．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，
所以x＝2，此时集合A＝{2}；
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．1．1.3 集合的基本运算 第二课时
第二课时 补集及集合运算综合问题
[读教材·填要点]
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集．
(2)符号表示：通常记作U.
2．补集
自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
[小问题·大思维]
1．已知集合A、 UA(U为全集)，则A∩( UA)与A∪( UA)各有什么特点？
提示：A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U.
2．设U为全集，则 U 、 UU、 U( UA)分别表示什么集合？
提示： U ＝U， UU＝ .
U( UA)＝A.
3．判断 U(A∩B)＝( UA)∩ UB， U(A∪B)＝( UA)∪( UB)是否正确．
提示：不对．结合韦恩图可知
U(A∩B)＝( UA)∪( UB)
U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
简单的补集运算
[例1] 设全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，求实数m的值．
[自主解答] 如图，∵U＝{0,1,2,3}，
UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}．
∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m.即m＝－3.
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(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
(2)解题时要注意使用补集的几个性质： UU＝ ， U ＝U，A∪( UA)＝U.
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1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}， UA＝{2,4,6,8}， UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B.
解：借助Venn，如右图所示，
得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∵ UB＝{1,4,6,8,9}，
∴B＝{2,3,5,7}.
交、并、补的综合运算
[例2] 设U＝{x∈N|x<10}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4，5,6,9}，求A∩B，A∪B，( UA)∩( UB)，( UA)∪( UB)．
[自主解答] ∵U＝{x∈N|x<10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，
∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，
A∪B＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}．
∵ UA＝{0,2,3,4,6,9}， UB＝{0,1,2,7,8}，
∴( UA)∩( UB)＝{0,2}，( UA)∪( UB)＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}．
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1.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求 U A∪B 时，先求出A∪B，再求补集.
2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.
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2．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则[A∩( UB)]∪[B∩( UA)]＝( )
A． B．{x|x≤0}
C．{x|x>－1} D．{x|x>0，或x≤－1}
解析：∵B＝{x|x≤－1}，∴ UB＝{x|x>－1}．
又∵A＝{x|x>0}，∴A∩( UB)＝{x|x>0}．
又∵ UA＝{x|x≤0}．
∴B∩( UA)＝{x|x≤－1}．
∴[A∩( UB)]∪[B∩( UA)]＝{x|x>0，或x≤－1}．
答案：D
利用补集运算求参数范围
[例3] 设全集U＝R，M＝{x|3a＜x＜2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M? UP，求实数a的取值范围．
[自主解答]
UP＝{x|x＜－2或x＞1}，
∵M? UP，
∴分M＝ ，M≠ ，两种情况讨论．
(1)M≠ 时，如图可得
或
∴a≤－，或≤a＜5.
(2)M＝ 时，
应有3a≥2a＋5 a≥5.
综上可知，a≤－，或a≥.
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1.M N，一般分两种情况讨论：①M＝ ，②M≠ .
2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法.
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3．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．
(1)若A B，求a的取值范围；
(2)若全集U＝R，且A ( UB)，求a的取值范围．
解：∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，
(1)由A B，结合数轴(如图所示)
可知a的范围为a≤－4.
(2)∵U＝R，∴ UB＝{x|x＜a}，要使A UB，
须a＞－2.
解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
[巧思] 先将文字语言转化为集合语言，设U为全班学生组成的集合，A、B分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn图可直观得出答案．
[妙解] 设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示．
设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x，则(15－x)＋x＋(10－x)＝30－8，解得x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.
[答案] 12
1．设全集为R，A＝{x|x<3，或x>5}，B＝{x|－3
A． R(A∪B)＝R B．A∪( RB)＝R
C．( RA)∪( RB)＝R D．A∪B＝R
解析：∵ RA＝{x|3≤x≤5}， RB＝{x|x≤－3，或x≥3}，逐个验证知B正确．
答案：B
2.(2013·临沂一模)已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{－1,2} B．{－1,0}
C．{0,1} D．{1,2}
解析：图中阴影部分表示的集合为( UA)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以( UA)∩B＝{－1,2}．
答案：A
3．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则( UA)∩( UB)＝( )
A．{5,8} B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
解析：因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{7,9}．
答案：B
4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若 UA＝{1}，则实数a的值是________．
解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}， UA＝{1}，
∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.
答案：－1或2
5．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则 AB＝________.
解析：如图：
由数轴可知： AB＝{x|0≤x<2，或x＝5}．
答案：{x|0≤x<2，或x＝5}
6．设全集U＝{x|0解：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由题意画出Venn图，
∴A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,6,8}．
一、选择题
1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩( UB)＝( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
解析：画出数轴，如图所示， UB＝{x|x≤1}，则A∩( UB)＝{x|0答案：B
2．已知全集U＝A∪B中有m个元素，( UA)∪( UB)中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为( )
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
解析：画出Venn图，如图．
∵U＝A∪B中有m个元素，
( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)中有n个元素，
∴A∩B中有m－n个元素．
答案：D
3．已知集合A＝{x|xA．a≥2 B．a>2
C．a<2 D．a≤2
解析： RB＝{x|x≥2}，则由A∪( RB)＝R得a≥2.
答案：A
4．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是( )
①若A∩B＝ ，则( SA)∪( SB)＝S；
②若A∪B＝S，则( SA)∩( SB)＝ ；
③若A∪B＝ ，则A＝B.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①如图，( SA)∪( SB)＝S，正确．
②若A∪B＝S，则( SA)∩( SB)＝
S(A∪B)＝ ，故成立．
③若A∪B＝ ，则A＝B＝ .
答案：A
二、填空题
5．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝________，A∩( NB)＝________.
解析：因为集合A与集合B都有元素3和9，所以A∩B＝{3,9}，结合Venn图(如图所示)，
易得A∩( NB)＝{1,5,7}．
答案：{3,9} {1,5,7}
6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2解析：∵A＝{x|x≥－m}，
∴ UA＝{x|x<－m}．
又∵( UA)∩B＝ ，－m≤－2.
∴m≥2.
答案：m≥2
7．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则( UA)∪( UB)＝________.
解析：依题意得知， UA＝{c，d}， UB＝{a}，( UA)∪( UB)＝{a，c，d}．
答案：{a，c，d}
8．已知全集U(U≠ )和集合A、B、D，且A＝ UB，B＝
UD，则A与D的关系是________．
解析：A＝ UB＝ U( UD)＝D.
答案：A＝D
三、解答题
9．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求 UA，( UB)∩A.
解：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．
可知 UA＝{x|1＜x≤4}，
UB＝{x|3＜x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．
可知( UB)∩A＝{x|－1≤x≤0}．
10．2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，大运村的50名志愿者中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？
解：设全集U＝{50名志愿者}，A＝{会讲英语的志愿者}，B＝{会讲日语的志愿者}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的志愿者}，画出Venn图，如图，则由Venn图知，既不会讲英语又不会讲日语的志愿者有50－22－14－6＝8(人)．1．3.2 奇偶性
[读教材·填要点]
1．函数的奇偶性
奇偶性 条件
偶函数 对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)
奇函数 对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)
2.奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于y轴对称．
(2)奇函数的图象关于坐标原点对称．
[小问题·大思维]
1．对于某个函数f(x)，若存在x0使得f(－x0)＝f(x0)，(f(－x0)＝－f(x0))，这个函数是偶函数(奇函数)吗？
提示：不是．函数的奇偶性是函数整个定义域上的性质，必须是对任意的x都成立才能说明该函数具有奇偶性．
2．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)为何值？
提示：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0.
∴f(0)＝0.
3．函数f(x)＝x3，x∈[－1,1)是奇函数吗？当x∈[－1,1]时呢？
提示：函数f(x)＝x3，x∈[－1,1)是非奇非偶函数，而当x∈[－1,1]时为奇函数．
判断函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝x|x|；
(3)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(4)f(x)＝＋；
(5)f(x)＝.
[自主解答] (1)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，
∴－x∈R.
又∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)∵x∈R，
∴－x∈R，
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(4)∵定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
(5)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．
即有－1≤x≤1且x≠0,
则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
——————————————————
判断函数奇偶性的方法有定义法和图象法．
(1)定义法判断函数奇偶性的步骤是先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称则说明函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则再求f(－x)，并判断f(－x)＝±f(x)是否成立来确定奇偶性．有时还可以用其等价式f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)来判断．
(2)若一个函数的图象方便作出的话，可以利用图象的对称性确定函数的奇偶性．
对于解答题，为了体现解题的严谨性，我们通常用定义法，对于选择填空题，我们可以灵活选择两种方法判断函数的奇偶性．
————————————————————————————————————————
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x－1).
解：(1)由得2≤x2≤2，
∴x＝±，即函数定义域为{－，}，
关于原点对称．
又f(－)＝0＝f()，且f(－)＝－f()＝0，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由1＋x≥0得x≥－1，定义域不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.
判断分段函数奇偶性
[例2] 已知函数f(x)＝判断f(x)的奇偶性．
[自主解答] (1)当x<0时，－x>0.
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－x2－2x－3＝－f(x)．
(2)当x>0时，－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知f(x)为奇函数．
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(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与－x所满足的对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋2x－3，－x<0满足的是f(x)＝x2＋2x＋3；
(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的；
(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断．
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2．判断函数f(x)＝的奇偶性．
解：法一(用定义判断)：
这个函数的定义域为R.
当x≥0时，－x≤0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝
x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)．
∴f(－x)＝＝－f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
法二：(用图象判断)作出函数的图象，如图所示．由图可知，函数图象关于原点对称，故函数f(x)是奇函数．
函数奇偶性的应用
[例3] 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
[自主解答] 由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数．
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴
即
解得－1≤m<.∴实数m的取值范围[－1，)．
——————————————————
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f x1 ＞f x2 或f x1 ＜f x2 的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.
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3．已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．
解：设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.
∴f(－x)＝x2－x－1.
∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.
解题高手 易错题 审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！
判断函数f(x)＝的奇偶性．
[错解] ∵当x<0时，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)；当x≥0时，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x),
∴当x<0时，函数f(x)是偶函数；当x≥0时，函数f(x)是奇函数．
[错因] “当x<0时，函数是偶函数；当x≥0时，函数是奇函数”这种说法是错误的．函数的奇偶性是函数的一个整体性质，是针对函数的整个定义域而言的．因此判断函数的奇偶性时，要考虑整个定义域，依据定义进行判断．
[正解] 显然f(x)的定义域关于原点对称．当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3，f(x)＝x2，于是f(－x)≠±f(x)，故函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数．
1．函数f(x)＝x2(x＜0)的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：∵函数f(x)＝x2(x＜0)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，
∴函数f(x)＝x2(x＜0)为非奇非偶函数．
答案：D
2．若函数f(x)满足＝1，则f(x)图象的对称轴是( )
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．不能确定
解析：∵＝1，
∴f(x)＝f(－x)，
∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．
答案：B
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
解析：由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．
答案：D
4．函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则f(3)＋f(－3)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－3)＝－f(3)，
∴f(3)＋f(－3)＝0.
答案：0
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1, 则f(－3)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－(9＋1)＝－10.
答案：－10
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若f(1－a)＋f(－2a)＜0，求实数a的取值范围．
解：∵f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)为增函数，
∴f(x)在R上为增函数．
又f(1－a)＋f(－2a)＜0，
∴f(1－a)＜－f(－2a)＝f(2a－)．
∴1－a＜2a－，即a＞.
∴实数a的取值范围为(，＋∞)．
一、选择题
1．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)f(－x)是奇函数
B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数
D．f(x)＋f(－x)是偶函数
解析：由函数奇、偶性的定义知D项正确．
答案：D
2．函数y＝( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：∵函数y＝的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，∴此函数既不是奇函数又不是偶函数．
答案：D
3．f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图象上的是( )
A．(－3，－2) B．(3,2)
C．(2，－3) D．(3，－2)
解析：∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝2，∴f(3)＝－2
答案：D
4．函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1
解析：若x<0，则－x>0
又∵当x>0时，f(x)＝－x＋1，∴f(－x)＝x＋1.
又f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)．∴f(x)＝x＋1.
答案：C
二、填空题
5．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，∴3－a＋5＝0，∴a＝8.
答案：8
6．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上是减函数，则f(－5)________f(3)．(填“>”或“<”)
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－5)＝f(5)，而函数f(x)在[2,6]为减函数，∴f(5)∴f(－5)答案：<
7．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，则f(－1)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
又∵x∈[0，＋∞)时，f(1)＝1(1＋)＝2.
∴f(－1)＝－2.
答案：－2
8．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.
解析：∵f(2)＋f(－2)＝－16，
又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.
答案：－26
三、解答题
9．设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，对任意a、b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；
(2)解不等式f解：(1)若a>b，则a－b>0，
依题意有>0成立．
∴f(a)＋f(－b)>0.
又∵f(x)是奇函数，∴f(a)－f(b)>0.即f(a)>f(b)．
(2)由(1)可知f(x)在[－1,1]上是增函数，则不等式可转化为
解得：－10．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．
解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋＞0，
2a2－2a＋3＝2(a－)2＋＞0，
且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，
∴2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3，即3a－2＞0，解得a＞.
∴a的取值范围是(，＋∞)1．1.2 集合间的基本关系
[读教材·填要点]
1．子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，则称集合A是集合B的子集 A B(或B A)
2.集合相等与真子集的概念
定义 符号表示 图形表示
集合相等 如果A B，且B A，就说集合A与B相等 A＝B
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，则称集合A是B的真子集 A?B(或B?A)
3.空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．
(2)用符号表示为： .
(3)规定：空集是任何集合的子集．
4．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
[小问题·大思维]
1．若A?B，则A B且A≠B，对吗？
提示：对．∵A?B，首先A B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.
2．任何集合都有真子集吗？
提示：不是，空集 就没有真子集．
3．{0}和 表示同一集合吗？它们之间有什么关系？
提示：{0}和 不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合， 是不含任何元素的集合，且 ?{0}．
有限集合子集确定问题
[例1] 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．
[自主解答] 由0个元素构成的子集： ；
由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；
由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；
由3个元素构成的子集：{1,2,3}．
由此得集合A的所有子集为 ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．
在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．
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求解有限集合的子集问题，关键有三点：
1 确定所求集合；
2 合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
3 注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
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1．已知集合M满足{2,3} M {1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．
解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；
当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；
当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；
当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．
所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.
集合间关系的判定
[例2] 下列各式正确的是________．
(1){a} {a}； (2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)0 {0}；
(4){1}?{x|x≤5}； (5){1,3}?{3,4}．
[自主解答]
题号 正误 原因
(1) √ 任何一个集合都是它本身的子集．
(2) √ 两集合中的元素是一样的，符合集合相等的定义．
(3) × 元素0是集合{0}中的一个元素，故应为0∈{0}．
(4) √ ∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1} {x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}?{x|x≤5}．
(5) × ∵1∈{1,3}，但1 {3,4}，∴{1,3} {3,4}．“?”是“真包含于”的意思
[答案] (1)(2)(4)
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集合间关系的判定的步骤：
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A B；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则BA；,最后，下结论：若A B，B A，则A＝B；若A B，BA，则A?B；若AB，B A，则B?A；若上述三种情况都不成立，则AB，BA.
[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合{{1}，1，2，3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}∈{{1}，1，2，3}与{1} {{1}，1，2，3}都正确.
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2．集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|2x＋7＞0}，试判断集合M和N的关系．
解：M＝{－3,2}，N＝.
∵－3>－，2>－，
∴－3∈N,2∈N.∴M N.
又0∈N，但0 M，∴M?N.
集合间关系的应用
[例3] 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1[自主解答] ∵B A，
(1)当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠ 时，有
解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.
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1 利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.
2 此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实点表示，不含“＝”用虚点表示.
3 此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.
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3．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A B，求a的值．
解：∵A B，而a2－a＋1∈B，∴a2－a＋1∈A.
∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
当a2－a＋1＝3时，a＝2或a＝－1.
(1)a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，这时满足条件A B；
(2)a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，这时也满足条件A B.
当a2－a＋1＝a时，a＝1，此时A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a＝1.
∴a的值为2或－1.
解题高手 易错题 审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！
已知M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，若N M，求实数a的取值范围．
[错解] ∵M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
(1)当N＝{1}时，有∴a＝1.
(2)当N＝{2}时，有不成立．
(3)当N＝{1,2}时，有不成立．
所以，a＝1.
[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略 ，错解中没有考虑集合N为 的情况．
[正解] ∵M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
又N M，∴N＝ ，或N＝{1}，或N＝{2}，或N＝{1,2}．
(1)当N＝ 时，方程x2－2x＋a＝0的判别式Δ＝4－4a<0，即a>1.
(2)当N＝{1}时，有
∴a＝1.
(3)当N＝{2}时，有不成立．
(4)当N＝{1,2}时，有不成立．
综上可知实数a的取值范围是a≥1.
1．下列命题中，正确的有( )
①空集是任何集合的真子集；
②若A?B，B?C，则A?C；
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；
④如果不属于B的元素也不属于A，则A B.
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确．
答案：C
2．设集合M＝{x|x>－2}，则下列选项正确的是( )
A．{0} M B．{0}∈M
C． ∈M D．0 M
解析：选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误．
答案：A
3．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A B B．C B
C．D C D．A D
解析：选项A错，应当是B A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D A.
答案：B
4．已知 ?{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ ?{x|x2－x＋a＝0}．
∴{x|x2－x＋a＝0}≠ .
即x2－x＋a＝0有实根．
∴Δ＝(－1)2－4a≥0，得a≤.
答案：a≤
5．若{a,0,1}＝{c，，－1}，则a＝________，b＝________，c＝________.
解析：∵≠0，∴c＝0，∴a＝－1，＝1.∴a＝－1，b＝1.
答案：－1 1 0
6．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B A，求实数m的值．
解：∵B A，∴m2＝－1，或m2＝2m－1，当m2＝－1时，显然无实数根；当m2＝2m－1时，m＝1.∴实数m＝1.
一、选择题
1．已知集合M＝{x∈Z|－3A．12 B．14
C．15 D．16
解析：∵M＝{x∈Z|－3答案：C
2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B的子集个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知A*B＝{1,3}，
∴A*B的子集个数为22＝4个．
答案：D
3．已知集合M＝{x|－A．P＝{－3,0,1}
B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤，x∈N}
解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3 M，集合Q 中的元素2 M，集合R中的元素－3 M，而S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S M，且S?M.
答案：D
4．已知集合A {0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：集合{0,1,2}的子集为： ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．
答案：A
二、填空题
5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3解析：∵A B，∴
∴3≤a≤4.
答案：3≤a≤4
6．设a，b∈R，集合{0，，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________.
解析：由题意可知a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，所以＝－1，则a＝－1，b＝1，故b－a＝2.
答案：2
7．下列关系中正确的是________．
① ∈{0}； ② ?{0}； ③{0,1} {(0,1)}；
④{(a，b)}＝{(b，a)}．
解析：∵ ?{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确，{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a，b)}与{(b，a)}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.
答案：②
8．已知集合P＝{1,2}，那么满足Q P的集合的个数是________．
解析：∵P＝{1,2}，Q P，
∴集合Q可以是 或{1}或{2}或{1,2}．
答案：4
三、解答题
9．由“2，a，b”三个元素构成的集合与由“2a,2，b2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a，b的值．
解：根据集合相等，有
或
解得或或
再根据集合元素的互异性，得或
10．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B A，求a的值．
解：法一：A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，由B A得，B＝ ，或B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2,3}，由于Δ＝(2a＋1)2－4a2－4a＝1>0，
∴B≠ ，且B含有两个不同元素．
∴B＝{2,3}，需2a＋1＝5和a2＋a＝6同时成立，
∴a＝2.
综上所述：a＝2.
法二：A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}＝{x|(x－a)·
(x－a－1)＝0}＝{a，a＋1}，
∵a≠a＋1，
∴当B A时，只有a＝2且a＋1＝3.
∴a＝2.1．3.1 单调性与最大(小)值 第二课时
第二课时 函数的最大(小)值
[读教材·填要点]
函数的最大值、最小值
最值 最大值 最小值
条件 函数y＝f(x)的定义域为I，存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M. (2)存在x0∈I，使f(x0)＝M. (1)对任意x∈I，都有f(x)≥M. (2)存在x0∈I，使f(x0)＝M.
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
[小问题·大思维]
1．若对任意的x∈I，都有f(x)≤M，那么M一定是y＝f(x)的最大值，对吗？
提示：不对．M不一定是值域中的一个元素，如函数f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(x)≤3，但3不是值域中的数．
2．如果在函数f(x)定义域内存在x1和x2，使对定义域内任意x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，由此你能得到什么结论？
提示：函数在定义域内的最大值是f(x2)，最小值是f(x1)．
3．如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？
提示：不一定，例如，f(x)的图象如图所示，由图象知f(x)的值域是[a，c]∪[d，b]．
利用函数图象求最值
[例1] 求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．
[自主解答] y＝|x＋1|－|x－2|
＝
的图象，由图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3.
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分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值.当易作出分段函数的图象时，可观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大、小值.
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1．已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
解：作出函数f(x)的图象(如图)
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.
当x＝0时f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
利用单调性求函数最值
[例2] 已知函数f(x)＝x＋，x∈[1,3]．
(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性；
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值．
[自主解答] (1)设x1，x2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－＝(x1－x2)(1－)．
∵x1当1≤x11.
∴1－<0.∴f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在[1,2]上是减函数．
当2≤x1∴<<1.∴1－>0，f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x1)∴f(x)在[2,3]上是增函数．
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4，
又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋＝∴f(x)的最大值为5.
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2．求函数f(x)＝在区间[2,6]上的最大值和最小值．
解：任取x1，x2∈[2,6]，且x1因为2≤x10，
(x2＋1)(x1＋1)>0，
于是>0，即f(x1)所以函数f(x)＝在区间[2,6]的左、右端点处分别取得最小值、最大值，即最大值为f(6)＝＝－，最小值为f(2)＝＝－.
函数最值的应用
[例3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
[自主解答] (1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，[f(x)]最大值＝25 000；
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)＜60 000－100×400＜25 000.
∴当x＝300时，[f(x)]最大值＝25 000.
即每月生产300台仪器时利润最大，
最大利润为25 000元．
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解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围.
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3．轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q>p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k.
(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；
(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？
解：(1)∵轮船行驶全程的时间t＝，
∴y＝(p(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，则
y＝＝200(1＋)(10由于f(v)＝在(10,110]上是减函数，所以当v＝110时，函数y＝＝200(1＋)取得最小值，且最小值为220.
即当轮船的实际行驶速度为110 km/h时，全程的燃料费用最少．
解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值及最小值．
[巧思] 紧扣条件“当x>0时，f(x)<0”，由定义，由x1[妙解] (1)证明：∵f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.
又f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)，
∴f(－x)＝－f(x)．
设x1f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
∵x2－x1>0，据题意有f(x2－x1)<0.
∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)∴y＝f(x)在R上是减函数．
(2)由(1)式知，f(x)在[－3,3]上是减函数，
∴f(－3)最大，f(3)最小．
而f(3)＝f(2)＋f(1)＝2f(1)＋f(1)＝3f(1)＝
3×(－)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
1．函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2) B．2，f(2)
C．－2，f(5) D．2，f(5)
解析：由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)．
答案：C
2．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞]
解析：令f(x)＝－x2＋2x (0≤x≤2)
＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1
图象如下：
∴f(x)最小值为f(0)＝f(2)＝0.
而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.
答案：C
3．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：∵f(x)＝－x2＋4x＋a开口向下，对称轴x＝2，
∴f(x)在[0,1]上单调递增，最小值为f(0)＝a＝－2，
最大值为f(1)＝－1＋4＋a＝1.
答案：C
4．函数y＝，x∈[3,4]的最大值为________．
解析：函数y＝在[3,4]上是单调减函数，故y的最大值为＝1.
答案：1
5．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有>0成立，且f(－3)＝a，f(－1)＝b，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________．
解析：由题意可知函数f(x)在R上为增函数，
则其在[－3，－1]上的最大值应为f(－1)＝b.
答案：b
6．已知f(x)＝x2－ax＋a的最小值为1.
(1)求a的值；
(2)求x∈[0,3]时f(x)的最大值．
解：(1)由题意得＝1，即a2－4a＋4＝0.
解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1
∴f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数．
且f(0)＝2，f(3)＝5.f(0)则x∈[0,3]时，f(x)的最大值为5.
一、选择题
1．y＝在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )
A．1， B.，1
C.， D.，
解析：∵y＝在[2,4]上是减函数，
∴当x＝2时取最大值y＝1；
当x＝4时取最小值y＝.
答案：A
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)<5，则f(x)的最大值是( )
A．5 B．f(5)
C．4.9 D．不能确定
解析：由函数最值定义可知，尽管对R上任意f(x)<5，但不一定能取到5.
答案：D
3．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
解析：设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15－x)台，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)
＝－x2＋19x＋30＝－(x－)2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
答案：C
4．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，
f(x)min＝2×1＋6＝8.
又x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，
f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
答案：A
二、填空题
5．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b] (a解析：∵y＝－x2＋6x＋9的对称轴为x＝3，而a∴函数在[a，b]单调增．
∴
解得
又∵a∴a＝－2，b＝0.
答案：－2 0
6．函数f(x)＝x2＋bx＋1的最小值是0，则实数b＝________.
解析：函数f(x)为二次函数，其图象开口向上，
∴最小值为＝0.
∴b＝±2.
答案：±2
7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则a的取值范围是________．
解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，
又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，
∴1答案：(1,3]
8．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y＝f(x)的解析式为________．
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)
当k＞0时，即
∴f(x)＝x＋.
当k＜0时，，即
∴f(x)＝－x＋.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x＋或
f(x)＝－x＋.
答案：f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋
三、解答题
9．一个星级旅馆有100个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价(元) 住房率(%)
160 55
140 65
120 75
100 85
欲使每天的营业额最高，应如何定价？
解：设房价为x元，
则营业额为y元，y＝x(85－×10)＝－x2＋135x＝－(x－135)2＋×1352，当x＝135时，y有最大值．
故当房价为135元时，营业额最高．
10．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a，b的值．
解：f(x)＝ax2－2ax＋2＋b＝a(x－1)2＋2＋b－a的对称轴方程是x＝1.
(1)当a＞0时，f(x)在[2,3]上是增函数．
∴即
解得
(2)当a＜0时，f(x)在[2,3]上是减函数，
∴即
解得
综上所述，a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3.1．2.2 函数的表示法 第二课时
第二课时 分段函数及映射
[读教材·填要点]
1．分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
2．映射
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
[小问题·大思维]
1．分段函数中，分几段就是几个函数，对吗？
提示：不对．分段函数是一个函数，只不过它的解析式是(对应关系)是分段表示的，其图象是由几段图象构成．
2．函数y＝的定义域是什么？
提示：定义域为(－∞，0)∪[1，＋∞)．
3．函数与映射有哪些联系与区别？
提示：(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．
(2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集．
分段函数求值问题
[例1] 已知函数f(x)＝
求f(－5)，f(－)，f(f(－))的值．
[自主解答] 由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.
∵f(－)＝－＋1＝－，－2<－<2，
∴f(f(－))＝f(－)＝(－)2＋2×(－)＝－3＝－.
在本例中，若f(a)＝3，则a为何值？
解：①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，
∴a＋1＝3.∴a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2∴(a－1)(a＋3)＝0，∴a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3 (－2,2)，∴a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，∴a＝2符合题意．
综合①②③知，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
——————————————————
解决分段函数问题，应注意以下两点：
(1)给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值；
(2)若给函数值求自变量，应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．
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1．已知f(x)＝求f(f(1))的值．
解：∵f(1)＝3×1＝3，
∴f(f(1))＝f(3)＝32－4×3＋6＝3.
分段函数的应用
[例2] 某汽车以52 km/h的速度从A地运行到260 km处的B地，在B地停留1.5 h后，再以65 km/h的速度返回A地，试将汽车离开A地后行驶的路程s表示为时间t的函数．
[自主解答] 因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，
所以，当0≤t≤5时，s＝52t；
当5当6.5所以s＝
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1 从实际问题中抽象出函数模型，除了考虑函数解析式自身的限制条件，还要注意实际问题对自变量取值范围的限制.
2 求分段函数的解析式，应注意“先分后合”，根据不同的定义域写出相应的函数解析式，最后合并.
3 最后应把数学问题转化到实际问题中.
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2．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，
腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
解：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为ABCD是等腰梯形，
底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上时，
即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上时，即x∈(2,5]时，
y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上时，即x∈(5,7]时，
y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRtΔCEF
＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)得函数解析式为
y＝
函数图象如图所示．
映射概念及应用
[例3] 下列对应是A到B的映射的有( )
①A＝R，B＝R，f：x→y＝；②A＝{2012年伦敦奥运会的火炬手}，B＝{2012年伦敦奥运会的火炬手的体重}，f：每个火炬手对应自己的体重；③A＝{非负实数}，B＝R，f：x→y＝±.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[自主解答] ①中，对于A中元素－1，在B中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A中元素4，在B中有两个元素2和－2与之对应，则③不是映射．
[答案] B
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判断一个对应是否为映射，依据是映射的定义.判断方法为：先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素.若有，看对应元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影响映射的成立.说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可.
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3．下列集合A到集合B的对应中为映射的是( )
A．A＝B＝N*，对应法则f：x→y＝|x－3|
B．A＝R，B＝{0,1}，对应法则f：x→y＝
C．A＝B＝R，对应法则f：x→y＝±
D．A＝Z，B＝Q，对应法则f：x→y＝
解析：判断两个集合之间的对应是否为映射，只要按照对应法则f判断，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中是否有唯一的元素与它对应即可．
在A中，当x＝3时，|x－3|＝0，于是A中有一个元素在B中没有元素和它对应，故不是映射；在C中，集合A中的负数是在B中没有元素和它对应，故不是映射(或者x>0时，B中对应元素不唯一)；在D中，集合A中元素为0时，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是映射；B符合定义．
答案：B
解题高手 易错题 审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！
某农户计划建一矩形羊圈，现有可作为围墙的材料总长度为100米，求羊圈的面积S与长x的函数关系．
[错解] 设羊圈的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意，得S＝x(50－x)．
故函数关系式为S＝x(50－x)．
[错因] 错解中函数关系式不完整，缺少自变量x的取值范围．
[正解] 设羊圈的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意，得S＝x(50－x)．
因为当自变量x取非正数或不小于50的数时，S的值是0或负数，即羊圈的面积为0或负数，这不符合实际情况，所以自变量x的取值范围为0故函数关系式为S＝x(50－x)(01．以下几个论断：
①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射；
②函数y＝x－1，x∈Z且x∈(－3,3]的图象是一条线段；
③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；
④若D1，D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D1∩D2＝ .
其中正确的论断有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：函数是特殊的映射，所以①正确；
②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y＝x－1上的六个孤立的点；因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．
答案：C
2．设函数f(x)＝，则f(f(3))＝( )
A. B．3
C. D.
解析：∵f(3)＝，∴f(f(3))＝()2＋1＝.
答案：D
3．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )
解析：∵g＝x·|x|＝
∴其图象为D.
答案：D
4．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是________．
解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意得，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x>100时y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.
答案：y＝
5．已知从集合A到集合B的映射是f1：x→2x－1，从B到C的映射是f2：y→，则从A→C的映射为________．
解析：由已知可得＝，
∴A→C的映射为x→.
答案：x→
6．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．
解：根据题意可得d＝kv2S.∵v＝50时，d＝S，代入d＝kv2S中，解得k＝.
∴d＝v2S.当d＝时，可解得v＝25.
∴d＝
一、选择题
1．下列集合A到集合B的对应关系f是映射的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1，}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
解析：B中元素1在f下有两个元素±1与之对应，不是映射；C中元素0无倒数，不是映射；D中元素0在B中无元素与之对应，不是映射．
答案：A
2．已知f(x)＝则f(f(－7))的值为( )
A．100 B．10
C．－10 D．－100
解析：f(－7)＝10，f(f(－7))＝f(10)＝10×10＝100.
答案：A
3．给出下列四个对应，其中是映射的是( )
解析：B项中M中元素2、4在N中没有元素与之对应；C项，M中元素1、2在N中对应不唯一；D项，M、N中元素重复，而且，M中元素3在N中对应不唯一．
答案：A
4．若定义运算a⊙b＝，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(－∞，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：∵f(x)＝x⊙(2－x)＝
∴f(x)的值域为(－∞，1]．
答案：A
二、填空题
5．已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则a等于________．
解析：由f(a)＝3，当a≤－1时，a＋2＝3，
∴a＝1>－1(舍去)．
当－1当a≥2时，＝3，∴a＝≥2或a＝－<2(舍)．
答案：或
6．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为________．
解析：设A中点的坐标为(x，y)，则B中为(x－y，x＋y)且有得
答案：(，－)
7.已知y＝f(x)的图象如图所示：则f(x)的定义域为________，值域为________．
解析：由图象易知f(x)的定义域为：(－∞，－1]∪(1，＋∞)，值域为(－∞，－1]∪(1,3)．
答案：(－∞，－1]∪(1，＋∞) (－∞，－1]∪(1,3)
8．规定：区间[m，n]的长度为n－m(n>m)．设集合A＝[0，t](t>0)，集合B＝[a，b](b>a)，从集合A到集合B的映射f：x→y＝2x＋t，若集合B的长度比集合A的长度大5，则实数t＝________.
解析：由于集合A和集合B均是数集，则该映射f：x→y是函数，且f(x)＝2x＋t.当x∈A时，f(x)的值域为[f(0)，f(t)]，即[t,3t]，所以集合B的长度为3t－t＝2t，又集合A的长度为t－0＝t，则2t－t＝5，解得t＝5.
答案：5
三、解答题
9．已知在函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
解：当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1；
当－2∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
10．根据如图所示的函数y＝f(x)的图象，写出函数的解析式．
解：当－3≤x＜－1时，
函数y＝f(x)的图象是一条线段，
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
将点(－3,1)，(－1，－2)代入，
可得a＝－，
b＝－，即f(x)＝－x－.
当－1≤x＜1时，
同理可设f(x)＝cx＋d(c≠0)．
将点(－1，－2)，(1,1)代入，
可得c＝，d＝－，
即f(x)＝x－；
当1≤x＜2时， f(x)＝1.
所以f(x)＝1．2.1 函数的概念
[读教材·填要点]
1．函数的概念
(1)函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域与值域：
函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a＜x＜b} 开区间 (a，b)
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b)
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
3.其它区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
[小问题·大思维]
1．从函数的定义看，它的定义域和值域能否为空集？
提示：因为定义中的A、B是非空数集，所以函数的定义域和值域都不能为空集．
2．所有的数集都能用区间表示吗？
提示：区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．
3．如何用区间表示下列数集？
(1){x|x≥1}；(2){x|2＜x≤3}；
(3){x|x＞1且x≠2}．
提示：(1)[1，＋∞) (2)(2,3]
(3)(1,2)∪(2，＋∞)
函数概念的应用
[例1] 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[自主解答]
图号 正误 原因
① × x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性．
② √ 同时满足任意性与唯一性．
③ × x＝2时，对应元素y＝3 N，不满足任意性．
④ × x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.
[答案] B
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判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A、B是否是非空数集，其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性.
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1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．
解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a≤1时，直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a>1或a<－1时，直线x＝a与函数的图象没有交点．从而表示y是x的函数关系的有(2)(3)．
答案：(2)(3)
求函数定义域
[例2] 求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝.
[自主解答] (1)使根式有意义的实数x的集合是，从而函数f(x)＝的定义域是.
(2)要使有意义，只要因此函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤3且x≠2}．
——————————————————
求函数定义域的方法及注意事项：
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
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2．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝－＋.
解：(1)由得∴x<0且x≠－1，
∴原函数的定义域为{x|x<0且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，需解得－≤x<2且x≠0，所以函数y＝－＋ 的定义域为∪(0,2).
相等函数的判定
[例3] 试判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1)f(x)＝()2，g(x)＝；
(2)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
[自主解答] (1)由于函数f(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝的定义域为{x|x∈R}，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．
(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数．
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判断两个函数f x 和g x 是否是相等函数的步骤是：①先求函数f x 和g x 的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再执行下一步；②化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相等，否则它们不相等.
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3．下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x－1与g(x)＝
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝x与g(x)＝
D．f(x)＝与g(x)＝x＋2
解析：A选项中，f(x)与g(x)的对应关系不同，它们不表示同一函数；B，D选项中，f(x)与g(x)的定义域不同，它们不表示同一函数．
答案：C
解题高手 易错题 审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！
求函数y＝的定义域．
[错解] 要使函数y＝＝有意义，
则x≠－3.
故所求函数的定义域为{x|x≠－3}．
[错因] 约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x－2”，使原函数变形为
y＝，从而改变了原函数的自变量x的取值范围，也就是说，函数y＝与函数y＝不相等．
[正解] 要使函数有意义，必须使(x－2)(x＋3)≠0，
即x－2≠0且x＋3≠0，
解得x≠2且x≠－3，
故所求函数的定义域为{x|x≠2且x≠－3}．
1．下列说法错误的是( )
A．函数值域中的每一个值都有定义域中的一个值与它对应
B．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集
C．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了
D．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
解析：函数的定义域是无限集，值域不一定是无限集，如函数f(x)＝定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．值域为{－1,1}．
答案：B
2．函数y＝＋的定义域是( )
A．{x|－11}
C．{x|0解析：要使函数有意义，需满足
解得x＝±1.
答案：D
3．下列各组中的两个函数为相等函数的是( )
A．f(x)＝·，g(x)＝
B．f(x)＝()2，g(x)＝2x－5
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝与g(t)＝()2
解析：A中，f(x)＝·的定义域为{x|x≥1}，
g(x)＝的定义域为{x|x≥1，
或x≤－1}，它们的定义域不相同；
B中，f(x)＝()2的定义域为{x|x≥}，
g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．
C中，f(x)＝与g(x)＝的对应关系不同，不相等．
D中，f(x)＝＝x(x>0)与g(x)＝()2＝t(t>0)的定义域和对应关系都相同，它们相等．
答案：D
4．函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需使所以函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
答案：{x|x≥－1且x≠0}
5．下列式子中能确定y是x的函数的是________．
①x2＋y2＝1；②y＝＋；
③y＝gx2(g＝9.8 m/s2)；④y＝x.
解析：①中每一个x对应两个y，故①不是函数．
②中满足式子有意义的x取值范围是
即x≤1且x≥2，∴为 ，故②也不是，
而③④可以确定y是x的函数．
答案：③④
6．已知f(x)＝(x≠－2且x∈R)，g(x)＝x2＋1(x∈R)．
(1)求f(2)，g(1)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(x)，g(x)的值域．
解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝；
又∵g(x)＝x2＋1，∴g(1)＝12＋1＝2.
(2)f(g(2))＝f(22＋1)＝f(5)＝＝.
(3)f(x)＝的定义域为{x|x≠－2}，
由函数图象知y≠0，∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
g(x)＝x2＋1的定义域是R，由二次函数图象知最小值为1.
∴值域是[1，＋∞)．
一、选择题
1．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析： 0≤x≤1.
答案：D
2．下列各组函数表示同一函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z
解析：A中y＝可化为y＝x＋3(x≠3)，∴定义域不同；B中y＝－1＝|x|－1，∴定义域相同，但对应关系不同；D中定义域相同，但对应关系不同；C正确．
答案：C
3．设函数f(x)＝x2－3x＋1，则f(a)－f(－a)等于( )
A．0 B．－6a
C．2a2＋2 D．2a2－6a＋2
解析：f(x)＝x2－3x＋1，f(a)＝a2－3a＋1，
f(－a)＝a2＋3a＋1，
∴f(a)－f(－a)＝－6a.
答案：B
4．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：∵f(x)＝ax2－1.
∴f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.
∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正常数，∴a＝1.
答案：A
二、填空题
5．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围为________．
解析：由区间的定义知 1＜a＜2.
答案：(1,2)
6．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
解析：g(1)＝3，f(g(1))＝f(3)＝1；
f(g(1))＝1，f(g(2))＝3，f(g(3))＝1，
g(f(1))＝3，g(f(2))＝1，g(f(3))＝3，
∴满足f(g(x))>g(f(x))的x值为x＝2.
答案：1 2
7．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(1)＝________.
解析：∵f(x)＝x2＋|x－2|，
∴f(1)＝1＋|1－2|＝2.
答案：2
8．集合{x|－12≤x<10，或x>11}用区间表示为________．
答案：[－12,10)∪(11，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
解：(1)要使函数有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.
10．若f(x)的定义域为[－3,5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域．
解：由f(x)的定义域为[－3,5]，得φ(x)的定义域需满足即
解得－3≤x≤3.
所以函数φ(x)的定义域为[－3,3]．1．1.3 集合的基本运算 第一课时
第一课时 并集与交集
[读教材·填要点]
集合的并集与交集的定义
并集 交集
自然语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
图形语言
2．并集与交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
A∪A＝A A∩A＝A
A∪ ＝A A∩ ＝
A B A∪B＝B A B A∩B＝A
A∪B A，A∪B B A∩B B，A∩B A
[小问题·大思维]
1．若A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，那么A∪B＝{1,2,3,3,4,5}对吗？如何表示A∪B和A∩B
提示：A∪B＝{1,2,3,3,4,5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3}．
2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？
提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”．
3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？
提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是A∩B＝ .
集合交并的简单运算
[例1] 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是( )
A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}
[自主解答] A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}＝{1，－2}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}＝{－2,3}，
∴A∪B＝{1，－2}∪{－2,3}＝{－2,1,3}．
[答案] C
——————————————————
解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.
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1．已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，求A∩B，A∪B.
解：∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，
把集合A与B表示在数轴上，如图．
∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0或x≥}
＝{x|－1＜x≤0或≤x≤3}；
A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x≤0或x≥}＝R.
已知集合交集、并集求参数
[例2] 已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，求满足条件的实数x的值．
[自主解答] ∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，
∴A∪B＝A，即B A，
∴x2＝3或x2＝x.
①当x2＝3时，得x＝±.
若x＝，则A＝{1,3，}，B＝{1,3}，符合题意；
若x＝－，则A＝{1,3，－}，B＝{1,3}，符合题意．
②当x2＝x时，则x＝0或x＝1.
若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；
若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不成立，舍去；
综上可知，x＝±或x＝0.
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1 在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等，解答时应灵活处理.
2 对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性.
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2．已知集合A＝{4,6}，B＝{2，m}，A∪B＝{2,4,6}，则m的值为________．
解析：∵A＝{4,6}，B＝{2，m}，
而A∪B＝{2,4,6}，
∴m＝4或m＝6.
答案：4或6
解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1) 若A∩B＝A∪B，求a的值；
(2)若 ?A∩B，A∩C＝ ，求a的值．
[巧思] (1)A∩B＝A∪B A＝B；(2) ?A∩B A∩B≠ .
[妙解] 由已知，得B＝{2,3}，C＝{2，－4}．
(1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B.于是2,3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：解之得a＝5.
(2)由A∩B? A∩B≠ ，又A∩C＝ ，得3∈A,2 A，－4 A.
由3∈A得32－3a＋a2－19＝0，
解得a＝5或a＝－2.
当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，与2 A矛盾；
当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．
∴a＝－2.
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是( )
A．N M B．M∪N＝M
C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}
解析：因为－2 M，可排除A；M∪N＝{－2,1,2,3,4}，可排除B；M∩N＝{2}．
答案：D
2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．
答案：A
3．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠ ，则k的取值范围是( )
A．k≤3 B．k≥－3
C．k>6 D．k≤6
解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}，
且M∩N≠ ，所以－≥－3 k≤6.
答案：D
4．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，则A∩B∩C＝________.
解析：∵A∩B＝{x|x是菱形}
∴A∩B∩C＝{x|x是正方形}．
答案：{x|x是正方形}
5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.
解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，
M∩N＝{0,2}．
答案：{0,2}
6．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.
解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.
∵a2＋1≠－3，
∴①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，
∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( )
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C．{x|0解析：结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．
答案：A
2．设集合M＝{x|－3A．{x|1≤x<2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|2解析：∵M＝{x|－3∴M∩N＝{x|1≤x<2}．
答案：A
3．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝ ，则实数t的取值范围是( )
A．t<－3 B．t≤－3
C．t>3 D．t≥3
解析：B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.
答案：A
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠ ，若A∪B＝A，则( )
A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4
C．2＜m＜4 D．2＜m≤4
解析：∵A∪B＝A，∴B A.又B≠ ，
∴即2＜m≤4.
答案：D
二、填空题
5．已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
解析：集合A，B都是以列举法的形式给出，易得A∪B＝{1,2,4,6}．
答案：{1,2,4,6}
6．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝________.
解析：用数轴表示集合A、B如图所示，
由于A∩B＝{x|5≤x≤6}，
则m＝6.
答案：6
7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：如图所示，若A∪B＝R，则a≤1.
答案：a≤1
8．已知集合A＝{(x，y)|y＝ax＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x＋b}，A∩B＝{(2,5)}，则a＝________，b＝________.
解析：∵A∩B＝{(2,5)}．
∴5＝2a＋3.∴a＝1.
∴5＝6＋b.∴b＝－1.
答案：1 －1
三、解答题
9．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
解：(1)∵B＝{x|x≥2}，A＝{x|－1≤x＜3}，
∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．
(2)∵C＝{x|x＞－}，B∪C＝C B C，∴a＞－4.
10．已知集合A＝，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B.
解：解不等式组得－2则A＝{x|－2解不等式3>2m－1，得m<2，则B＝{m|m<2}．
用数轴表示集合A和B，如图所示，
则A∩B＝{x|－21．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也是方程f(x)＝0的根．
[小问题·大思维]
1．函数的“零点”是一个点吗？
提示：不是，函数的“零点”是一个数，1．3.1 单调性与最大(小)值 第一课时
第一课时 函数的单调性
[读教材·填要点]
1．定义域为I的函数f(x)的增减性
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格)的单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
[小问题·大思维]
1．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数，对吗？
提示：不对，如函数f(x)＝x2，(－1＜x＜1)，
存在x1＝－，x2＝，显然x1＜x2，
有f(x1)＝＜f(x2)＝，
但f(x)＝x2在(－1,1)上不是增函数．
2．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)使得x1提示：不对，如上述函数f(x)＝x2(－1＜x＜1)．
3．画出函数y＝的图象，你认为：若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在A∪B上也为减函数，对吗？
提示：不对，如函数f(x)＝(x≠0)，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．
证明或判断函数的单调性
[例1] 求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
[自主解答] 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＝＝
∵x10，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
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利用定义证明函数单调性的步骤如下：
1 取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1 2 作差变形：作差f x1 －f x2 ，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；
3 定号：确定f x1 －f x2 的符号；, 4 结论：根据f x1 －f x2 的符合及定义判断单调性.
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1．证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
证明：设x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝(x＋x1)－(x＋x2)
＝(x－x)＋(x1－x2)
＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x＋1)
＝(x1－x2)[(x1＋x2)2＋x＋1]．
∵x1又∵(x1＋x2)2＋x＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴f(x)在R上是增函数．
求函数的单调区间
[例2] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[自主解答] y＝－x2＋2|x|＋3
＝
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
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1 对于初等函数 y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝\f(k,x) 单调区间的确定，常借助于函数图象去探求，而且这些函数的单调区间作为常识性的内容，可以直接使用.
2 对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性 区间 .
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2．求函数f(x)＝|x＋1|－|2x－4|的单调递减区间．
解：f(x)＝|x＋1|－|2x－4|
＝
画出函数f(x)的图象如下图所示，函数f(x)的单调减区间是[2，＋∞)．
由函数的单调性求参数取值范围
[例3] 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求实数a的取值范围．
[自主解答] 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
“若函数单调增区间为[2，＋∞)，则a为何值？”
解：∵f(x)开口向上，且函数单调增区间为[2，＋∞)，
∴对称轴x＝a＝2，即a＝2.
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1 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.
(2)常见函数的单调性列表如下：
函数 单调性
一次函数y＝ax＋b(a≠0) a>0时，在R上单调递增；a<0时，在R上单调递减
反比例函数y＝(a≠0) a>0时，单调减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0时，单调增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0) a>0时，单调减区间是(－∞，m]，单调增区间是[m，＋∞)；a<0时，单调减区间是[m，＋∞)，单调增区间是(－∞，m]
(3)需注意若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
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3．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则a的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝(2a－1)x＋b为一次函数，
∴当2a－1<0即a<时，f(x)是R上的减函数．
答案：(－∞，)
解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
[巧思] 先求出函数的对称轴x＝a，分四种情况a<0,0≤a<1,1≤a<2，a≥2时，讨论函数f(x)在区间[0,2]上的单调性，再结合图形，可分别求出相应的最小值和最大值．
[妙解] ∵f(x)＝(x－a)2－1－a2，
对称轴为直线x＝a，
①当a<0时，由图1可知
f(x)min＝f(0)＝－1，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a<1时，由图2可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
③当1≤a<2时，由图3可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(0)＝－1；
④当a≥2时，由图4可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，
f(x)max＝f(0)＝－1.
1．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是( )
A. B．[－1，＋∞)
C. D．(－∞，＋∞)
解析：y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋.
其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，
∴x≤－时单调递减．
答案：C
2．函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是( )
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，[1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
解析：f(x)＝|x|的图象如图甲，
g(x)＝x(2－x)＝－x2＋2x
＝－(x2－2x＋1)＋1
＝－(x－1)2＋1的图象如图乙，易知选C.
答案：C
3．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0
C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0
解析：∵y＝ax和y＝－在(0，＋∞)都是减函数，
∴a<0，b<0.
f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0.
答案：A
4．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.
解析：由f(x)＝可得函数f(x)的单调递增区间为[－，＋∞)，故3＝－，解得a＝－6.
答案：－6
5．若函数f(x)＝则f(x)的递减区间是________．
解析：∵分段函数当x≥1时，f(x)＝2x＋1为增函数，当x<1时，f(x)＝5－x为减函数．
答案：(－∞，1)
6．已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：f(x)＝在 [1，＋∞)上是增函数．
证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，
且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝－
＝＝
∵1≤x1＜x2，∴x2＋x1＞0，x2－x1＞0，
＋＞0.
∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．
故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
一、选择题
1．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用∪连接．比如0＜5，但f(0)＞f(5)．
答案：C
2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于( )
A．－4 B．－8
C．8 D．无法确定
解析：由题意可知x＝－2是f(x)的对称轴，∴＝－2，m＝－8.
答案：B
3．下列有关函数单调性的说法，不正确的是( )
A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数
B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数
C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数
D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数
解析：∵若f(x)为增函数，g(x)为减函数，
则f(x)＋g(x)的增减性不确定．
例如f(x)＝x＋2为R上的增函数，
当g(x)＝－x时，则f(x)＋g(x)＝＋2为增函数；当g(x)＝－3x，则f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数．
∴不能确定f(x)＋g(x)的单调性．
答案：C
4．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x＋1| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
解析：B、C、D在(0,1)上均为减函数，只有A项在(0,1)上是增函数．
答案：A
二、填空题
5．已知函数f(x)为区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)解析：∵f(x)在[－1,1]上为增函数，且f(x)∴，得－1≤x<.
答案：[－1，)
6．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得a≤1，由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a＞0.
∴0＜a≤1.
答案：(0,1]
7．函数f(x)＝|2x－1|的递减区间是________．
解析：函数f(x)＝|2x－1|的图象如下所示：
∴递减区间为(－∞，]．
答案：(－∞，]
8．函数f(x)＝－|x|在区间[a，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝－|x|的图象为：
观察图象可知a≥0.
答案：[0，＋∞)
三、解答题
9．证明函数f(x)＝－在定义域上是减函数．
证明：f(x)＝－的定义域为[0，＋∞)，设0≤x1则x1－x2<0，且f(x2)－f(x1)＝(－)－(－)＝－
＝＝ .
∵x1－x2<0，＋>0，
∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)∴f(x)＝－在它的定义域[0，＋∞)上是减函数．
10．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
解：(1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数．
∴解得m≥4.∴不等式的解集为{m|m≥4}．